江苏省苏州市木渎高级中学天华学校2020年高三数学文期末试题含解析

江苏省苏州市木渎高级中学天华学校2020年高三数学
文期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知向量=（1，λ），=（λ，4），若∥，则实数λ=（）
A．0 B．±2 C．﹣2 D．2
参考答案：
B
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．
【分析】利用向量的平行的充要条件，写出结果即可．
【解答】解：向量=（1，λ），=（λ，4），若∥，
可得4=λ2，解得λ=±2．
故选：B．
2. 已知函数，若存在且，使得成立，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
参考答案：
C
略
3. 若复数满足（是虚数单位)，则的共轭复数=（）
A．B．C．D．
参考答案：
C
4. 一个体积为12的正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的侧视图的面积为（）
6B．8D
参考答案：
A
略
5. 用数学归纳法证明：“,在验证n＝1时，左端计算所得的项为( )
A．1 B． C．
D．
参考答案：
C
6. （8）执行如图所示的程序框图，若输入
A．B．C．D．
参考答案：
A
7. 已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝()x－m，若对?x1∈[0,3]，?x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是()
A．[，＋∞) B．(－∞，] C．[，＋∞) D．(－∞，－]
参考答案：
A
当x∈[0,3]时，f(x)min＝f(0)＝0，当x∈[1,2]时，g(x)min＝g(2)＝－m，由
f(x)min≥g(x)min，得0≥－m，所以m≥，故选A.
8. 设集合，，则“”是“”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件参考答案：
A
9. 函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
参考答案：
C
10. 已知集合，集合，若
，则实数可以取的一个值是( )
A. B. C. D.
参考答案：
A
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 等差数列中，前项和为,
，则的值为____
参考答案：
2014
略
12. 已知数列{a n}的前n项和为S n，且，a2=5，则S6=．
参考答案：
722
【考点】数列递推式；数列的求和．
【分析】=，可得a n+1+1=3（a n+1），利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．
【解答】解：∵=，∴a n+1+1=3（a n+1），
∴5+1=3（a1+1），解得a1=1．
∴数列{a n+1}是等比数列，公比为3，首项为2．
∴a n+1=2×3n﹣1，解得a n=2×3n﹣1﹣1，
则S6=﹣6=722．
故答案为：722．
13. （5分）已知函数f（x）满足f（x+1）=f（x）+1，当x∈[0，1]时，f（x）=|3x﹣1|﹣1，若对任意实数x，都有f（x+a）＜f（x）成立，则实数a的取值范围
是．
参考答案：
（﹣∞，﹣）∪（﹣，﹣）
考点：抽象函数及其应用．
专题：函数的性质及应用．
分析：先把绝对值函数化为分段函数，再根据图象的平移得到函数f（x）的图象，观察函数的图象，即可求出a的范围．
解答：∵x∈[0，1]时，f（x）=|3x﹣1|﹣1，
∴当x∈[0，]时，f（x）=﹣3x，
x∈（，1]时，f（x）=3x﹣2，
由f（x+1）=f（x）+1，可得到f（x）大致图形为，如图所示
由图可以看出，当x=时，即D点．
若a≥0，则f（+a）≥f（），不满足题意．所以a＜0．
由图中知，比D小的为C左边的区域，且不能为A点．
C点为f（﹣），此时a=﹣．
所以a的范围是（﹣∞，﹣）∪（﹣，﹣）
故答案为：（﹣∞，﹣）∪（﹣，﹣）
点评：本题考查了分段函数的图象和性质，以及含有参数的取值范围，关键是利用数形结合的思想，属于难题．
14. 已知函数f（x）是R上的减函数，且y=f（x﹣2）的图象关于点（2，0）成中心对
称．若u，v满足不等式组，则u2+v2的最小值为．
参考答案：
【考点】简单线性规划．
【分析】根据函数的奇偶性和单调性的性质将不等式组进行化简，利用线性规划的知识进行求解即可．
【解答】解：∵y=f（x﹣2）的图象关于点（2，0）成中心对称．
∴y=f（x）的图象关于点（0，0）成中心对称．
即函数f（x）是奇函数，
则不等式组，等价为，
即，
作出不等式组对应的平面区域如图，
则u2+v2的几何意义为区域内的点到原点距离的平方，
则由图象知原点到直线u=1﹣v，即v+u﹣1=0的距离最小，
此时d=，
故u2+v2的最小值为d2=，
故答案为：
15. 由直线所围成的封闭图形的面积为__________.
参考答案：
16. 一个空间几何体的三视图如图所示，其正视图、侧视图、俯视图均为等腰直角三角形，且直角边长都为1，则这个几何体的体积是_____________________.
参考答案：
17. 平面向量满足，且，则的夹角等于
参考答案：
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 在△ABC中，角、、的对边分别为、、，满足．
(Ⅰ)求角C的大小；
(Ⅱ)若，且，求△ABC的面积．
参考答案：
∴，
∴△ABC是等边三角形，10分
∴，
∴，11分
所以△ABC的面积. 12分
考点：正弦定理、余弦定理的应用，三角形面积公式，平面向量的数量积.
略
19. 某中学利用周末组织教职员工进行了一次秋季登山健身的活动，有N人参加，现将所有参加者按年龄情况分为[20，25），[25，30），[30，35），[35，40），[40，45），[45，50），[50，55）等七组，其频率分布直方图如下所示．已知[35，40）这组的参加者是8人．
（1）求N和[30，35）这组的参加者人数N1；
（2）已知[30，35）和[35，40）这两组各有2名数学教师，现从这两个组中各选取2人担任接待工作，设两组的选择互不影响，求两组选出的人中都至少有1名数学老师的概率；
（3）组织者从[45，55）这组的参加者（其中共有4名女教师，其余全为男教师）中随机选取3名担任后勤保障工作，其中女教师的人数为x，求x的分布列和均值．
参考答案：
【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．
【分析】（1）先求出年龄在[35，40）内的频率，由此能求出总人数和[30，35）这组的参加者人数N1．
（2）记事件B为“从年龄在[30，35]之间选出的人中至少有1名数学教师”，记事件C 为“从年龄在[35，40）之间选出的人中至少有1名数学教师”，分别求出P（B），P （C），由此能求出两组选出的人中都至少有1名数学老师的概率．
（3）年龄在[45，55）之间的人数为6人，其中女教师4人，ξ的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．
【解答】解：（1）∵年龄在[35，40）内的频率为0.04×5=0.2，
∴总人数N==40人．
∵[30，35）这组的频率为：1﹣（0.01×2+0.02+0.03×2+0.04）×5=0.3，
[30，35）这组的参加者人数N1为：40×0.3=12人．
（2）记事件B为“从年龄在[30，35]之间选出的人中至少有2名数学教师”，
∵年龄在[30，35）之间的人数为12，
∴P（B）=1﹣=，
记事件C为“从年龄在[35，40）之间选出的人中至少有1名数学教师”，
∵年龄在[35，40）之间的人数为8，
∴P（C）=1﹣=，
∴两组选出的人中都至少有1名数学老师的概率P（BC）==．
（3）年龄在[45，55）之间的人数为6人，其中女教师4人，
∴ξ的可能取值为1，2，3，
P（ξ=1）==，
P（ξ=2）==，
P（ξ=3）==，
∴ξ的分布列为：
Eξ==2．
20. 已知等差数列{a n}前三项的和为－3，前三项的积为8.
(1)求等差数列{a n}的通项公式；
(2)若a2，a3，a1成等比数列，求数列{|a n|}的前n项和．参考答案：
解：(1)设等差数列{a n}的公差为d，则a2＝a1＋d，a3＝a1＋2d.
由题意得解得或
所以由等差数列通项公式可得
a n＝2－3(n－1)＝－3n＋5，或a n＝－4＋3(n－1)＝3n－7.
故a n＝－3n＋5，或a n＝3n－7.
(2)当a n＝－3n＋5时，a2，a3，a1分别为－1，－4,2，不成等比数列；
当a n＝3n－7时，a2，a3，a1分别为－1,2，－4，成等比数列，满足条件．
故|a n|＝|3n－7|＝
记数列{|a n|}的前n项和为S n.
当n＝1时，S1＝|a1|＝4；当n＝2时，S2＝|a1|＋|a2|＝5；
当n≥3时，
S n＝S2＋|a3|＋|a4|＋…＋|a n|＝5＋(3×3－7)＋(3×4－7)＋…＋(3n－7)＝5＋＝n2－n＋10. 当n＝2时，满足此式．
综上，S n＝
21. 设全集是实数集R，A={x|2x2﹣7x+3≤0}，B={x|x2+a＜0}．
（1）当a=﹣4时，求A∩B和A∪B；
（2）若（?R A）∩B=B，求实数a的取值范围．
参考答案：
【考点】1H：交、并、补集的混合运算；1C：集合关系中的参数取值问题．
【分析】（1）A={x|≤x≤3}，当a=﹣4时，B={x|﹣2＜x＜2}，由此能求出A∩B和
A∪B．
（2）?R A={x|x＜或x＞3}，当（?R A）∩B=B时，B??R A，由此进行分类讨论能够求出实数a的取值范围．
【解答】解：（1）∵A={x|≤x≤3}，
当a=﹣4时，B={x|﹣2＜x＜2}，
∴A∩B={x|≤x＜2}，
A∪B={x|﹣2＜x≤3}．…
（2）?R A={x|x＜或x＞3}，
当（?R A）∩B=B时，B??R A，
①当B=?，即a≥0时，满足B??R A；
②当B≠?，即a＜0时，B={x|﹣＜x＜}，
要使B??R A，需≤，解得﹣≤a＜0．
综上可得，实数a的取值范围是a≥﹣．…
22. 已知函数f（x）=﹣x2+6x﹣a，g（x）=4lnx．
（1）求函数g（x）在x=e处的切线方程；
（2）a为何值时，函数y=f （x）的图象与函数y=g（x）的图象有三个不同的交点．
参考答案：
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】导数的概念及应用；导数的综合应用．
【分析】（1）求得g（x）的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线的方程；
（2）令h（x）=g（x）﹣f （x），求得导数，求得单调区间和极值，由题意可得极小值小于0，极大值大于0，解不等式即可得到所求范围．
【解答】解：（1）由g（x）=4lnx得g（e）=4，
，切线的斜率为g′（e）=，
故函数g（x）在x=e处的切线方程为y﹣4=（x﹣e）即y=x；
（2）令h（x）=g（x）﹣f （x）=4lnx+x2﹣6x+a （x＞0），
则
=，
令h'（x）＞0（x＞0），则 0＜x＜1或x＞2，
令h'（x）＜0（x＞0）则1＜x＜2，
故h（x）在（0，1）上递增，（1，2）上递减，（2，+∞）上递增．
要使y=f（x）的图象与函数y=g（x）的图象有三个不同的交点，
则，
即
解得，
故5＜a＜8﹣4ln2．
【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值，考查函数方程的转化思想的运用，考查运算能力，属于中档题．。