北师大版七年级上册《实际问题与一元一次方程》典型例题

《实际问题与一元一次方程》典型例题
例1 B
A,两站间的路程为448千米，一列慢车从A站出发，每小时行驶60千米；一列快车从B站出发，每小时行驶80千米．问：
（1）两车同时开出，相向而行，出发后多少小时相遇？
（2）两车相向而行，慢车先行28分钟，快车开出后多少小时两车相遇？
（3）两车同时开出，同向而行，如果慢车在前，出发后多少小时快车追上慢车？
分析：本例中（1）（2）属相遇问题，（3）属追及问题，它们可借助示意图分析等量关系：
（1）
448千米（2）
（3）
448千米解：（1）设两车行驶x小时相遇，依题意，有
解这个方程，得2.3
x
=
答两车出发3.2小时后相遇．
（2）设快车开出后x小时两车相遇，依题意得
解这个方程，得3
x
=
答快车开出后3小时两车相遇．
（3）设两车出发后x小时快车追上慢车，依题意得448
60
x
-x
80=解得4.
x．
22
=
答两车出发后22.4小时快车追上慢车．
说明：行程问题一般有三种类型：（1）相遇问题；（2）追及问题；（3）流水问题．其基本等量关系分别是：
（1）相遇问题；两者路程之和＝全程．
（2）追及问题：快者路程－慢者路程＝被追路程．
（3）流水问题：顺水速度＝静水速度＋水速；逆水速度＝静水速度－水速． 例2 某人将甲、乙两种股票同时卖出，其中甲种股票卖价1 200元，盈利20％；乙种股票也卖1200元，但亏损20％，该人此次交易结果是盈利还是亏损？
分析：两种股票共卖了2 400元，是盈利还是亏损要看这个人买进这两种股票时共花了多少钱，如果买入的价格小于2 400元，则在这次交易中赚钱；反之，此人在这次交易中亏损．假设一支股票的买入价为1000元，如果卖出后盈利20％，那么股票盈利润是1000×20％；如果卖出后亏损20％，股票利润是1000 ×（－20％）元．
解；设甲种股票的买进价为x 元，乙种股票的买进价为y 元，根据卖价，可列
解得1500,1000==y x ．
100)15001000(2400)(21200-=+-=+-⨯y x （元）
答：两种股票合计亏100元．
说明：此题要判断盈亏，须知股票的卖价与买价的差值，而求出每种股票的买价是关键．
例3 某商品的进价是2 000元，标价为3 000元，商店要求以利润率不低于5％的售价打折出售，售货员最低可以打几折出售此商品？
分析：根据利润率进价
进价售价进价利润-==，进行计算． 解：设售价为x 元，则
%52000
0002=-x ，解得2100=x （元）． 因此，%703000
2100=，所以，售货员最低可以打7折出售此商品． 说明：①此题为利润率问题，利用等量关系：利润率进价进价售价进价利润-==
，求解；②
标价售价为十分之几即为几折．
例4 下表纪录的是一次试验中声音在空气中的传播速度与气温的相关数据．
（1）如果音速的变化是均匀的，你能求出当音速为338.2米／秒时的气温吗？
（2）当气温22℃时，某人看到烟花燃放5秒后才听到声音，那么此人与燃放的烟花所在地约相距多远？
解：（1）设气温为x ℃时，则由表可知声音的速度是)3316.0(+x 米／秒，可列
移项及合并，得
答：当音速为338.2米／秒时的气温为12℃．
（2）当22=x 时，2.3443316.0=+x
答：此人与燃放的烟花所在地约相距1721米．
说明：解决此问题要明确音速与温度之间的变化规律，从而已知气温可求音速；反之亦然．同时还应明确空气中声音的传播速度要远远小于光的传播速度．
例5 某项工作，甲单独做需4小时，乙单独做需6小时，甲先做30分钟，然后甲、乙合作，问甲、乙合作还需多少小时才能完成全部工作？
分析：设甲、乙合作还需x 小时才能完成全部工作．列出两人的工作效率、工作时间、工作量情况表（下表）．从表中，可得等量关系：甲完成工作量＋乙完成工作量＝总的工作量．
解：如分析中所设，根据题意可得：
16
12141=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x ，解得1.2=x 答 甲、乙合作还要2.1小时才能完成全部工作．
说明：分析工程问题时，往往把工作总量作为1来考虑，每人的工作效率是相应各人单独完成工作总量所需时间的倒数，然后列出每人的工作效率、工作时间、完成工作量的情况表去找等量关系就很容易了．
例6 某工人按原计划每天生产20个零件，到预定期限还有100个零件不能完成，若提高工效25％，到期将超额完成50个，问此工人原计划生产零件多少个？预定期限是多少天？
分析：若设预定期限为三天，则由生产零件的个数找等量关系，若设生产零件（原计划）为x 个，则由完成的时间找等量关系．
解法1：设预定期限为x 天，则50%)251(2010020-+⨯⨯=+⨯x x
解得30=x （天）．
30×20＋100＝700（个）．
所以，此工人原计划生产零件700个，预定期限为30天．
解法2：设原计划生产零件x 个，则
%)251(205020100++=-x x 解得700=x （个），3020
100=-x （天） 所以，此工人原计划生产零件700个，预定期限为30天．
说明：①此题为工程问题，利用相关公式：工作量＝工作效率×工作时间求解；②运用的方法不同（设法不同），找的等量关系也不相同，难易也不相同．
例7 男女生有若干人，男生与女生人数之比为4：3，后来走了12名女生，这时男生人数恰好是女生的2倍．求原来的男生和女生的人数．
分析：本题的等量关系为
女生人数－走了的人数＝男生人数的一半．
设男生人数为4x 人，则女生人数为3x 人，分析等量关系可列表为： 解：
21412⨯=-x x 解得 12=x
答；原有男生48人，原有女生36人．
说明：本例依据题中的比例关系设未知数，避免出现分数，使计算简便，这
＝
是解比例问题的常用方法．
例8 已知某一铁路桥长1000米，现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全过桥共用1分钟，整个火车完全在桥上的时间为40秒．求火车的速度．
分析：本题要分清“火车过桥”与“火车在桥上”的不同点及每种情况火车所走路程．设火车长为x 米，则火车完全在桥上共走路程为)1000(x -米，速度表示为40
1000x -（米／秒），火车过桥共行驶路程为)1000(x +米，速度可表示的60
1000x +（米／秒），这两个速度相等，画图表示为 ①火车完全在桥上：
②火车一开始上桥到完全离桥：
解：设火车长为x 米，依题意，得
401000601000x x -=+ 解方程，得200=x ．
则 2060
1000=+x ． 答 火车长度为200米，火车行驶速度为20米／秒．
说明：与车上（离）桥问题相似的还有“排头挑尾”问题．在行进的队伍中，A 从排尾到排头属追及问题，从排头到排尾是相遇问题．设队伍速度为队V ，长度为队S ，A 的速度为A V ，时间为t ，则这两种情形分别有等量关系式为：队队S t V V A =⋅-)(，队队S t V V A =⋅+)(，分析问题的关键是不能把队伍看成不动、
只有A 在动的情形．
例9 有一个两位数，它的十位上的数字比个位上的数字小3，十位上的数字与个位上的数字之和等于这个两位数的4
1，求这个两位数． 分析：由已知“十位上的数字与个位上的数字之和等于这个两位数的
41”找等量关系．
解：设十位上的数字为x ，则个位上的数字为3+x ，根据题意，得
)]3(10[4
1)3(++⨯=++x x x x 解得3=x ． 63=+x ．
所以，这个两位数为36．
说明：①此题为数字问题，等量关系由题目已知的条件找出；②表示这个两位数时，注意将十位上的数字乘以10后加上个位上的数字．
例10我国很多城市水资源缺乏，为了加强居民的节水意识，合理利用水资源，很多城市制定了用水收费标准，A市规定了每户每月的标准用水量，不超过标准用水量的部分按每立方米1.2元收费，超过标准用水量的部分按每立方米3元收费．该市张大爷家5月份用水9立方米，需交费16.2元．A市规定的每户标准用水量是多少立方米？
分析：由于2.
=
⨯，因此9立方米超过标准用水量，因此等量关
2.1<
10
9
8.
16
系为：总收费＝标准用水量交费＋超过标准用水量交费．
解：设每户标准用水量为x立方米，由题意知9
x，
<
因此，2.
-
x，解得6
+x
9(3
2.1=
16
)
x（立方米）．
=
所以，A市规定的每户标准用水量为6立方米．
例11 某企业生产一种产品，每件成本价是400元，销售价是510元，本季度销售了m件，为进一步扩大市场，该企业决定在降低售价的同时降低生产成本，经过市场调研，预测下季度这种产品每件销售价降低4％，销售量将提高10％，要使销售利润（销售利润＝销售价－成本价）保持不变，该产品每件的成本价应降低多少元？
分析：降价前利润总额⨯
=m（降价前的销售价－降价前的成本价）降价后的利润总额%)
=m（降价后的销售价－降价后的成本价）
10
1(+
解：设该产品每件的成本价应降低x元，则
解得4.
x（元）
=
10
所以，该产品每件的成本价应降低10.4元．。