人教版数学高二A版选修4-1课后习题解答 2-5与圆有关的比例线段

第5课时 与圆有关的比例线段
习题2.5 (第40页)
1．解 如图所示，设两条弦相交于P ，PA ＝12，PB ＝18，PD ∶PC ＝3∶8.令PD
＝x ，则PC ＝83x .
由相交弦定理得PA ·PB ＝PC ·PD ，
∴12×18＝83x 2.∴x ＝9 (cm)．即PD ＝9 cm.
∴PC ＝83×9＝24 cm.
故CD ＝24 cm ＋9 cm ＝33 cm.
2．解 如图(1)是轴纵断面图，图(2)是圆头部分的图形，其中弦CD ＝30，直径
AB ＝72，且AB ⊥CD 于M ，因此BM 就是圆头部分的长．设BM ＝x ，由相交弦定理得MC ·MD ＝MB ·MA .
而MC ＝MD ，∴⎝ ⎛⎭
⎪⎫CD 22＝MB ·MA ＝(AB －MB )·MB . ∴152＝(72－x )x .解得x ≈36±33，∴x 1≈69，x 2≈3.
∴轴的全长可能是160＋69＝229，或者160＋3＝163.
3．证明 如图所示，延长CP 与圆相交于点D .
∵OP ⊥PC ，∴PC ＝PD .
∵PA ·PB ＝PC ·PD ，
∴PC 2＝PA ·PB .
4．解 设⊙O 的半径为x .
∵PO ＝PC ＋x ，∴PC ＝PO －x ＝12－x .
又PB＝PA＋AB＝6＋71
3＝
40
3.
∵PA·PB＝PC·PD，
∴6×40
3＝(12－x)(12＋x)．
解得x＝8.
5．证明∵NMQ与NBA是⊙O′的割线，∴NM·NQ＝NB·NA，
而PQ是⊙O′的切线，
∴NB·NA＝PN2.
∴PN2＝NM·NQ.
6．证明∵PA是⊙O的切线，
∴MA2＝MB·MC.
∵M是PA的中点，
∴MP＝MA.
∴MP2＝MB·MC.
∴MB
MP＝
MP
MC.又∵∠BMP＝∠PMC，
∴△BMP∽△PMC.∴∠MPB＝∠MCP.
7．证明如图所示，连接GC.
∵∠1和∠2是同弧上的圆周角，
∴∠1＝∠2.
∵AD⊥BC，CF⊥AB，
∴∠2＝90°－∠ABD，
∠3＝90°－∠ABD.
∴∠2＝∠3.∴∠1＝∠3.
又∠CDH＝∠CDG，CD＝CD
∴Rt△CHD≌Rt△CGD.
∴DH＝DG.
8．证明如图所示，连接OC，则∠AOC的度数等于弧AC的度数．
∵∠CDE的度数等于弧EAC度数的一半，而AC＝AE，∴∠AOC＝∠CDE.∴∠POC＝∠PDF.
又∵∠DPF＝∠OPC，∴△POC∽△PDF.
∴PO
PD＝
PC
PF.∴PO·PF＝PC·PD.
又∵PC·PD＝PB·PA，
∴PO·PF＝PB·PA.
9．解如图(1)所示，∵DG和FE是圆内相交的弦，
图(1) ∴CF·CE＝CD·CG.
∵AB是圆的切线，∴AB2＝AD·AE.
∵AB＝AC，∴AC2＝AD·AE，
即AC
AE＝
AD
AC.
而∠CAD＝∠EAC，∴△ACD∽△AEC
∵∠AEC＝∠G，∴∠ACD＝∠G.
∴AC∥FG.
图(2)
如果∠BAD＝∠CAD，如图(2)所示，连接BC，BD，BG，BE. ∵AB＝AC，AD＝AD，
∴△ABD≌△ACD.
∴BD＝CD.
∠ABD＝∠ACD.
∵∠ACD＝∠1，∠ABD＝∠2，
∴∠1＝∠2.
∴BD＝FD，∴∠3＝∠4.
∴△ABE≌△ACE.
∴BE＝CE.∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAD，
∴AE⊥BC.
∴四边形ABEC各边的中点在同一个圆周上．
∵AB＝AC，EB＝EC，∴AB＋EC＝AC＋EB.①
由①可以推出，四边形ABEC存在内切圆(证明略)．。