2019高中数学 考点15 平面庖丁解题 新人教A版必修2

考点15 平面
1．平面的有关概念
几何里所说的“平面”是从生活中的一些物体中抽象出来的，是无限延展的．
通常把水平的平面画成一个平行四边形，用平行四边形表示平面，如图，平行四边形的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍．
平面表示为：平面α、平面AC、平面BD或者．平面ABC D．
2．点、直线、平面间的关系表示
（1）点P在直线l上，记作；点P在直线l外，记作；如果直线l上的所有点都在平面α内，就说直线l在平面α内，或者说平面α经过直线l，记作；
否则，就说直线l在平面α外，记作．
（2）点A在平面α内，记作；点B在平面α外，记作．
（3）平面α与平面β相交于直线l，记作α∩β＝l．
3．基本性质
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内，或者说直线在平面内，或平面经过直线．
公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．也可以简单地说成：不共线的三点确定一个平面．
推论：（1）推论1 经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面．
（2）推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面．
（3）推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面．
公理3：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线．
如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相交，这条公共直线叫做这两个平面的
交线．
【例】在三棱锥A－BCD的边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，如果EF∩HG ＝P，则点P( )
A．一定在直线BD上
B．一定在直线AC上
C．在直线AC或BD上
D．不在直线AC上，也不在直线BD上
【答案】B
【规律方法】解决点线共面问题的基本方法是纳入法和同一法．
纳入法：
同一法：
1．下列四个选项中的图形表示两个相交平面，其中画法正确的是( )
【答案】D
【解析】画两个相交平面时，被遮住的部分用虚线表示．
2．如果直线a平面α，直线b平面α，M∈a，N∈b，且M∈l，N∈l，那么( ) A．lαB．l∈α
C．l∩α＝M D．l∩α＝N
【答案】A
3．下列命题中一定正确的是( )
A．三个点确定一个平面 B．三条平行直线必共面
C．三条相交直线必共面 D．梯形一定是平面图形
【答案】D
【解析】由公理2，知梯形是平面图形，故选D．
【规律总结】解决立体几何问题首先应过好三大语言关，即实现这三种语言的相互转换，正确理解集合符号所表示的几何图形的实际意义，恰当地用符号语言描述图形语言，将图形语言用文字语言描述出来，再转换为符号语言．文字语言和符号语言在转换的时候，要注意符号语言所代表的含义，作直观图时，要注意线的实虚．
4．下面给出了四个条件：①空间三个点；②一条直线和一个点；③和直线a都相交的两条直线；④两两相交的三条直线．其中，能确定一个平面的条件有( )
A．0个B．1个
C．2个D．3个
【答案】A
【解析】①中空间三点共线时不能确定一个平面．②中点在直线上时不能确定一个平面．③中两直线若不平行也不相交时不能确定一个平面．④中三条直线交于一点且不共面时不能确定一个平面．
【解题技巧】在处理点线共面、三点共线及三线共点问题时要体会三个公理的作用，体会先部分再整体的思想．
5．一条直线和这条直线外不共线的三点，最多可确定( )
A．三个平面B．四个平面
C．五个平面D．六个平面
【答案】B
【解析】直线和直线外的每一个点都可以确定一个平面，有三个平面，另外，不共线的三点可以确定一个平面，共可确定四个平面．
6．如图所示，△ABC在平面α外，其三边所在的直线分别与α交于P、Q、R三点，判断P、Q、R三点是否共线，并说明理由．
7．如图所示，四边形ABCD中，已知AB∥CD，AB，BC，DC，AD（或延长线）分别与平面α相交于E，F，G，H，求证：E，F，G，H必在同一直线上．
1．平面α∩平面β＝l，点A∈α，点B∈β，且B∉l，点C∈α，又AC∩l＝R，过A、B、C三点确定的平面为γ，则β∩γ是( )
A．直线CR B．直线BR
C．直线AB D．直线BC
【答案】B
【解析】A∈γ，C∈γ，则AC⊂γ，∴R∈γ，R∈l，l⊂β，∴R∈β，则BR⊂β，又B∈γ，R∈γ，则BR⊂γ，故β∩γ＝BR．
2．在三棱锥A—BCD的棱AB、BC、CD、DA上分别取点E、F、G、H，如果EF与HG相交于一点M，那么( )
A．M一定在直线AC上
B．M一定在直线BD上
C．M可能在直线AC上，也可能在直线BD上
D．M既不在直线AC上，也不在直线BD上
【答案】A
【解析】如图所示，因为E∈AB，F∈BC，由基本性质1知EF⊂面ABC，因为G∈CD，H ∈AD，由基本性质1知GH⊂面AC D．而面ABC∩面ACD＝AC，EF和HG若相交，则交点既在平面ABC内又在平面ACD内，因此一定在平面ABC和平面ACD的交线AC上，应选A．
3．一条直线与另外两条直线都相交，它们能确定的平面的个数为________．【答案】1或2或3
【解析】如图，空间三条直线中的一条直线与其他两条都相交，那么由这三条直线可确定的平面的个数是1(如图（1）所示)，或2(如图（2）所示)，或3(如图（3）所示)．
4．已知正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q．求证：（1）D，B，F，E四点共面；
（2）若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线．
【解析】如图．
（2）正方体AC1中，设平面A1ACC1确定的平面为α，又设平面BDEF为β．
∵Q∈A1C1，
∴Q∈α．又Q∈EF，∴Q∈β．
则Q是α与β的公共点，同理P是α与β的公共点，
∴α∩β＝PQ．
又A1C∩β＝R，∴R∈A1C．
∴R∈α，且R∈β，则R∈PQ．
故P，Q，R三点共线．
从自行车看三点共面
自行车是我们常见的交通工具，在雾霾笼罩，大气污染严重的当今社会被各国政府大力提倡．。