天津市宝坻区2019-2020学年高考第四次大联考数学试卷含解析

天津市宝坻区2019-2020学年高考第四次大联考数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设02x π≤≤sin cos x x =-，则（ ） A ．0x π≤≤ B ．
74
4
x π
π≤≤
C ．
54
4
x π
π≤≤
D ．
32
2
x π
π≤≤
【答案】C 【解析】 【分析】
将等式变形后，利用二次根式的性质判断出sin cos x x …
，即可求出x 的范围. 【详解】
Q
=|sin cos |x x =-
sin cos x x =-
sin cos 0,x x ∴-… 即sin cos x x … 02x πQ 剟
54
4
x
π
π∴剟 故选：C 【点睛】
此题考查解三角函数方程，恒等变化后根据sin ,cos x x 的关系即可求解，属于简单题目. 2．已知集合{}
}2
42{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N ⋂=
A ．}{43x x -<<
B ．}{42x x -<<-
C ．}{22x x -<<
D ．}{23x x <<
【答案】C 【解析】 【分析】
本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题． 【详解】
由题意得，{}{}
42,23M x x N x x =-<<=-<<，则
【点睛】
不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分． 3．在正项等比数列{a n }中，a 5-a 1=15，a 4-a 2 =6，则a 3=（ ） A ．2 B ．4 C ．
12
D ．8
【答案】B 【解析】 【分析】
根据题意得到4511115a a a q a -=-=，3
42116a a a q a q -=-=，解得答案.
【详解】
4511115a a a q a -=-=，342116a a a q a q -=-=，解得112a q =⎧⎨=⎩或116
12a q =-⎧⎪
⎨=⎪⎩
（舍去）.
故2
314a a q ==.
故选：B . 【点睛】
本题考查了等比数列的计算，意在考查学生的计算能力.
4．已知函数()ln f x x =，若2()()3F x f x kx =-有2个零点，则实数k 的取值范围为（ ） A ．21,06e ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
B ．1,06e ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
C ．10,
6e ⎛
⎫ ⎪⎝⎭
D ．2
10,
6e ⎛⎫ ⎪⎝
⎭
【答案】C 【解析】 【分析】
令2
()()30F x f x kx =-=，可得2ln 3x k x =
，要使得()0F x =有两个实数解，即y k =和2
ln ()3x
g x x
=有两个交点，结合已知，即可求得答案. 【详解】
令2
()()30F x f x kx =-=， 可得2ln 3x
k x
=
， 要使得()0F x =有两个实数解，即y k =和2
ln ()3x
g x x =
有两个交点， Q 3
12ln ()3x
g x x -'=
， 令12ln 0x -=，
可得e x =，
∴当(0,e)x ∈时，()0g
x '>，函数()g x 在(0,e)上单调递增；
当(e,)x ∈+∞时，()0g x '<，函数()g x 在(,)e +∞上单调递减.
∴当e x =时，max 1()6e
g x =， ∴若直线y k =和2
ln ()3x g x x =
有两个交点，则10,6e k ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
. ∴实数k 的取值范围是10,6e ⎛⎫
⎪⎝⎭
.
故选：C. 【点睛】
本题主要考查了根据零点求参数范围，解题关键是掌握根据零点个数求参数的解法和根据导数求单调性的步骤，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
5．已知实数x ，y 满足约束条件22
11x y y x y kx +≥⎧⎪
-≤⎨⎪+≥⎩
，若2z x y =-的最大值为2，则实数k 的值为（ ）
A ．1
B ．
53
C ．2
D ．
73
【答案】B 【解析】 【分析】
画出约束条件的可行域,利用目标函数的几何意义,求出最优解,转化求解k 即可. 【详解】
可行域如图中阴影部分所示，22,111B k k ⎛⎫+
⎪--⎝⎭，421,2121k C k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭
，要使得z 能取到最大值，则1k >，当12k <≤时，x 在点B 处取得最大值，即2221211k k ⎛⎫⎛⎫
-+=
⎪ ⎪
--⎝⎭⎝⎭
，得53k =；当2k >时，z 在点C 处取得最大值，即421222121k k k -⎛⎫⎛⎫
-= ⎪ ⎪
++⎝⎭⎝⎭
，得76k =（舍去）. 故选:B.
本题考查由目标函数最值求解参数值,数形结合思想,分类讨论是解题的关键,属于中档题. 6．已知:cos sin 2p x y π⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
，:q x y =则p 是q 的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】B 【解析】 【分析】
根据诱导公式化简sin cos 2y y π⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
再分析即可. 【详解】
因为cos sin cos 2x y y π⎛⎫
=+= ⎪⎝⎭
,所以q 成立可以推出p 成立,但p 成立得不到q 成立,例如5cos cos
33ππ=,而
53
3
π
π
≠
,所以p 是q 的必要而不充分条件. 故选：B 【点睛】
本题考查充分与必要条件的判定以及诱导公式的运用,属于基础题.
7．
2020
1i i
=-（ ）
A ．
2
B ．
C ．1
D ．1
4
【答案】A 【解析】 【分析】
利用复数的乘方和除法法则将复数2020
1i i
-化为一般形式，结合复数的模长公式可求得结果.
【详解】
()
505
2020
4505
1
1i
i
===，
()()20201111
111122
i i i i i i i +===+---+，
因此，202012i i ==
-.
本题考查复数模长的计算，同时也考查了复数的乘方和除法法则的应用，考查计算能力，属于基础题. 8．在声学中，声强级L （单位：dB ）由公式1210110I L g -⎛⎫
=
⎪⎝⎭
给出，其中I 为声强（单位：2
W/m ）.160dB L =，275dB L =，那么
1
2
I I =（ ） A ．4
510 B ．4
510-
C ．32
-
D ．3
210-
【答案】D 【解析】 【分析】
由1210110I L g -⎛⎫
= ⎪⎝⎭
得lg 1210L I =
-，分别算出1I 和2I 的值，从而得到12I I 的值. 【详解】 ∵1210110I L g -⎛⎫
=
⎪⎝⎭
， ∴()()12
10lg lg1010lg 12L I I -=-=+，
∴lg 1210
L
I =
-， 当160L =时，1160
lg 121261010L I =
-=-=-，∴6110I -=， 当275L =时，2275
lg 1212 4.51010
L I =
-=-=-，∴ 4.5210I -=， ∴
3
6 1.5
124.5210101010
I I ----===， 故选：D. 【点睛】
本小题主要考查对数运算，属于基础题.
9．已知集合{
}{
}2
|1,|31x
A x x
B x ==<…，则()
R A B U ð=（ ） A ．{|0}x x < B ．{|01}x x 剟 C ．{|10}x x -<… D ．{|1}x x -…
【答案】D 【解析】
先求出集合A ，B ，再求集合B 的补集，然后求()
R A B U ð 【详解】
{|11},{|0}A x x B x x =-=<剟，所以 (){|1}R A B x x =-U …ð.
故选：D 【点睛】
此题考查的是集合的并集、补集运算，属于基础题.
10．已知菱形ABCD 的边长为2，60ABC ∠=︒，则BD CD ⋅=u u u v u u u v
（） A ．4 B ．6
C ．23
D ．43
【答案】B 【解析】 【分析】
根据菱形中的边角关系，利用余弦定理和数量积公式，即可求出结果． 【详解】 如图所示，
菱形形ABCD 的边长为2，60ABC ∠=︒，
∴120C ∠=︒，∴22222222cos12012BD =+-⨯⨯⨯︒=， ∴23BD =30BDC ∠=︒，
∴|||3
302|3262
BD CD BD CD cos =⨯⨯︒=⨯=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r
， 故选B ． 【点睛】
本题主要考查了平面向量的数量积和余弦定理的应用问题，属于基础题.． 11．已知函数()()sin 06f x A x a a A ωπ⎛⎫=+
-<< ⎪⎝⎭在区间70,3ωπ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
有三个零点1x ，2x ，3x ，且123x x x <<，若123523
x x x π
++=
，则()f x 的最小正周期为（ ） A ．
2
π
B ．23π
C ．π
D ．43
π
【解析】 【分析】
根据题意，知当7π3x ω=
时，π5π62x ω+=，由对称轴的性质可知122π3x x ω+=和238π3x x ω
+=，即可求出w ，即可求出()f x 的最小正周期. 【详解】
解：由于()()sin 06f x A x a a A ωπ⎛⎫=+
-<< ⎪⎝⎭在区间70,3ωπ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
有三个零点1x ，2x ，3x ， 当7π3x ω=
时，π5π
62
x ω+=， ∴由对称轴可知1x ，2x 满足12πππ
2662
x x ωω+
++=⨯， 即122π
3x x ω
+=
. 同理2x ，3x 满足23ππ3π2662x x ωω+
++=⨯，即238π3x x ω
+=， ∴12310π5π233
x x x ω++=
=，2ω=， 所以最小正周期为：2π
π2
T ==. 故选：C. 【点睛】
本题考查正弦型函数的最小正周期，涉及函数的对称性的应用，考查计算能力. 12．运行如图所示的程序框图，若输出的i 的值为99，则判断框中可以填（ ）
A ．1S ≥
B ．2S >
C ．lg99S >
D ．lg98S ≥
【答案】C 【解析】 【分析】
模拟执行程序框图，即可容易求得结果. 【详解】 运行该程序：
第一次，1i =，lg 2S =；
第二次，2i =，3
lg 2lg lg32S =+=； 第三次，3i =，4
lg3lg lg 43
S =+=，
…；
第九十八次，98i =，99
lg98lg lg9998S =+=； 第九十九次，99i =，100
lg99lg lg100299
S =+==， 此时要输出i 的值为99. 此时299S lg =>. 故选：C. 【点睛】
本题考查算法与程序框图，考查推理论证能力以及化归转化思想，涉及判断条件的选择，属基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知0x =是函数()(tan )f x x ax x =-的极大值点，则a 的取值范围是____________． 【答案】(,1]-∞ 【解析】 【分析】 【详解】
方法一：令()tan g x ax x =-，则(())f x x g x =⋅，21
()cos g'x a x =-
，当1
a ≤，(,)22
x ππ∈-时，'()0g x ≤，()g x 单调递减，∴(,0)2
x π
∈-
时，()(0)0g x g >=，()()0f x x g x =⋅<，且()()f x xg'x '=+()0>g x ，
∴()f x 在(,0)2π
-
上单调递增，(0,)2
x π
∈时，()(0)0g x g <=，()()0f x x g x =⋅<，且
()()+()<0f 'x =xg'x g x ，∴()f x 在(0,
)π
上单调递减，∴0x =是函数()f x 的极大值点，∴1a ≤满足题
意；当1a >时，存在(0,)
2t π∈使得cos t =，即'()0g t =，又21
()cos g'x a x =-在
(0,)2
π上单调递减，∴,()0x t ∈时，'()0g t =，()(0)0g x g >=，所以()()(0)0f x x g x f =⋅>=，这与0x =是函数()f x 的极大值点矛盾．综上，1a ≤．
方法二：依据极值的定义，要使0x =是函数()f x 的极大值点，由(0)0f =知须在0x =的左侧附近，
()0f x <，即tan 0ax x ->；在0x =的右侧附近，()0f x <，即tan 0ax x -<．易知，1a =时，y ax
=与tan y x =相切于原点，所以根据y ax =与tan y x =的图象关系，可得1a ≤．
14．已知双曲线22
221x y a b
-=(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为20x y -=，则该双曲线的离心率为_______．
【解析】 【分析】
根据题意，由双曲线的渐近线方程可得
1
2
b a =，即a ＝2b ，进而由双曲线的几何性质可得
c ==，由双曲线的离心率公式计算可得答案． 【详解】
根据题意，双曲线()22
22100x y a b a b
-=＞，＞的渐近线方程为y ＝±b a x ，
又由该双曲线的一条渐近线方程为x ﹣2y ＝0，即y 1
2
=x ， 则有
1
2
b a =，即a ＝2b ，
则c =，
则该双曲线的离心率e 22
c a b =
==
；
【点睛】
本题考查双曲线的几何性质，关键是分析a 、b 之间的关系，属于基础题．
15．已知等差数列{}n a 满足1357910a a a a a ++++＝
，222836a a -=，则11a 的值为________． 【答案】11 【解析】 【分析】
由等差数列的下标和性质可得52a =，由()()22
882822a a a a a a =+-－即可求出公差d ，即可求解；
【详解】
解：设等差数列的公差为d ，
1357910a a a a a ++++Q ＝，193752a a a a a ++=＝
52a ∴=
又因为()()2222
888253626a a a a a a a d =+-=⨯=－，解得32
d =
115611a a d ∴=+=
故答案为：11 【点睛】
本题考查等差数列的通项公式及等差数列的性质的应用，属于基础题.
16．二项式6
21x x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭的展开式中6x 项的系数为_____． 【答案】15 【解析】 【分析】
由题得，()123161r
r
r r T C x -+=-，令1236r -=，解得2r =，代入可得展开式中含x 6项的系数.
【详解】 由题得，()
()6212316
611r
r
r r
r
r r T C
x C x x --+⎛⎫=-=- ⎪
⎝⎭
，令1236r -=，解得2r =， 所以二项式6
21x x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭的展开式中6x 项的系数为()22
6115C -=.
故答案为：15 【点睛】
本题主要考查了二项式定理的应用，考查了利用通项公式去求展开式中某项的系数问题. 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．求函数y =
【答案】3
【解析】 【分析】
试题分析：由柯西不等式22222
()()()ab cd a c d b +≤++得
221
(132)(33321)3
x x x x -++
=-
⋅++⋅ 120
(3332)(1)33
x x ≤-+++=
试题解析：因为221
(132)(33321)3
x x x x -++=-⋅
++⋅ 120
(3332)(1)33
x x ≤-+++=，
所以215
1323
y x x =-++≤
． 等号当且仅当11
332
3
3x x =
-+，即712
x =时成立． 所以y 的最大值为
215
． 考点：柯西不等式求最值
18．某学生为了测试煤气灶烧水如何节省煤气的问题设计了一个实验，并获得了煤气开关旋钮旋转的弧度数x 与烧开一壶水所用时间y 的一组数据，且作了一定的数据处理（如表），得到了散点图（如图）.
表中21
1i w x =，10
1110i i w w ==∑.
（1）根据散点图判断，y a bx =+与2d
y c x
=+哪一个更适宜作烧水时间y 关于开关旋钮旋转的弧度数x 的回归方程类型？（不必说明理由）
（2）根据判断结果和表中数据，建立y 关于x 的回归方程；
（3）若旋转的弧度数x 与单位时间内煤气输出量t 成正比，那么x 为多少时，烧开一壶水最省煤气？ 附：对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，()33,u v ，…，(),n n u v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最
小二乘估计分别为µ()()
()
1
2
1
n
i
i
i n
i
i v v u u u u β
==--=-∑∑，µµv u α
β=-. 【答案】（1）2d y c x =+更适宜（2）2
20
5y x =+（3）x 为2时，烧开一壶水最省煤气
【解析】 【分析】
（1）根据散点图是否按直线型分布作答；
（2）根据回归系数公式得出y 关于ω的线性回归方程，再得出y 关于x 的回归方程； （3）利用基本不等式得出煤气用量的最小值及其成立的条件. 【详解】 （1）2d
y c x
=+
更适宜作烧水时间y 关于开关旋钮旋转的弧度数x 的回归方程类型. （2）由公式可得：$()()
(
)
10
1
10
2
1
16.2
200.81
i
i
i i i w w y y d
w w
==--==
=-∑∑， $20.6200.785c
y dw =-=-⨯=$， 所以所求回归方程为2
20
5y x =+
. （3）设t kx =
，则煤气用量220205520k S yt kx kx k x x ⎛⎫==+=+≥= ⎪⎝⎭， 当且仅当205k
kx x
=
时取“=”，即2x =时，煤气用量最小. 故x 为2时，烧开一壶水最省煤气. 【点睛】
本题考查拟合模型的选择，回归方程的求解，涉及均值不等式的使用，属综合中档题. 19．已知函数()(2)ln(1)()f x x x ax a R =++-∈
（Ⅰ）若1a =，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）若()0f x ≥在[)0,+∞上恒成立，求实数a 的取值范围；
（Ⅲ）若数列{}n a 的前n 项和2
31n S n n =+-，
4
n n
b a =，求证：数列{}n b 的前n 项和ln(1)(2)n T n n <++.
【答案】 (Ⅰ)0x y -=；(Ⅱ)(,2]-∞；(Ⅲ)证明见解析. 【解析】
试题分析：()1将1a =，求出切线方程()2求导后讨论当2a ≤时和2a >时的单调性证明，求出实数a 的取值范围()3先求出n a 、n b 的通项公式，利用当0x >时，()()2ln 12x x x ++>得()2ln 12
x
x x +>+，下面证明：()()ln 12n T n n <++
解析：（Ⅰ）因为1a =，所以()()()2ln 1f x x x x =++-，()()002ln100f =+⨯-=，切点为()0,0. 由()()2ln 111x f x x x +=++
-+'，所以()()02
0ln 011101
f '+=++-=+，所以曲线()y f x =在()0,0处的切线方程为()010y x -=-，即0x y -= （Ⅱ）由()()2
ln 11
x f x x a x +=++-+'，令()()[)()0,g x f x x ∈'=+∞， 则()()()22
110111x g x x x x =
-=≥+++'（当且仅当0x =取等号）.故()f x '在[)0,+∞上为增函数. ①当2a ≤时，()()00f x f ''≥≥,故()f x 在[
)0,+∞上为增函数， 所以()()00f x f ≥=恒成立，故2a ≤符合题意；
②当2a >时，由于()020f a ='-<，()
1
110a
a
f e e -=+
>'，根据零点存在定理， 必存在()
0,1a
t e ∈-，使得()0f t '=，由于()f x '在[
)0,+∞上为增函数，
故当()0,x t ∈时，()0f t '<,故()f x 在()0,x t ∈上为减函数，
所以当()0,x t ∈时，()()00f x f <=,故()0f x ≥在[
)0,+∞上不恒成立，所以2a >不符合题意.综上所述，实数a 的取值范围为(]
,2-∞
（III ）证明：由2
4
,13,1331,.22,22,2
1n n n n n S n n a b n n n n ⎧=⎪=⎧⎪=+-⇒=⇒=⎨
⎨+≥⎩⎪≥⎪+⎩
由（Ⅱ）知当0x >时，()()2ln 12x x x ++>，故当0x >时，()2ln 12
x
x x +>
+， 故2
222ln 1212n n n n
⋅
⎛⎫+>= ⎪+⎝⎭+，故1
122ln 11n
n k k k k ==⎛⎫+> ⎪+⎝⎭∑∑.下面证明：()()ln 12n T n n <++ 因为1
222222ln 1ln 1ln 1ln 1ln 1ln 11231n
k k n n =⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+=++++++⋅⋅⋅++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑
()()()()12456
12ln 3ln ln 12ln2234
12n n n n n n n n ++++⎛⎫=⨯⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯==++- ⎪
-⎝⎭ 而，4222
321311
n T n =
+++⋅⋅⋅++++ 1
222222224111111213122131233n
n n
k T T k n n ==+++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+=+-=-++++++++∑ 所以，()()1
ln 12ln23n n n T ++->-，即：()()1
ln 12ln23
n n n n T T ++>-
+> 点睛：本题考查了利用导数的几何意义求出参数及证明不等式成立，借助第二问的证明过程，利用导数的单调性证明数列的不等式，在求解的过程中还要求出数列的和，计算较为复杂，本题属于难题． 20．在数列{}n a 中，112311
1,23 (2)
n n n a a a a na a ++=++++=，n *∈N （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若存在n *∈N ，使得(1)n a n λ≤+成立，求实数λ的最小值
【答案】（1）21,1
23,23
n n n a n -=⎧⎪
=⎨⨯≥⎪⎩；（2）13
【解析】 【分析】
（1）由1231123...2n n n a a a na a ++++++=
得123123...(1)2
n n n
a a a n a a -++++-=，两式相减可得{}n na 是从第二项开始的等比数列，由此即可求出答案；
（2）(1)n a n λ≤+1n a n λ⇔≥+，分类讨论，当2n ≥时，2231(1)n n a n n n -⨯=++，作商法可得数列1n a n ⎧⎫
⎨⎬+⎩⎭
为
递增数列，由此可得答案， 【详解】
解：（1）因为1231123...2n n n a a a na a ++++++=
，123123...(1)2
n n n
a a a n a a -∴++++-=， 两式相减得：1122
n n n n n
na a a ++=-，即()113n n n a na ++=，
{}n na ∴是从第二项开始的等比数列，
∵11,a =
∴21a =，则2
23n n na -=⨯，
21,123,23
n n n a n -=⎧⎪
∴=⎨⨯≥⎪⎩；
（2）(1)n a n λ≤+1
n
a n λ⇔≥+， 当1n =时，
1122
a =； 当2n ≥时2
231(1)
n n a n n n -⨯=++， 设223(1)3(),1,()(1)()2n f n n
f n f n n n f n n -⨯+=
∴=>∴++递增， min 1
()(2)3f n f ∴==，
所以实数λ的最小值1
3
．
【点睛】
本题主要考查地推数列的应用，属于中档题．
21．设抛物线()2
:20C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，AB 为抛物线C 过焦点F 的弦，已知以AB 为
直径的圆与l 相切于点()1,0-. （1）求p 的值及圆的方程；
（2）设M 为l 上任意一点，过点M 作C 的切线，切点为N ，证明：MF NF ⊥. 【答案】（1）2，()2
214x y -+=；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】
（1）由题意得l 的方程为2
p
x =-
，根据AB 为抛物线C 过焦点F 的弦，以AB 为直径的圆与l 相切于点()1,0-..利用抛物线和圆的对称性，可得12
p -=-，圆心为()1,0F ，半径为2.
（2）设()01,M y -，MN 的方程为()01y k x y =++，代入C 的方程，得()2
0440ky y y k -++=，根据直
线与抛物线相切，令()016160k y k ∆=-+=，得01y k k +=
，代入()2
0440ky y y k -++=，解得2y k
=.将2y k =代入C 的方程，得21x k
=，得到点N 的坐标为212,k k ⎛⎫
⎪⎝⎭，然后求解FM FN ⋅u u u u r u u u r . 【详解】
（1）解：由题意得l 的方程为2
p
x =-， 所以12
p
-
=-，解得2p =. 又由抛物线和圆的对称性可知，所求圆的圆心为()1,0F ，半径为2. 所以圆的方程为()2
214x y -+=.
（2）证明：易知直线MN 的斜率存在且不为0，
设()01,M y -，MN 的方程为()01y k x y =++，代入C 的方程，
得()2
0440ky y y k -++=.
令()016160k y k ∆=-+=，得01y k k
+=
， 所以()222
044
440k y ky ky y y k k -+-++=
=，解得2y k
=. 将2y k =代入C 的方程，得21x k
=，即点N 的坐标为212,k k ⎛⎫
⎪⎝⎭，
所以()02122,,1,FM y FN k
k ⎛⎫
=-=- ⎪⎝⎭u u u u r u u u r ， 02222212
220FM FN y k k k k k k ⎛⎫⋅=-+⋅=-+-⋅= ⎪⎝⎭u u u u r u u u r ，
故MF NF ⊥. 【点睛】
本题主要考查抛物线的定义几何性质以及直线与抛物线的位置关系，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.
22．电视传媒公司为了解某地区观众对某体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名，下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：
将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．
(1)根据已知条件完成下面的列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？ 非体育迷 体育迷 合计 男 女 10 55 合计
(2)将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列，期望E(X)和方差D(X)．
附：()
()()()()
2
2n ad bc K a b c d a c b d -=
++++. P(K 2≥k) 0.05 0.01 k
3.841
6.635
【答案】 (1)无关；(2) 34，916
. 【解析】 【分析】 【详解】
(1)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而可得列联表如下： 非体育迷 体育迷 合计 男 30 15 45 女 45 10 55 合计
75
25
100
将22列联表中的数据代入公式计算，得
.
因为3.030<3.841，所以我们没有充分理由认为“体育迷”与性别有关．
(2)由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率.由题意知X ～B(3，)，从而X 的分布列为 X 0 1 2 3 P
E(X)＝np ＝
34
＝.D(X)＝np(1－p)＝9
16
23．在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，角A 、B 、C 的度数成等差数列，13b =. （1）若3sin 4sin C A =，求c 的值； （2）求a c +的最大值. 【答案】 (1)4c =；(2)13 【解析】
【分析】 【详解】
(1) 由角,,A B C 的度数成等差数列，得2B A C =+. 又,3
A B C B π
π++=∴=
.
由正弦定理，得34c a =,即34
c a =
. 由余弦定理，得2
2
2
2cos b a c ac B =+-,即2
2331132442c c c c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭
，解得4c =. (2)
由正弦定理，得,.
sin sin sin a c b a A c C A C B ====∴==
)(
)sin sin sin sin sin sin 3a c A C A A B A A π⎤⎛
⎫⎤∴+=
+=++=++ ⎪⎥⎦⎝⎭⎦
3sin 26A A A π⎫⎛
⎫=
+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭
. 由203A π<<，得5666
A πππ
<+<
. 所以当6
2
A π
π
+
=
，即3
A π
=
时，(
)max a c +=.
【方法点睛】
解三角形问题基本思想方法：从条件出发，利用正弦定理(或余弦定理)进行代换、转化．逐步化为纯粹的边与边或角与角的关系，即考虑如下两条途径：①统一成角进行判断，常用正弦定理及三角恒等变换；②统一成边进行判断，常用余弦定理、面积公式等．。