《直线与圆锥曲线》导学案

高二数学选修2-1 编号:SX--02--01
2.4《直线与圆锥曲线》导学案
撰稿：黄文海 审核: 陈天华 时间：2011-02-21
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【学习目标】
1、熟练掌握直线与圆锥曲线位置关系的判定方法及数与形的对应关系；
2、能够解决直线与圆锥曲线的弦长、中点弦等相关问题；
3、通过对直线与圆锥曲线的研究培养学生运用数形结合、方程和转化等数学思想方法解决直线与圆锥曲线综合问题的能力。

【重点难点】
▲重点：直线与圆锥曲线相交的有关问题；
▲难点：1、综合分析已知条件通过转化进而得到有关量之间的关系；
2、数学思想方法的灵活运用，简化有关的计算
【知识盘点】
一．直线与圆锥曲线的位置关系
1．代数法：判断直线l 与圆锥曲线r 的位置关系时，通常将直线l 的方程0(,Ax By C A B ++=不同时为0)代入圆锥曲线r 的方程(,)0F x y =，消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x (或y )的一元方程，即0(,)0Ax By C F x y ++=⎧⎨=⎩消去y 后得02
=++c bx ax ，
(1)当0a ≠时，则有0∆>，直线l 与曲线r ；0∆=，直线l 与曲线r ；0∆<，直线l 与曲线r 。

(2)当0a =时，即得到一个一次方程，则l 与r 相交，且只有一个交点，此时，若r 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是 ；若r 是抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是 。

2．几何法：直线与圆锥曲线的位置关系可分为三类：
(1)直线与圆锥曲线没有公共点⇔直线与圆锥曲线 ；
(2) 直线与圆锥曲线有且只有一个公共点⇔对椭圆而言，直线与椭圆 ；对双曲线而言，表示直线与其相切或与双曲线的渐近线 ，对于抛物线而言，表示直线与其 或与其对称轴平行；
(3) 直线与圆锥曲线有个相异的公共点⇔直线与圆锥曲线 ，此时直线被圆锥曲线所截得的线段称为圆锥曲线的弦。

二．中点弦问题
已知弦AB 的中点，研究AB 的斜率与方程.AB 是椭圆2
2221(0)x y a b a b +=>>的一条弦，中点M 坐标
为00(,)x y ，则直线的斜率为 。

运用点差法求AB 的斜率：设1122(,),(,),,A x y B x y A B 都在椭圆上，则221122
22222211x y a b x y a b ⎧+
=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减，得12222212220x x y y a b --+=，1212121222()()()()0x x x x y y y y a b -+-+∴+=，从而2121221212()()
y y b x x x x a y y -+=-=-+ ，故AB k = 。

运用类比思想，可以推出已知AB 是双曲线22221x y a b
-=的弦，中点M 00(,)x y ，则AB k = ； 已知抛物线22(0)y px p =>的弦AB 的中点M 00(,)x y ，则AB k = .
三．弦长问题.
(1)斜率为k 的直线与圆锥曲线相交于两点111(,)P x y ，222(,)P x y ，则所得的弦长为 或 ，
(2)当直线的斜率不存在时，可求出交点的坐标，直接运算；
(3)经过圆锥曲线的焦点的弦(也称为焦点弦)的长度问题，可利用圆锥曲线的定义，将其转化为 ，往往比利用弦长公式简单。

【基础闯关】
1．过点(2,4)P 作直线与抛物线2
8y x =只有一个公共点，这样的直线有( )
(A)1条 (B)2 条 (C)3条 (D)4条
2．与直线240x y -+=平行的抛物线2y x =的切线方程为( )
(A)230x y -+= (B) 230x y --= (C) 210x y -+= (D) 210x y --=
3．抛物线24y x =过焦点的弦的中点的轨迹方程是( )
(A) 22(1)y x =- (B) 21y x =- (C) 212y x =- (D) 221y x =- 4．直线143x y +=与椭圆22
1169
x y +=相交于,A B 两点，椭圆上的点C 使ABC ∆的面积等于12，这样的点C 共有( )
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个 5．过抛物线2
4y x =的焦点F 作垂直与x 轴的直线，交抛物线于,A B 两点，则以F 为圆心，AB 为直径的圆的方程是 .
6．已知直线l 与抛物线28y x =交于,A B 两点，且l 过抛物线的焦点F ，点A 的坐标为(8,8)，则线段AB 的中点到抛物线准线的距离是 .
【典例精析】
例1．已知直线(1)1y a x =+-与曲线2y ax =)0(≠a 恰有一个公共点，求实数a 的值。

例2．过点(1,1)P -作直线与椭圆22142
x y +=交于,A B 两点，若线段AB 的中点为P ，求直线AB 所在的直线方程和线段AB 的长度.
［变式训练］椭圆2222
1a x b y +=与直线10x y +-=相交于,A B 两点，C 是,A B 的中点.若
||AB =OC ，求椭圆的方程。

例3．已知椭圆22:143
x y E +=，试确定m 的取值范围，便得椭圆E 上存在不同的两点关于直线:4l y x m =+对称。

例4．给定双曲线2
212
y x -=.
(1)过点(2,1)A 的直线l 与所给的双曲线交于12,P P ，求线段12P
P 的中点P 的轨迹方程； (2)过点(1,1)B 能否作直线m ，使m 与所给的双曲线交于12,Q Q ，且B 是线段12Q Q 的中点？若存在，求出直线方程.如果不存在，请说明理由。

【能力提升】
1．已知抛物线2
2(0)y px p =>的焦点在直线2y x =-上，现让抛物线作平行移动，当抛物线的焦点沿直线2y x =-移动点(2,42)a a +时，抛物线的方程应为( )
(A)2(6)8(6)y x -=+ (B) 2(6)8(6)y x +=- (C) 2(6)8(6)y x +=+ (D) 2(6)8(6)y x -=-
2．不论k 取值何值，直线(2)y k x b =-+与曲线221x y -=总有公共点，则实数b 的取值范围是( )
(A) ( (B) [ (C)(2,2)- (D)[2,2]- 3．已知双曲线22
1124
x y -=的右焦点为F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则直线斜率的取值范围是( )
(A)
( (B)( (C) [ (D) [
4．如果以原点为圆心的圆，经过双曲线22221x y a b -=的焦点，而且被直线2
:a l x c
=分成弧长为 2：1的两段圆弧，那么该双曲线的离心率为______
5．直线3y x =-与抛物线24y x =交于,A B 两点，过,A B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为,P Q ，则梯形APQB 的面积为________
6．设坐标原点为O ，抛物线22y x =与过焦点的直线交于,A B 两点，则OA OB ⋅=________
7．椭圆22142x y +=中过点(1,1)P 的弦恰好被P 点平分，则此弦所在的直线方程是
8．已知椭圆的离心率为e ，焦点F 到其相应准线的距离为p ，弦AB 过焦点F ，若AB 的倾斜角为θ，则||__________.AB =
9．在以O 为原点的直角坐标系中，点A （4，－3）为△OAB 的直角顶点.已知|AB|=2|OA|，且点B 的纵坐标大于零. （1）求向量的坐标； （2）是否存在实数a ，使抛物线12-=ax y 上总 有关于直线OB 对称的两个点？若不存在，说明理由：若存在，求a 的取值范围.
【课后反思】
本节课我最大的收获是 我还存在的疑惑是 我对导学案的建议是。