广东省揭阳一中高三第三次模拟数学(文科)试题

2013届广东省揭阳一中高三第三次模拟
数学（文科）试题
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设全集{}{}
1,0,>=>==x x B x x A R U ，则B C A U ⋂等于（ ）
A ．{}
10<≤x x
B ．{}
10≤<x x
C ．{}
0<x x
D ．{}
1>x x
2．设复数i
z +=11
（其中i 是虚数单位），则在复平面内，复数z 的共轭复数z 对应的点位于（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3．设[]0,5p 在上随机地取值，则关于x 的方程2
10x px ++=有实数根的概率为（ ）
A ．
1
5
B ．
2
5
C ．
3
5
D ．
45
4．一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
5．下列函数中与函数-=y |
|3x 奇偶性相同且在（—∞，0）上单调性也相同的是（ ）
A ．x
y 1-
= B ．||log 2x y =
C ．13
-=x y
D ．2
1x y -=
6．已知4
1
,ln 4
1,1,1x y x 且>>，lny 成等比数列，则xy （ ）
A ．有最小值e
B ．有最小值e
C ．有最值大e
D ．有最大值e
7．若曲线()cos f x a x =与曲线()2
1g x x bx =++在交点()0,m 处有公切线，则a b +=（ ）
A ．1-
B ．0
C ．1
D ．2
8．已知双曲线22221y x a b
-=的一个焦点与抛物线2
4x y =的焦点重合，且双曲线的实轴长是
虚轴长的一半，则该双曲线的方程为（ ）
A ．2
25
514
y x
-=
B ．22
154
x y -=
C ．22
154
y x -=
D ．22
5514
x y -
= 9．已知函数()y f x =的定义域是R ，若对于任意的正数a ，函数g （x ）=f （x ）-f （x-a ）都是其定义域上的减函数，则函数()y f x =的图象可能是（ ）
A B C D
10．若某同学连续三次考试的名次（第一名为1，第二名为2，以此类推且没有并列名次情况）不超过3，则称该同学为班级的尖子生．根据甲、乙、丙、丁四位同学过去连续3次考试名次数据，推断一定不是尖子生的是（ ）
A ．甲同学：均值为2，中位数为2
B ．乙同学：均值为2，方差小于1
C ．丙同学：中位数为2，众数为2
D ．丁同学：众数为2，方差大于1
二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分. （一）必做题（11〜13题） 11．设单位向量1212121
,,22
e e e e e e ⋅=-+=满足则 . 12．已知24
sin 225
α=-
，)0,2(πα-∈，则=-ααcos sin 。

13．实数x 、y 满足⎪⎩
⎪
⎨⎧≤->≤≥,0),1(,
1y x a a y x 若目标函数y x z +=取得最大值4，则实数a 的值
为 .
（二）选做题（14〜15题，考生只能从中选做一题）
14．（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数力程是⎩⎨
⎧+==θ
θ
sin 22cos 2y x
（θ为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则圆心C 的极坐标是 。

15．（几何证明选讲选做题）如图，在ABC ∆中，D 是AC 的中点，E 是BD 的中点，AE 交BC 于F ，则
=FC
BF
__________.
三、解答题：本大题共6小题，满分80分。

解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。

16．（本小题满分12分）
如图所示，已知α的终边所在直线上的一点P 的坐标为(3,4)-，β的终边在第一象限且与单位圆的交点Q 的纵坐标为
210
.
（Ⅰ）求tan(2)αβ-的值； （Ⅱ）若
2
π
απ<<，2
0π
β<<
，求αβ+.
17．（本小题满分12分）
从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm 和195cm 之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155，160），第二组[160，165），…，第八组[190，195]，右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人．
（Ⅰ）求第七组的频率；
（Ⅱ）估计该校的800名男生的身高的中位数；
（Ⅲ）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为
,x y ，事件=E {5x y -≤}，事件F ={15->x y }，求()P E
F ．
18．（本小题满分14分）
如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为1DD 、DB 的中点．
（Ⅰ）求证：EF //平面11ABC D ； （Ⅱ）求证：1EF B C ⊥；
（Ⅲ）求三棱锥1B EFC -的体积． 19．（本小题满分14分）
在数列{}n a 中，12a =，1431n n a a n +=-+，n ∈*
N ．
（Ⅰ）证明数列{}n a n -是等比数列； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ；
（Ⅲ）证明不等式14n n S S +≤，对任意n ∈*
N 皆成立． 20.（本小题满分14分）
已知椭圆C: )0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为2
3
，以原点为圆心，椭圆c 的短半
轴长为半径的圆与直线 02=++y x 相切.A 、B 是椭圆的左右顶点，直线l 过B 点且与
x 轴垂直，如图.
（I ）求椭圆的标准方程；
（II ）设G 是椭圆上异于A 、B 的任意一点，GH 丄x 轴，H 为垂足，延长HG 到点Q 使得HG=GQ ，连接AQ 并延长交直线l 于点M ，点N 为MB 的中点，判定直线QN 与以AB 为直径的圆O 的位置关系，并证明你的结论. 21．（本小题满分14分）
已知函数.13
1)(3
+-=
ax x x f （1）当1=x 时，)(x f 取得极值，求a 的值； （2）求)(x f 在[0，1]上的最小值；
（3）若对任意,R m ∈直线m x y +-=都不是曲线)(x f y =的切线，求a 的取值范围。