复变函数第6章

1 1 ( N ( f , C ) P( f , C )) (10 0) 1. 10 10
二、辐角原理
1. 对数留数的几何意义 围线C : z (t ), t , ( ) ( ),
经变换w f ( z)的像为
: w f ( (t )) (t ), t , ( ) ( );
证明 由上命题可知, f ( z)在C的内部至多只有有限个零点和极点,
设ak (k 1, 2,, p)为f ( z)在C内部的相异 零点, 其阶相应地为nk ;
设bj ( j 1, 2,, q)为f ( z)在C内部的相异 极点, 其阶相应地为mj ;
由引理6.4可知, f ( z ) 在C的内部及C上除去在C内部有一阶极 f ( z)
f ( z ) 称为f ( z)关于曲线的对数留数. [ln f ( z )] f ( z) 说明: 1) 对数留数即函数f(z)的对数的导数
f ( z ) 2) 函数 f(z)的零点和奇点都可能是 f ( z)
f ( z ) 在C内孤立奇点处的留数的代数和; f ( z)
w0 f ( z0 )
C
z0

w f ( z )
Arg w
1 dw 1 (t ) 1 f ( (t )) dt (t )dt (t ) f ( (t )) 2 i w 2πi 2πi
1 由于 沿任意一条围绕原点的周线正向积分为2 i, w 负向积分为 2 i, 任意一不围绕原点的周线积分为0. 1 dw 从而 w 为围绕原点的正向圈数与负向圈 2 i 数的代数和 绕原点的圈数.用C arg f ( z)表示当z沿C一周
1 N ( f , C ) P( f , C ) C arg f ( z ). 2
注1 若f ( z)在C上及C内解析, 且f ( z)在C上不为零, 则
1 f ( z ) 1 N ( f , C) C arg f ( z ) ( f ( z) dz) 2πi C 2
(1) f ( z)在C的内部是亚纯的,
(2) f ( z)在C上解析且不为零,
1 f ( z ) 则有 f ( z) dz N ( f , C ) P( f , C ). 2 i C
f ( z )在C内 f ( z )在C内 的零点个数 的极点个数
注意: m级的零点或极点算作m个零点或极点.
i
R : z Re


2


2
5月26日
及虚轴上从Ri到 Ri的有向线段所构成,
于是P( z)的零点全在左半平面 Re z 0内的充要条件是
N ( f , CR ) 0
R
R
R成立,
故 0 lim C arg P( z )
lim R arg P( z ) lim ( R R ) arg P(iy )
例2 设f ( z) ( z 1)( z 2)2 ( z 4)
试验证辐角原理. 解
C: z 3
f ( z)在z平面解析, 且在C内有
一阶零点z 1, 二阶零点z 2, N ( f , C ) 3,
当z沿C转一周时,有
C arg f ( z) C arg( z 1) C arg( z 2)2 C arg( z 4)
f ( z ) (2) 设b为f ( z )的m阶极点, 则b必为 f ( z)
内有 f ( z) ( z a) g ( z), 其中g ( z)
n
在点a的邻域内解析, 且于g (a) 0.于是
( z) n( z a)n1 g ( z) ( z a)n g ( z), f
点ak (k 1, 2,, p)及bj ( j 1, 2,, q)外均解析,
故由留数定理及引理6.4得,
p f ( z ) q f ( z ) ( z ) 1 f f ( z) dz Reaks f ( z) Rebjs f ( z) z 2 i C k 1 j 1 z
其中h( z)在点b的邻域内解析, 且h(b) 0.于是
mh( z ) h( z ) f ( z ) m 1 ( z b) ( z b) m
m h( z ) h( z ) h( z ) m h( z ) f ( z) f ( z ), m m z b ( z b) h( z ) ( z b) z b h( z )
R R
而Fra Baidu bibliotek
R arg P( z) arg a0 z n (1 g( z)) R
R arg a0 z n arg(1 g( z))
R
a1 z n1 an 其中g ( z ) , n a0 z
在R 时g ( z)沿R一致趋于零. 所以 lim R arg(1 g ( z )) 0,
且连续到C , 且在C 上满足条件 f ( z) ( z) ;
故在C上有 f ( z) 0,
f ( z) ( z) f ( z) ( z) 0,
从而f ( z)及f ( z) ( z)满足定理6.9及注2条件, 由于这两个函数在C内解析, 于是由辐角原理 1 C arg( f ( z ) ( z )) N ( f , C ), 2 1 C arg f ( z ) N ( f , C ); 而 2 ( z) C arg( f ( z) ( z)) C arg f ( z)C arg(1 ), f ( z) 由条件(2),
By 王建 Email: wjmath@126.com
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第三节 辐角原理及应用
1. 对数留数 2. 辐角原理 3. 儒歇(Rouche)定理
第二十三、二十四讲 2011年5月27日
一、对数留数
1 f ( z ) 定义 具有下列形式的积分: f ( z) dz 2 i
f ( z ) m h( z ) ; f ( z) z a h( z )
h( z ) 由于 在点b的邻域内解析, h( z ) f ( z ) f ( z ) 故b必为 的一阶极点,且 Rebs m. z f ( z) f ( z)
命题
设C是一条周线, f ( z)符合条件
n g ( z ) n n ( z a) g ( z ) ( z a) g ( z ) za g ( z) f ( z ) n g ( z ) n g ( z ) ; f ( z) f ( z) ; za g ( z) f ( z) z a g ( z)
1 于是， 也满足条件：沿C连续且不为零, f ( z)
1 在C的内部除可能有极点外是解析的, f ( z)
1 在D内部至多也只有有限个零点. f ( z)
f ( z)在C内部至多只有有限个极点。 从而，f ( z)在C内部至多只有有限个零点和极点。
定理6.9
设C是一条周线, f ( z)符合条件

设 lim ank a lim f (ank ) 0 f (a ),
k k
由于f ( z)沿C连续且不为零, 所以a D.
由唯一性定理在D上有f ( z) 0, 矛盾.
f ( z)在D内部至多只有有限个零点.
1 (ii) 根据零点与极点的互为倒数关系，考虑 , f ( z) 由于f ( z)沿C连续且不为零,
N ( f , C ) P( f , C )
N ( f , C ' ) P( f , C ' )

C ' arg f ( z ) 2
C arg f ( z ) 1 f ( z ) f ( z) dz 2 2πi C
例3
设n次多项式
P( z ) a0 z a1 z
(1) f ( z)在C的内部除可能有极点外是解析的,
(2) f ( z)沿C上连续且不为零,
则 f ( z)在C内部至多只有有限个零点和极点。 证明(i) 设D为C内部区域，下证 f ( z )在D内至多
周线内部是有界区域, 存在收敛子列 ank an ,
只有有限个零点. 事实上，若an D使得f (an ) 0，
nk (m j )
q
k 1
p
j 1
N ( f , C ) P( f , C ).
1 z9 例1 计算积分 z 4 z10 1 dz. 2 i 解 设f ( z ) z10 1,
则f ( z)在 z 4上解析且不等于零,
故
f ( z)在 z 4内部解析, 有10个零点, 9 10 1 z 1 1 ( z 1) z 4 z10 1 dz 10 2 i z 4 z10 1 dz 2 i
n
n 1
an
(a0 0)
在虚轴上无零点, 试证它的零点全在左半平面 Re z 0 内的充要条件是 arg P(iy) n .
y ( )
即当点z 自下而上沿虚轴从点走向 n 点的过程中, P( z )绕原点转 圈. 2
Ri
CR
o -Ri ΓR
证明
令周线CR由
R
另一方面又有
R arg a0 z
n
故
[ , ] 2 2

arg a0 R e n ,
n in
y ( )
arg P(iy) n .
三、儒歇(Rouche)定理
定理6.10 设C是一条周线,函数f ( z) 及 ( z) 满足条件 (1) 它们在C的内部均解析, 且连续到C; (2) 在C上 f ( z) ( z) ; 则函数f ( z)与f ( z) ( z)在C的内部有同样多(几阶算 几个 )的零点,即 N ( f , C ) N ( f , C ). 证明 由假设知,f ( z)及f ( z) ( z)在C内解析,
时f ( z)的辐角改变量, 则C arg f ( z)一定是2的整数倍，且
1 f ( z ) f ( z) dz 2πi C
1 f ( z ) 1 f ( z) dz 2 C arg f ( z ). 2πi C
2．辐角原理
在定理6.9条件下, f ( z )在周线C内部的零点 个数与极点个数之差, 等于当z沿C正向绕行一周 后, arg f ( z )的改变量C arg f ( z )除以2 , 即
的奇点.
f ( z ) 引理6.4 (1) 设a为f ( z )的n阶零点, 则a必为 f ( z) f ( z ) 的一阶极点, 并且 Re s n; z a f ( z)
f ( z ) 的一阶极点, 并且 Re s m. z b f ( z) 证明 (1) 若a为f ( z)的n阶零点, 则在点a的邻域
g ( z ) 由于 在点a的邻域内解析, g ( z)
f ( z ) f ( z ) 故a必为 的一阶极点,且 Re s n. z a f ( z) f ( z)
(2) 若b为f ( z)的m阶极点, 则在点b的邻域内有
h( z ) f ( z) , m ( z b)
2 2 2 0 6 .
则
C arg f ( z ) 6 3 N ( f , C) 2 2
注2 若定理6.9条件(2)减弱为" f ( z)连续到边界C,
且沿C, f ( z) 0", 则辐角原理仍成立 ' ' 在C内取C , C 内含f ( z)在C内部全部零点和极点, 则