三角函数单元能力测试含答案

三角函数单元能力测试
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．下列说法中，正确的是( )
A ．第二象限的角是钝角
B ．第三象限的角必大于第二象限的角
C ．－831°是第二象限角
D ．－95°20′，984°40′，264°40′是终边相同的角 解析：A 、B 均错，－831°＝－720°－111°是第三象限的角，C 错，∴选D. 2．函数y ＝tan x
2
是 ( )
A ．周期为2π的奇函数
B ．周期为π
2的奇函数 C ．周期为π的偶函数 D ．周期为2π的偶函数
解析：y ＝tan x 2是奇函数，且周期T ＝π
1
2＝2π，故选A.
3．函数y ＝sin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋3
2π的图象( ) A ．关于直线x ＝－π4对称 B ．关于直线x ＝－π2对称 C ．关于直线x ＝π8对称 D ．关于直线x ＝5
4π对称
解析：将x ＝－π2代入函数式，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π＋3π2＝sin π
2＝1，取得最大值． ∴x ＝－π
2
是函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π2的一条对称轴，故应选B. 4．集合A ＝{α|α＝k π＋π2，k ∈Z }，B ＝{α|α＝2k π±π
2，k ∈Z }的关系是( )
A ．A ＝
B B ．A ⊆B
C ．A ⊇B
D ．以上都不对
解析：∵集合A 表示终边落在y 轴上的角，集合B 也表示终边落在y 轴上的角，∴A ＝B . 5．1－tan π3·sin π3·cos π3的值为( ) A.14 B.34 C.12 D.3
2
解析：1－tan π3·sin π3·cos π3＝1－3·32·12＝1
4
，应选A.
6．若sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝－32，且π<x <2π，则x 等于( )A.43π B.76π C.53π D.116π 解析：sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝cos x ＝－32，又x ∈(π，2π)，∴x ＝7π6
. 7．将函数y ＝sin x 的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位长度后，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π
6的图象，则φ＝( ) A.π6 B.5π6 C.7π6 D.11π
6
解析：当φ＝11π
6
时，则y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋11π6＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋2π－π6＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6.
8．已知a 是实数，则函数f (x )＝1＋a sin ax 的图象不可能是( )
解析：在选项D 中，f (x )的最大值大于2，∴|a |>1，此时T ＝2π
|a |
<2π，与图象矛盾．
9．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π
4(x ∈R ，ω>0)的最小正周期为π，将y ＝f (x )的图象向左平移|φ|个单位长度，所得图象关于y 轴对称，则φ的一个值是( ) A.π2 B.3π8 C.π4 D.π
8
解析：由T ＝2πω＝π，得ω＝2，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. 当φ＝π8时，用x ＋π
8
代换x ，得 f (x )＝sin ⎣⎡⎭⎫2⎝⎛⎭⎫x ＋π8＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
2＝cos2x 为偶函数，其图象关于y 轴对称，适合题意，故选D. 10．函数y ＝sin ⎝
⎛⎭⎫－2x ＋π
6的单调递减区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤－π6＋2k π，π3＋2k π，k ∈Z B.⎣⎡⎦⎤π6＋2k π，5π
6＋2k π，k ∈Z C.⎣⎡⎦⎤－π6＋k π，π3＋k π，k ∈Z D.⎣⎡⎦
⎤π6＋k π，5π
6＋k π，k ∈Z 解析：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π6＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，其递减区间为y ＝sin ⎝
⎛⎭⎫2x －π
6的递增区间， ∴2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )即k π－π6≤x ≤k π＋π
3
(k ∈Z )．∴y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π6的单调递减区间为 ⎣
⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )．
11．已知A 为锐角，lg(1＋cos A )＝m ，lg
1
1－cos A
＝n ，则lgsin A 的值是( )
A ．m ＋1n
B ．m －n C.12⎝⎛⎭⎫m ＋1n D.1
2(m －n ) 解析：∵m －n ＝lg(1＋cos A )－lg 1
1－cos A
＝lg(1＋cos A )＋lg(1－cos A )＝lg(1＋cos A )(1－cos A )＝lgsin 2A ＝2lgsin A ， ∴
lgsin A ＝1
2
(m －n )，故选D.
12．函数f (x )＝3sin ⎝
⎛⎭⎫2x －π
3的图象为C ， ①图象C 关于直线x ＝11
12
π对称； ②函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－π12，5π12内是增函数； ③由y ＝3sin2x 的图象向右平移π
3
个单位长度可以得到图象C ， 其中正确命题的个数是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
解析：①把x ＝1112π代入f (x )知，f ⎝⎛⎭⎫1112π＝3sin ⎝⎛⎭⎫2×11π12－π3＝3sin 3π
2
＝－3. ∴x ＝1112π是函数f (x )的对称轴，∴①正确．②由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π
2
，得增区间为
⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )．令k ＝0得增区间⎣⎡⎦
⎤－π12，5π12，∴②正确． ③依题意知y ＝3sin2⎝⎛⎭⎫x －π3＝3sin ⎝
⎛⎭⎫2x －2π
3，∴③不正确．应选C. 二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分．将答案填在题中横线上．) 13．若sin θ＝－4
5，tan θ>0，则cos θ＝________.
解析：由sin θ＝－4
5
，tan θ>0知，cos θ<0.∴cos θ＝－
1－sin 2θ＝－
1－(－45)2＝－35
.
14．设α是第三象限的角，tan α＝5
12，则cos α＝________.
解析：借助直角三角形，易知cos α＝－12
13
.
15．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象如图所示，则ω＝________.
解析：由图知，4T ＝2π3－π3＝π3，∴T ＝43π.又T ＝2πω＝43π，∴ω＝3
2.
16．给出下列命题：
①函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫
23x ＋π2是奇函数；②存在实数x ，使sin x ＋cos x ＝2；
③若α，β是第一象限角且α<β，则tan α<tan β；④x ＝π
8是函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π4的一条对称轴； ⑤函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象关于点⎝⎛⎭⎫π
12，0成中心对称．其中正确命题的序号为_①④ 解析：①y ＝cos ⎝⎛⎭⎫23x ＋π2＝－sin 2
3
x 是奇函数． ②因为sin x ，cos x 不能同时取最大值1，所以不存在实数x 使sin x ＋cos x ＝2成立． ③α＝π3，β＝13π6，则tan α＝3，tan β＝tan ⎝⎛⎭⎫2π＋π6＝tan π6＝3
3，tan α>tan β，∴③不成立． ④把x ＝π8代入函数y ＝sin2x ＋⎝⎛⎭⎫5π4，得y ＝－1.∴x ＝π
8
是函数图象的一条对称轴．
⑤因为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3图象的对称中心在图象上，而⎝⎛⎭⎫π
12，0不在图象上，所以⑤不成立． 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 17．(10分)已知α是三角形的一个内角，且sin α＋cos α＝2
3，判断这个三角形形状．
解：∵sin α＋cos α＝23，∴1＋2sin αcos α＝49，∴2sin αcos α＝－5
9<0，
又0<α<π，∴sin α>0，cos α<0，即α为钝角，∴此三角形为钝角三角形． 18．(12分)已知方程sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，求sin (π－α)＋5cos (2π－α)
2sin ⎝⎛⎭⎫3π2－α－sin (－α)的值．
解：∵sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，∴－sin(3π－α)＝2cos(4π－α)， ∴－sin(π－α)＝2cos(－α)，∴sin α＝－2cos α，可知cos α≠0， ∴原式＝sin α＋5cos α
－2cos α＋sin α＝－2cos α＋5cos α－2cos α－2cos α＝3cos α－4cos α
＝－3
4.
19．(12分)已知f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π6＋3
2，x ∈R . (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )的单调减区间；
(3)函数f (x )的图象可以由函数y ＝sin2x (x ∈R )的图象经过怎样变换得到？ 解：(1)T ＝2π
2
＝π.
(2)由2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π6≤x ≤k π＋2π
3，k ∈Z .
所以所求的单调减区间为⎣
⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π
3(k ∈Z )． (3)把y ＝sin2x 的图象上所有点向左平移π12个单位，再向上平移3
2个单位，即得函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋32的图象． 20．(12分)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象过点P ⎝⎛⎭⎫π12，0，图象与P 点最近的一个最高点坐标为⎝⎛⎭
⎫π3，5. (1)求函数解析式；(2)求函数的最大值，并写出相应的x 的值；(3)求使y ≤0时，x 的取值范围． 解：(1)由题意知T 4＝π3－π12＝π4，∴T ＝π.∴ω＝2πT ＝2，由ω·π12＋φ＝0，得φ＝－π
6
，又A ＝5，∴y ＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. (2)函数的最大值为5，此时2x －π6＝2k π＋π2(k ∈Z )．∴x ＝k π＋π
3
(k ∈Z )．
(3)∵5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6≤0，∴2k π－π≤2x －π6≤2k π(k ∈Z )．∴k π－5π12≤x ≤k π＋π
12(k ∈Z )． 21．(12分)已知cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝2cos ⎝⎛⎭
⎫3
2π＋β， 3sin ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝－2sin ⎝⎛⎭
⎫π
2＋β，且0<α<π，0<β<π，求α，β的值．
解：cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝2cos ⎝⎛⎭⎫3
2π＋β，即sin α＝2sin β① 3sin ⎝⎛⎭⎫32π－α＝－2sin ⎝⎛⎭⎫π
2＋β，即3cos α＝2cos β② ①2＋②2得2＝sin 2α＋3cos 2α.
又sin 2α＋cos 2α＝1，∴cos 2α＝12.∴cos α＝±2
2.
又∵α∈(0，π)，∴α＝π4或α＝3
4
π.
(1)当α＝π4时，cos α＝22，cos β＝32cos α＝32，又β∈(0，π)，∴β＝π
6.
(2)当α＝3π4时，cos α＝－22，cos β＝32cos α＝－32，又β∈(0，π)，∴β＝5π
6.
综上，α＝π4，β＝π6或α＝3π4，β＝5π
6
.
22．(12分)已知函数f (x )＝x 2＋2x tan θ－1，x ∈[－1，3]，其中θ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π
2. (1)当θ＝－π
6
时，求函数的最大值和最小值；
(2)求θ的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－1，3]上是单调函数(增函数或减函数称为单调函数)． 解：(1)当θ＝－π6时，f (x )＝x 2－233x －1＝⎝⎛⎭⎫x －3
32－43.
∵x ∈[－1，3]，∴当x ＝
33时，f (x )的最小值为－4
3
， 当x ＝－1时，f (x )的最大值为23
3
.
(2)f (x )＝(x ＋tan θ)2－1－tan 2θ是关于x 的二次函数．它的图象的对称轴为x ＝－tan θ. ∵y ＝f (x )在区间[－1，3]上是单调函数．
∴－tan θ≤－1或－tan θ≥3，即tan θ≥1或tan θ≤－3， ∵θ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，∴θ的取值范围是⎝⎛⎦⎤－π2，－π3∪⎣⎡⎭⎫π4，π2.。