高三数学总复习优质课件 函数 导数及其应用 第8节 函数与方程

(C){-2,6}
(D)(-∞,-2)∪(6,+∞)
解析:因为二次函数y=x2+mx+(m+3)有两个不同的零点,所以Δ>0,即m24(m+3)>0,
解得m∈(-∞,-2)∪(6,+∞).故选D.
3.用二分法求函数f(x)=2x+2x-2在区间[0,4]上的零点近似值时取区间中
点2,则下一个存在零点的区间为(
2
若 f(x)=x -mx-m+3=0 的两个不同的实根都在[-4,0]内,
= + - > 0,
> 或 < - ,
则
- ≤

≤ ,
- ≤ ≤ ,
解得

(-) = + + > 0,
>- ,

< ,
() = - + > 0,



令 1+ +3x=0,此方程无解,故只有两个零点.故选 C.

(2)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且x∈[0,1]时,f(x)=x,
则函数h(x)=f(x)-log5|x|的零点个数是(
(A)2
(B)4
(C)6
(D)8
)
解析:(2)因为 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且 x∈[0,1]时,f(x)=x,
答案:(-∞,-6)∪(2, )

[典例迁移2] 若本例中的方程不变,其余改为“一根大于1,一根小于1”,
则实数m的取值范围是
.
解析:令f(x)=x2-mx-m+3,则函数的图象是开口向上的抛物线,若f(x)=x2mx-m+3=0的两根一根大于1,一根小于1,则f(1)=1-2m+3<0,解得m>2.
的零点.
(2)三个等价关系:方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与 x轴 有交
点⇔函数y=f(x)有 零点 .
2.函数零点的判定
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有
f(a)·f(b)<0
,那么,函数y=f(x)在区间 (a,b) 内有零点,即存在c∈
(a,b),使得 f(c)=0 ,这个c也就是f(x)=0的根.我们把这一结论称为函
系为(
)
(A)c<a<b
(B)a<c<b
(C)a<b<c
(D)b<a<c

解析:易知函数 f(x)=ln x+2x-1 在 R 上单调递增.因为 f( )<0,f(1)>0,所以 a


a
∈( ,1),b=π >1,c=ln a<0,因此 c<a<b.

故选 A.
反思归纳
(1)若函数图象连续不间断,则判断函数零点所在的区间可直接使用函数
在[0,4]上的交点个数为 5.故选 D.

[对点训练 1] (1)已知函数 f(x)=
-, ≤ ,

+ , > 0,
则函数 y=f(x)+3x 的零

点个数是(
)
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
2
解析:(1)根据题意令 x -2x+3x=0,
解得 x1=0,x2=-1,当 x≤0 时符合题意.
考点二
函数零点个数的判断(基础性、综合性)
[例 1] (1)函数 f(x)=
(A)3
(B)2
解析:(1)法一
> ,
- + = ,
(C)1
+ -, ≤ ,
- + , >
的零点个数为(
)
(D)0
≤ ,
由 f(x)=0 得
或
+ - =
解得 x=-2 或 x=e.因此函数 f(x)共有 2 个零点.故选 B.
即- <m<-6.


答案:(- ,-6)

反思归纳
若二次方程的根在一个区间上,则要考虑方程判别式Δ≥0,方程对应的二
次函数图象的对称轴在该区间内,以及区间端点函数值的符号;若二次方
程的根在两个区间上,则只需要考虑区间端点的函数值符号.
[典例迁移1] 若本例中的方程不变,其余改为“两个不同的实根都小于5”,
法二
函数f(x)的图象如图所示,由图象知函数f(x)共有2个零点.故选B.
(2)已知函数 f(x)满足 f(x)=f(-x)和 f(x+2)=f(x),且在 x∈[0,1]

x
时,f(x)=1-x,则关于 x 的方程 f(x)=() 在[0,4]上解的个数是(
(A)2 (B)3 (C)4 (D)5
(A)(0,1)
(B)(0,2)
B )
(C)(2,3)
(D)(2,4)
解 析 : 因 为 f(0)=20+0-2=-1<0,f(4)=24+8-2>0.f(2)=22+4-2>0, 所 以
f(0)f(2)<0,所以下一个存在零点的区间为(0,2).故选B.
4.(旧教材必修1P88例1改编)函数f(x)=ln x+2x-1零点的个数为(
第二章
函数、导数及其应用
第8节
函数与方程
[考纲展示]
结合二次函数的图象,判断一元二次方程根的存在性与根的个数,了解函数的
零点与方程根的联系.
积累必备知识
提升关键能力
培育学科素养
积累必备知识
知识梳理
1.函数的零点
(1)函数零点的定义:对于函数y=f(x),把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)
则实数m的取值范围是
.
2
解析:令 f(x)=x -mx-m+3,则函数的图象是开口向上的抛物线,若 f(x)=
= + - > 0,
2
x -mx-m+3=0 的两个不同的实根都小于 5,则


< ,
() = - + > 0,

解得 m<-6 或 2<m< .


(A)4
(B)3
(C)2
D )
(D)1
解析:在同一坐标系内分别作出函数y=ln x与y=1-2x的图象,易知两函数
图象有且只有一个交点,
即函数y=ln x+2x-1只有一个零点.故选D.
5.已知函数 f(x)=
, > 0,

,
≤ ,
根,则实数 k 的取值范围是
若关于 x 的方程 f(x)=k 有两个不等的实数
当 x∈[-1,0]时,-x∈[0,1],f(-x)=-x,
所以 f(x)=-x,又 f(x)满足 f(x+2)=f(x),
所以 f(x)是周期为 2 的偶函数,且 f(x)∈[0,1].
令 h(x)=0,则 f(x)=log5|x|∈[0,1],x∈[-5,-1]∪[1,5],
设 g(x)=log5|x|,则 g(x)为偶函数,所以 h(x)的零点的个数为 f(x)与 g(x)
)
解析:(2)由题意可得,函数 f(x)是周期为 2 的周期偶函数.
x
x
方程 f(x)=( ) 在 x∈[0,4]上解的个数,即函数 y=f(x)的图象与函数 y=( ) 的图象在[0,4]


上的交点个数.
x
x
当 x∈[0,1]时,f(x)=1-x,设 g(x)=f(x)-( ) =1-x-( ) ,所以 g(0)=0.
)
(5)若函数y=f(x)在区间(a,b)上严格单调且满足f(a)f(b)<0,则函数在区
间(a,b)内有唯一的零点.(
)
答案:(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)√
2.如果二次函数y=x 2 +mx+(m+3)有两个不同的零点,则m的取值范围是
( D )
(A)(-2,6)
(B)(6,+∞)
.
解析:如图所示,作出函数y=f(x)与y=k的图象,由图可知满足条件的k的取
值范围是k∈(0,1].
答案:(0,1]
提升关键能力
考点一
题组过关
x
1.函数 f(x)=2 -
函数零点区间的确定及应用(基础性)
的零点 x0 所在的区间为(
+
)
(A)(-1,0) (B)(0,1) (C)(1,2) (D)(2,3)
f(a)·f(b)<0,则函数y=f(x) 一定有零点.特别地,当y=f(x)在[a,b]上单
调时,它仅有一个零点.
(2)由函数y=f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a,b]上有零点不一定能
推出f(a)·f(b)<0,如图所示.所以f(a)·f(b)<0是y=f(x)在闭区间[a,b]
上有零点的充分不必要条件.
解析:因为f(x)在区间(-1,+∞)上是增函数,且f(1)=-1<0,f(2)=2>0,所以
f(x)的零点x0∈(1,2).故选C.
2.设方程log2x-22-x-1=0的解为x0,则x0所在的区间是(
(A)(0,1)
(B)(1,2)
(C)(2,3)
)
(D)(3,4)

解析:令函数 f(x)=log2x-1-2 ,则 f(2)=-1,f(3)=log23- =log23-log2 >0,
在[1,5]上交点个数的两倍.
在同一直角坐标系内画出 f(x),g(x)在[1,5]上的图象如图所示,由图象可
得 f(x)与 g(x)在[1,5]上的交点个数为 4,所以 h(x)零点个数为 8.故选 D.
反思归纳
判断函数y=f(x)零点个数的常用方法
(1)方程转化法.令f(x)=0,则方程实根的个数就是函数零点的个数;
对数函数以及与周期性、奇偶性等函数性质有关的函数零点个数问题常
用此法.
考点三
函数零点的应用(综合性)
多维探究
角度一 二次函数零点(二次方程的根)分布
[例2] 已知关于x的方程x2-mx-m+3=0两个不同的实根都在[-4,0]内,则实数
m的取值范围是
.
2
解析:令 f(x)=x -mx-m+3,则函数的图象是开口向上的抛物线,








因为 g( )=1- -( )


-
= - =



<0,

x
因此函数 y=f(x)的图象与函数 y=( ) 的图象在[0,1)内存在两个交点.
Βιβλιοθήκη x画出函数 f(x),y=( ) 的图象如图所示,由图象可知两函数图象分别在[0,1)上有 2 个交点,


x
在[1,2]上有 1 个交点,在(2,4]上有 2 个交点,故函数 y=f(x)的图象与函数 y=( ) 的图象
(2)函数零点的存在性定理:利用函数零点的存在性定理不但要求函数图
象连续不间断、函数在区间的端点处函数值异号,而且还要结合函数的图
象、性质等才能确定函数零点的个数;
(3)数形结合法:转化为两个函数的图象的交点个数问题(画出两个函数的
图象,其交点的个数就是函数零点的个数).一般地,涉及三角函数、指数、
零点的存在性定理,反之,若函数解析式中含参数,则可以利用零点所在的
区间的端点建立不等式求参数的范围;
(2)涉及方程h(x)=g(x)的解所在的区间时,若不能够解方程,则通过构造
函数f(x)=h(x)-g(x),结合函数零点的存在性定理转化为函数的零点;
(3)函数y=f(x)与y=g(x)图象交点的横坐标所在的区间即为函数y=f(x)g(x)的零点所在的区间.
2-x

因为 f(2)f(3)<0,所以函数 f(x)在(2,3)上必有零点.又易知函数 f(x)为增函
2-x
数,所以 f(x)在(2,3)上有且只有一个零点,该零点就是方程 log2x-2 -1=0 的
根 x0,所以 x0∈(2,3),故选 C.
x

3.函数 f(x)=2 - -a 的一个零点在区间(1,2)内,则实数 a 的取值范围是
答案:(2,+∞ )
[典例迁移3] 若本例中的方程不变,其余改为“一根在(0,1)内,一根在
(1,2)”,则实数m的取值范围是
.
2
2
解析:令 f(x)=x -mx-m+3,则函数的图象是开口向上的抛物线,若 f(x)=x mx-m+3=0 的两根一根在(0,1)内,一根在(1,2)内,
基础自测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)所有二次函数的零点都可以利用二分法求解.(
)
(2)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在b2-4ac<0时没有零点.(
)
(3)函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点(函数图象连续不断),则f(a)·f(b)<
0.(
)
(4)函数y=f(x)有几个零点,则方程f(x)=0就有几个根.(
(
)
(A)(1,3) (B)(1,2) (C)(0,3) (D)(0,2)
x

解析:由题,显然函数 f(x)=2 - -a 在区间(1,2)内连续,因为 f(x)的一个零点

在区间(1,2)内,所以 f(1)f(2)<0,即(2-2-a)(4-1-a)<0,解得 0<a<3.故选 C.
4.已知函数f(x)=ln x+2x-1的零点为a,设b=πa,c=ln a,则a,b,c的大小关
数零点存在性定理.
3.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系
Δ>0
Δ=0
Δ<0
与 x 轴的交点
(x1,0),(x2,0)
(x1,0)
无交点
零点个数
2
1
0
二次函数
2
y=ax +bx+c
(a>0)的图象
重要结论
(1)若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有