潮州市2013届高中毕业班第二次模拟(数学文)试卷及答案

广东省潮州市2013年第二次模拟考试
数学试卷（文科）
本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：
1、答卷前，考生要务必填写答题卷上的有关项目。

2、选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答案填在答题卡相应的位置上。

3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内
的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效。

4、考生必须保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷交回。

一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的） 1．设i 为虚数单位，则复数i
2i
+等于 A ．
12i 55+ B ． 12i 55-+ C ．12i 55- D ．12i 55
-- 2．已知集合{}1,2,A m =，{}3,4B =，{}1,2,3,4A B =,则m =（ ）
A. 0
B. 3
C. 4
D. 3或4
3．已知向量(1,cos ),(1,2cos )θθ=-=a b 且⊥a b ，则cos 2θ等于 （ ）
A.1-
B.0 C .
12
D.2
4．经过圆022
2=+-y x x 的圆心且与直线02=+y x 平行的直线方程是
A ．012=-+y x
B ． 220x y --=
C ． 210x y -+=
D ．022=++y x
5．已知实数,x y 满足11y x x y y ≤⎧⎪
+≤⎨⎪≥-⎩
，则目标函数2z x y =-的最大值为
A ．3-
B ．
1
2
C ．5
D ．6 6、在△ABC 中，∠A ＝3
π
，AB ＝2，且△ABC
， 则边AC 的长为
A 、1 B
C 、2
D 、1
7.已知一个几何体的三视图及其大小如图1，这个几何体的体积=V
图3
8．函数f （x ）＝｜x －2｜－lnx 在定义域内的零点个数为
A 、0
B 、1
C 、2
D 、3
9.有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下： 甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 则下列判断正确的是
（A ） 甲射击的平均成绩比乙好 （B ） 乙射击的平均成绩比甲好 （C ） 甲比乙的射击成绩稳定 （D ） 乙比甲的射击成绩稳定
10．设向量12(,)a a a =，12(,)b b b =，定义一运算：12121122(,)(,)(,)a b a a b b a b a b ⊗=⊗= 已知1
(,2)2
m =，11(,sin )n x x =。

点Q 在()y f x =的图像上运动，且满足OQ m n =⊗ （其中O 为坐标原点），则()y f x =的最大值及最小正周期分别是 A ．
1
,2
π B ．1,42π C ．2,π D ．2,4π
二、填空题（本大题共5小题，分为必做题和选做题两部分，每小题5分，满分20分）。

（一）必做题：第10至13题为必做题，每道试题考生都必
须作答。

11.已知函数2log ()3x x f x ⎧=⎨⎩
(0)
(0)x x >≤，则(0)f =
12.已知等差数列{}n a 的首项11=a ，前三项之和93=S ， 则{}n a 的通项____=n a ．
13．如图，是一程序框图，则输出结果为
K = , S = .
(说明，M N =是赋值语句，也可以写成M N ←，或:M N =)
(二)选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）
⒕（几何证明选讲选做题）如图3，圆O 的割线PAB 交圆 O 于A 、B 两点，割线PCD 经过圆心。

已知6=PA ，
3
1
7=AB ，12=PO 。

则圆O 的半径____=R ．
⒖（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系) , (θρ（πθ20<≤）中，
直线4
π
θ=
被圆θρsin 2=截得的弦的长是 ．
三、解答题：本大题共6小题，满分80步骤。

已知函数x x x x x f cos sin 2)cos (sin 3)(22--=． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）设[,]33
x ππ
∈-
，求()f x 的值域和单调递增区间． 17．（本小题满分12分）某次运动会在我市举行，为了搞好接待工作，组委会招募了16名男志愿者和14名女志愿者，调查发现，男、女志愿者中分别有10人和6人喜爱运动，其余不喜爱。

（1
（2运动有关？
（3）如果从喜欢运动的女志愿者中（其中恰有4人能胜任翻译工作），抽取2名，则抽出的
志愿者都能胜任翻译工作的概率是多少？ 参考公式：2
2
()()()()()
n ad bc K a
b c d a c b d -=++++，其中.n a b c d =+++
18．（本小题满分14分）
在直三棱柱111C B A ABC -中，⊥AD 平面1A BC ，其垂足D 落在直线1A B 上． （Ⅰ）求证：B A BC 1⊥；
（Ⅱ）若AD 2==BC AB ，P 为AC 的中点， 求三棱锥BC A P 1-的体积．
19．（本小题满分14分）
设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11=a ，且对任意正整数n ，点) , (1n n S a +在直线
第18题图 B
A
C
D
P
1
B 1
A 1
C
⑴求数列{}n a 的通项公式；
⑵若2
n n na b =，求数列{}n b 的前n 项和．
20．（本小题满分14分）
已知点)5,0(-是中心在原点，长轴在x 轴上的椭圆的一个顶点， 离心率为
6
6 ，椭圆的左右焦点分别为F 1和F 2 。

（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）点M 在椭圆上，求⊿MF 1F 2面积的最大值；
（Ⅲ）试探究椭圆上是否存在一点P ，使021=⋅PF PF ，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。

21.（本小题满分14分）已知x
ax x f 1
)(-
=，x x g ln )(=，0>x ，R a ∈是常数． ⑴求曲线)(x g y =在点))1( , 1(g P 处的切线l ．
⑵是否存在常数a ，使 l 也是曲线)(x f y =的一条切线．若存在，求a 的值；若不存在，简
要说明理由．
⑶设)()()(x g x f x F -=，讨论函数)(x F 的单调性．
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数学试卷（文科）答题卷
（一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答。

11．；12．；13．；。

(二)选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）
14（15）.
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.(12分)
17．（12分）
（
18．（14分） 第18题图
B
A
C
D
P
1
B 1
A 1
C
19．（14分）20．（14分）
21．（14分）
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数学(文科)答案及评分标准
说明：
一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
一 选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案
A
D
B
A
C
A
B
C
D
C
二 填空题
（一）必做题（每小题5分，满分15分）
11．1 12．12-n 13．11; 511
（2分，3分）;
（二）（考生只能选做一题，两题全答的，只计算第一题的得分,本小题5分)
⒕8； ⒖2． 2.D 解析：m =3或4
3．B 解析:2
12cos 0cos 20θθ⊥⇔-+=⇔=a b .
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）∵x x x x x f cos sin 2)sin (cos 3)(22---=…………………… 3分)(x f ∴的最小正
周期为π． ………………… 5分
（Ⅱ）∵[,
]33x ππ
∈-
， 23
3
x π
π
π∴-
≤+
≤， ．
)(x f ∴的值域为]3,2[-． ……………… 10分
当)3
2sin(π
+
=x y 递减时，()f x 递增．
ππ
π
≤+
≤∴
3
22
x ，即
3
12
π
π
≤
≤x ．
故()f x 的递增区间为⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡3,12ππ． ……………………12分 17
（2）假设：是否喜爱运动与性别无关，由已知数据可求得： 2
30(10866)⨯⨯-⨯
B 1
C 1
A 1C
D
P
A
因此，在犯错的概率不超过0.10的前提下不能判断喜爱运动与性别有关6分 （3）喜欢运动的女志愿者有6人， 设分别为A 、B 、C 、D 、E 、F ，其中A 、B 、C 、D 会外语，则从这6人中任取2人有AB ，AC ，
AD ，AE ，AF ，BC ，BD ，BE ，BF ，CD ，CE ，CF ，DE ，DF ，EF ，共15种取法，其中两人都会外语的有AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD ，共6种。

故抽出的志愿者中2人都能胜任翻译工作的概率是62.15
5
P == 12分
18．（本小题满分14分） （Ⅰ）证明：
三棱柱 111C B A ABC -为直三棱柱，
∴⊥A A 1平面ABC ，
又⊂BC 平面ABC ，
∴BC A A ⊥1 ----------------------------------------2分
AD ⊥平面1A BC ，且⊂BC 平面1A BC ，
∴BC AD ⊥. 第18题图
又 ⊂1AA 平面AB A 1,⊂AD 平面AB A 1,A AD A A =⋂1，
∴BC ⊥平面1A AB ，----------------------------5分
又⊂B A 1平面BC A 1，
∴ B A BC 1⊥-----------------------------------7分
（2）在直三棱柱111C B A ABC - 中，⊥A A 1AB .
AD ⊥平面1A BC ，其垂足D 落在直线1A B 上,
∴
B A AD 1⊥.
在Rt ABD ∠∆
中，AD AB BC ==2
，sin AD ABD AB ∠=
=
60ABD ∠= 在1Rt ABA ∠∆中，
tan AA AB =⋅=0
160--------------------------------9分
由（1）知BC ⊥平面1A AB ，
⊂AB 平面AB A 1,从而AB BC ⊥ 2222
1
21=⨯⨯=⋅=
⋅∆BC AB S ABC 11
==S S
∴=-BC A P V 1
1
1111333
A BCP BCP V S A A -∆=⋅=⨯⨯=
---------------------14分 19．解：⑴因为点) , (1n n S a +在直线022=-+y x 上，所以0221=-++n n S a ……1分，
当1>n 时，0221=-+-n n S a ……2分，两式相减得
02211=-+--+n n n n S S a a ，即0221=+-+n n n a a a ，n n a a 2
1
1=
+……3分 又当1=n 时，022221212=-+=-+a a S a ，122
1
21a a ==……4分 所以{}n a 是首项11=a ，公比2
1
=
q 的等比数列……5分， {}n a 的通项公式为1)21(-=n n a ……6分．
⑵由⑴知，12
4
-==n n n n na b ……7分，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，则
1224
4143421--+-++++=n n n n
n T ……8分，
2344143244--+-++++=n n n n
n T ……9分，两式相减得
1234
41414153----++++=n n n n n T ……11分，1434
3316-⨯+-n n ……13分，
所以，数列{}n b 的前n 项和为14
943916-⨯+-=n n n T ……14分． 20．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）设椭圆方程为12222=+b
y a x .
由已知，.6
6,5=
==a
c e b
-------2分
22
2
22222
1a
b a b a a
c e -=-==， 61512=-∴a . 解得62=a -------4分
∴所求椭圆方程为15
62
2=+y x -----------------5分
（Ⅱ）令),,(11y x M ， 则 ||22
1
||||21112121y y F F S F MF ⋅⋅=⋅=∆ ------7分 ∵551≤≤-
y ，故||1y 的最大值为5 -----8分
∴当51±=y 时，2
1F MF S ∆的最大值为5。

-----9分
（Ⅲ）假设存在一点P , 使021=⋅PF PF ，,0,021≠≠PF PF ∴21PF PF ⊥，---10分 ∴⊿PF 1F 2为直角三角形，∴42
21222
1
==+F F PF PF ①
------11分 又∵62221==+a PF PF ②
--------------12分 ∴②2－①，得 ,20221=⋅PF PF ∴
,52
1
21=⋅PF PF
--------------13分
即2
1F PF S ∆=5，但由（1）得2
1F PF S ∆最大值为5，故矛盾，
∴不存在一点P , 使021=⋅PF PF --------------14分
21．⑴0)1(=g ，x
x g 1
)(/
=
，1)1(/=g ……1分，所以直线 l 的方程为1-=x y ……2分。

⑵设)(x f y =在0x x =处的切线为 l ，则有⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=+-=-111
12
000
0x a x x ax ……4分，解得⎪⎩⎪⎨⎧==4320a x ，
即，当4
3
=a 时， l 是曲线)(x f y =在点)1 , 2(Q 的切线……5分．
⑶41)211(11)(22/
--+=-+=x a x x
a x F ……6分．
当41≥a ，04
1≥-a 时，0)(/
≥x F ……7分，)(x F 在) , 0(∞+单调递增……8分；
当0=a 时，22/
111)(x
x x x x F -=-=……9分，)(x F 在]1 , 0(单调递增，在) , 1(∞+单调
减少……10分； 当410<
<a 时，解0)(/
=x F
得10x =
f
，20x =f ，…11分， )(x F 在] , 0(1x 和) , (2∞+x 单调递增，在] , (21x x 单调减少 ……12分；
当0<a 时，解0)(/=x F 得024111>--=a a x ，024112<-+=a
a
x （2x 舍去）…13分，
)(x F 在] , 0(1x 单调递增，在) , (1∞+x 单调递减……14分．。