江苏省普通高等学校2017年高三招生考试20套模拟测试附加题数学试题(四) Word版含解析

江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(四)
数学附加分(满分40分,考试时间30分钟)
解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
21. (本小题满分10分)
已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1
00 2,B ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1 20 1,若矩阵AB －1对应的变换把直线l 变为直线l′：x ＋y －2＝0,求直线l 的方程．
22.(本小题满分10分)
已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与x 轴的正半轴重合．若直线l 的极
坐标方程为ρsin ⎝
⎛⎫θ－π4＝3 2. (1) 把直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2) 已知P 为曲线C ：⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)上一点,求P 到直线l 的距离的最大值．
23. (本小题满分10分)
甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为12
,a,a(0＜a ＜1),三人各射击一次,击中目标的次数记为ξ.
(1) 求ξ的分布列及数学期望；
(2) 在概率P(ξ＝i)(i ＝0,1,2,3)中,若P(ξ＝1)的值最大,求实数a 的取值范围．
24.(本小题满分10分)
如图,正四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1中,AD ＝1,D 1D ＝2,点P 为棱CC 1的中点．
(1) 设二面角AA 1BP 的大小为θ,求sin θ的值；
(2) 设M 为线段A 1B 上的一点,求AM MP
的取值范围．
(四)
21. 解：B －
1＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1 －20 1, ∴ AB －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 2.(5分) 设直线l 上任意一点(x,y)在矩阵AB －1对应的变换下为点(x′,y ′),
⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′,∴ ⎩
⎪⎨⎪⎧x′＝x －2y ，y ′＝2y. 代入l′,得(x －2y)＋(2y)－2＝0,化简后得l ：x ＝2.(10分)
22. 解：(1) 直线l 的极坐标方程ρsin ⎝
⎛⎭⎫θ－π4＝32,则 22ρsin θ－22
ρcos θ＝32,即ρsin θ－ρcos θ＝6, 所以直线l 的直角坐标方程为x －y ＋6＝0.(5分)
(2) 因为P 为曲线⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝3sin θ上一点, 所以P 到直线l 的距离
d ＝|4cos θ－3sin θ＋6|2＝|5cos （θ＋φ）＋6|2
, 所以当cos(θ＋φ)＝1时,d 的最大值为1122
.(10分) 23. 解：(1) P(ξ)是“ξ个人命中,3－ξ个人未命中”的概率．其中ξ的可能取值为0,1,2,3.
P(ξ＝0)＝C 01⎝⎛⎭⎫1－12C 02(1－a)2＝12
(1－a)2, P(ξ＝1)＝C 11·12C 02
(1－a)2＋C 01⎝⎛⎭⎫1－12C 12a(1－a) ＝12
(1－a 2), P(ξ＝2)＝C 11·12
C 12a(1－a)＋C 01⎝⎛⎭⎫1－12C 22a 2 ＝12
(2a －a 2), P(ξ＝3)＝C 11·12C 22a 2＝a 22
.(4分)
所以ξ的分布列为
(5分)
ξ的数学期望为
E(ξ)＝0×12(1－a)2＋1×12(1－a 2)＋2×12(2a －a 2)＋3×a 22＝4a ＋12
.(6分) (2) P(ξ＝1)－P(ξ＝0)＝12
[(1－a 2)－(1－a)2]＝a(1－a), P(ξ＝1)－P(ξ＝2)＝12[(1－a 2)－(2a －a 2)]＝1－2a 2
. P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝12[(1－a 2)－a 2]＝1－2a 22
. 由⎩⎨⎧a （1－a ）≥0，1－2a 2
≥0，1－2a 22≥0和0＜a ＜1,得0＜a ≤12
,即a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，12.(10分) 24. 解：(1) 如图,以点D 为原点O,DA,DC,DD 1分别为x,y,z 轴建立空间直角坐标系
Oxyz,
则A(1,0,0),A 1(1,0,2),P(0,1,1),B(1,1,0),
所以AA 1→＝(0,0,2),AB →＝(0,1,0)．
设平面AA 1B 的法向量为n ＝(x 1,y 1,z 1),
则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AA 1→＝z 1＝0，n ·AB →＝y 1＝0，
得n ＝(1,0,0),(1分) 同理向量PA 1→＝(1,－1,1),PB →＝(1,0,－1)．
设平面PA 1B 的法向量为m ＝(x 2,y 2,z 2),
则⎩⎪⎨⎪⎧m ·PA 1→＝x 2－y 2＋z 2＝0，n ·PB →＝x 2－z 2＝0，
得m ＝(1,2,1),(3分) 所以cos 〈n ,m 〉＝n·m |n|·|m|＝66
,(4分) 则sin θ＝306
.(5分) (2) 设M(x,y,z),因为BM →＝λBA 1→,即(x －1,y －1,z)＝λ(0,－1,2),所以M(1,1－λ,2λ),(6分)
MA →＝(0,λ－1,－2λ),MP →＝(－1,λ,1－2λ),
AM MP ＝（λ－1）2＋4λ21＋λ2＋（1－2λ）2＝5λ2－2λ＋15λ2－4λ＋2 ＝1＋2λ－15λ2－4λ＋2
.(7分) 令2λ－1＝t ∈[－1,1],则2λ－15λ2－4λ＋2＝4t 5t 2＋2t ＋5
, 当t ∈[－1,0)时,
4t 5t 2
＋2t ＋5∈⎣⎡⎭⎫－12，0；当t ∈(0,1]时,4t 5t 2＋2t ＋5∈⎝⎛⎦⎤0，13；当t ＝0时,4t 5t 2＋2t ＋5
＝0, 所以4t 5t 2＋2t ＋5∈⎣⎡⎤－12，13,则AM MP ∈⎣⎡⎦⎤22
，233.(10分)。