阵列信号处理—music、Capon

宽带信号中的三种二维平面阵DOA估计
宽带信号中的三种二维平面阵DOA估计
一．背景
目前关于阵列窄带信号的高分辨算法已比较成熟，但是随着信号处理技术的发展，信号环境日趋复杂，信号形式多样，信号密度日渐增大，窄带阵列探测系统的确定逐渐显示出来。

由于宽带信号具有目标回波携带的信息量大，有利于目标探测、参量估计和目标特征提取等特点，在有源探测系统中越来越多地得到应用。

而在无源探测系统中，利用目标辐射的宽带连续谱进行目标检测是有效发现目标的一种重要手段。

ISM 方法把宽带信号在频域分解为J 个窄带分量，然后在每一个子带上直接进行窄带处理。

因为信号为调频信号，所以信号在时域的分段实际上就是频域的分段。

将信号分解为窄带信号后，我们就可以利用窄带算法进行处理，最后将各个结果进行加权综合，即可得到最终的结果。

二维DOA 估计是阵列信号处理中的重要内容，通过二维DOA 估计可以得到信号源在平面中的角度信息。

一般采用L 型、面阵和平行阵或矢量传感器实现二维参数的估计，多数有效的二维DOA 估计算法是在一维DOA 估计的基础上，直接针对空间二维谱提出的，如二维MUSIC 算法以及二维CAPON 算法等。

这两种算法可以产生渐进无偏估计，但要在二维参数空间搜索谱峰，计算量相当大。

而采用二维ROOT MUSIC 算法可以减小计算量，但是需要付出精度下降的代价。

本次报告将结合宽带信号和二维DOA 估计算法，进行相关的算法介绍和仿真。

二． 算法介绍
1. 接收信号模型：
图 1 平面阵列示意图
如图1所示，设平面阵元数为M ×N ，信源数为K 。

信源的波达方向为11(,),,(,)k k θφθφ，
第i 个阵元与参考阵元之间的波程差为：
2(cos sin sin sin cos )/i i i x y z βπφθφθθλ=++
设子阵1沿x 轴的方向矩阵为x A ，而子阵2的每个阵元相对于参考阵元的波程差就等于子阵1的阵元的波程差加上2sin sin /d πφθλ，所以接收信号为
121()()()y x y x y M x A D A A D A X S N A D A -⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎣⎦
协方差矩阵为
H H H s s s n n n R XX E D E E D E ==+
其中，s D 代表由最大的K 个特征值构成的一个K ×K 对角阵，n D 代表由MN-k 个较小的特征值构成的对角矩阵, s E 和n E 分别代表由s D 和n D 对应的特征值构成的特征矢量。

沿x 轴的方向矩阵可以表示为：
`11`11`11
`112cos sin /2cos sin /2(1)cos sin /2(1)cos sin /11
j d j d x j N d j N d e e A e
e πφθλπφθλπφθλ
πφθλ
------⎡
⎤
⎢⎥
⎢
⎥
=⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
沿y 轴的方向矩阵可以表示为：
`11`11`11
`112sin sin /2sin sin /2(1)sin sin /2(1)sin sin /11
j d j d y j N d j N d e e A e e πφθλπφθλπφθλ
πφθλ
------⎡
⎤
⎢⎥
⎢
⎥
=⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
2. 二维MUSIC 算法
2.1 原理介绍
阵列协方差矩阵通过奇异分解，可以划分为噪声子空间和信号子空间，即
H H s s s N N N R U U U U =∑+∑
因为方向矩阵A 中的各个列向量与噪声子空间正交，所以当方向矩阵中的角度为波达方向时两者相乘的值会很小，根据这个性质，得到该阵列空间谱函数为
1
()()()()()MUSIC H
H
y x N N y x P a a E E a a θθφθφθφθφ=
⎡⎤⎡⎤⊗⊗⎣⎦⎣⎦
，，，，
通过变化角度，找到的波峰位置就是估计的信源的二维角度。

2.2 算法流程
2.3 算法仿真
快拍数L=100，目标数K=3，8×8的方阵，假设源信号的仰角为10°，25，方位角为35°，45°，信噪比为20dB ，宽带信号为基带频率为80Hz ，带宽为40Hz 的信号。

并将该信号在时域上均分为5段。

50
40
60
80
100
X: 36
Y: 11Z: 1
X: 46Y: 26Z: 0.8763
二维宽带MUSIC 第1段
图 2 二维MUSIC 第一段信号
图 3 二维MUSIC第二段信号
二维宽带MUSIC第3段
图 4 二维MUSIC第三段信号
图 5 二维MUSIC第四段信号
二维宽带MUSIC第5段
图 6 二维MUSIC第五段信号
二维宽带MUSIC 平均值
图 7 二维MUSIC 平均值
3. 二维Capon 算法
3.1 原理介绍
二维Capon 的算法类似于二维MUSIC 算法，只是他们的空间谱函数有所不同，二维Capon 的空间谱函数为：
1
1
()()()()()MUSIC H
y x y x P a a R a a θθφθφθφθφ-=
⎡⎤⎡⎤⊗⊗⎣⎦⎣⎦
，，，，
相比于二维MUSIC 算法，二维Capon 的空间谱函数的分母是信号协方差矩阵的逆矩阵，而不是噪声子空间矩阵。

3.2 算法流程
3.3 仿真参数
快拍数L=100，目标数K=3，8×8的方阵，假设源信号的仰角为10°，25，方位角为35°，45°，信噪比为20dB ，宽带信号为基带频率为80Hz ，带宽为40Hz 的信号。

并将该信号在时域上均分为5段。

50
20
40
60
80
100
X: 36Y: 11Z: 1
X: 46
Y: 26Z: 0.9807
二维宽带CAPON 第1段
图 8 二维Capon 第一段
图9二维Capon第二段
二维宽带CAPON第3段
图10二维Capon第三段
图11二维Capon第四段
二维宽带CAPON第5段
图12二维Capon第五段二维宽带Capon平均值
图 13 二维Capon 平均值
4. 二维求根MUSIC 算法
4.1 原理介绍
先将二维阵列看成是沿x 轴方向的一维阵列，对于空间理想的白噪声，且噪声功率为σ^2，频率fi 处对应的接收数据协方差矩阵可以表示为：
2()()()()()()()()()()()()()()()H
x i i i H H H
i i i i i i H
i s i i N i i s i R f E X f X f A f E S f S f A f E N f N f A f R f A f R f A f R f I
σ⎡⎤=⎣⎦
⎡⎤⎡⎤=+⎣⎦⎣⎦
=+=+
对上式进行特征值分解，可以得到噪声子空间Un ，令H
n n C U U =，第j 个子带对应的
矩阵C 为Cj ，由于对于一个阵元间距为d 的均匀线性阵列，第j 个子频带的方向矢量的第m 个元素（m=1~M ）,
()exp(2cos sin )i
m i f a f i md
c
πφθ=- 定义如下多项式
1
1
1
()M j jl l M D z C z --=-+=
∑
其中，Cjl 即矩阵Cj 中第l 条对角线的元素之和，求出该多项式的根，在没有噪声的理想情况下，多项式的零点落在单位圆上，位置由波达方向决定，所以应该找出在单位圆内，最接近单位圆的K 个根。

11[cos sin ,
,cos sin ]x k k r φθφθ=
同理，将矩阵沿y 轴方向再处理一次，得到
11[sin sin ,
,sin sin ]y k k r φθφθ=
联立求解
(
)22
11[,]arcsin
[,
,]arctan(/)
k x y k y x r r r r θθφφ=+=
4.2 算法流程
4.3 算法仿真
快拍数L=100，目标数K=3，8×8的方阵，假设源信号的仰角为10°，25，方位角为35°，45°，信噪比为10dB ，宽带信号为基带频率为80Hz ，带宽为40Hz 的信号。

并将该信号在时域上均分为5段。

5
10
15
2025
30
35
101520253035
404550仰角
方位角
二维ROOT-MUSIC
蒙特卡洛仿真
图 14 二维ROOT-MUSIC 仿真
-5
510
00.10.20.30.40.5
0.60.70.8
仰角 rmse
snr
r m s e °
图 15二维求根MUSIC 仰角性能
-5
510
02
4
6
8
10
12
方位角 rmse
snr
r m s e °
图 16二维求根MUSIC 方位角性能
三． 总结
二维MUSIC 和二维Capon 是渐进无偏估计，他们的结果很精确，但是要进行二维谱峰搜索，所需的计算量很大。

而求根MUSIC 需要的计算量较小，但是该算法在低信噪比的情况下，结果很不乐观，所以实际运用时，需要根据实际情况和工程所需，选择合适的方法来进行二维DOA 估计。