提高题专题复习三角函数与解三角形多选题练习题附解析

提高题专题复习三角函数与解三角形多选题练习题附解析
一、三角函数与解三角形多选题
1．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，下列命题正确的是（ ）
A ．若::4:5:6a b c =，ABC 的最大内角是最小内角的2倍
B ．若cos cos a B b A c -=，则AB
C 一定为直角三角形 C ．若4,5,6a b c ===，则ABC
D ．若()()()cos cos cos 1A B B C C A ---=，则ABC 一定是等边三角形 【答案】ABD 【分析】
对于A 选项，求得2A C =，由此确定选项正确.对于B 选项，求得2
A π
=
，由此确定选项
正确.对于C 选项，利用正弦定理求得ABC 外接圆半径，由此确定选项错误.对于D 选项，证得()()()cos cos cos 1A B B C C A -=-=-=，得到A B C ==，确定选项正确. 【详解】
对于A 选项，A 角最小，C 角最大.由余弦定理得253616453
cos 0256604
A +-=
==>⨯⨯，
16253651cos 0245408C +-===>⨯⨯，2
231
cos 22cos 12148A A ⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎝⎭
，cos2cos A C =.0,02
2
A C π
π
<<
<<
，则02A π<<，所以2A C =，所以A 选项正确.
对于B 选项，cos cos a B b A c -=，由正弦定理得sin cos sin cos sin A B B A C -=，
()sin cos cos sin sin sin cos cos sin A B A B A B A B A B -=+=+，cos sin 0=A B ，由
于0,0A B ππ<<<<，所以2
A π
=
，故B 选项正确.
对于C 选项，16253651cos 245408C +-===⨯⨯，0C π<<
，sin C ==， 设三角形ABC 外接圆半径为R
，则2sin 2sin c c
R R C C
=
⇒===
，故C 选项错误.
对于D 选项，0,0,A B A B ππππ<<-<-<-<-<，故()1cos 1A B -<-≤，同理可得()()1cos 1,1cos 1B C C A -<-≤-<-≤， 要使()()()cos cos cos 1A B B C C A ---=， 则需()()()cos cos cos 1A B B C C A -=-=-=，
所以0,0,0A B B C C A -=-=-=，所以A B C ==，所以D 选项正确. 故选：ABD 【点睛】
利用正弦定理可求得三角形外接圆的半径R ，要注意公式是
2sin a
R A
=，而不是sin a
R A =.
2．已知函数()2sin (0)6f x x πωω⎛⎫
=+
> ⎪⎝
⎭
且对于R x ∀∈都有144f x f x ππ⎛
⎫-=- ⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭
成立．现将函数()2sin 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移6π
个单位长度，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ） A ．函数066g x g x ππ⎛⎫⎛
⎫-++=
⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
B ．函数()g x 相邻的对称轴距离为π
C ．函数23g x π⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭是偶函数
D ．函数()g x 在区间,63ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递增
【答案】ABCD 【分析】
先利用已知条件求出()f x 的周期T π=，即可得2ω=，再利三角函数图象的平移伸缩变换得()g x 的解析式，在逐一判断四个选项的正误即可得正确选项. 【详解】
因为对于R x ∀∈都有144f x f x ππ⎛
⎫-=-
⎪⎛
⎫⎝⎭+ ⎪
⎝
⎭成立 所以
()1
2
f x f x π=-
⎛⎫+ ⎪⎝
⎭
，()12f x f x ππ⎛
⎫+=- ⎪+⎝⎭， 所以
()()
()1
1f x f x f x ππ=-
=+-
+对于R x ∀∈都成立， 可得()f x 的周期T π=，所以22T
π
ω=
=， 所以()2sin 26f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，
将函数()2sin 26f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
的图象向右平移6π
个单位长度，可得 2sin 22sin 2666y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍可得
()2sin 6g x x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭，
对于选项A:
()2sin 2sin 2sin 2sin 0
666666g x g x x x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛
⎫-++=--++-=-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭，
故选项A 正确；
对于选项B ：函数()g x 周期为221
T ππ==，所以相邻的对称轴距离为2T
π=，故选项B
正确；
对于选项C ：222sin 2sin 2cos 3
362g x x x x ππππ⎛
⎫⎛⎫⎛
⎫+=+-=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭
是偶函数，故选
项C 正确； 对于选项D ：当
6
3
x π
π
≤≤
，06
6
x π
π
≤-
≤
，所以函数()g x 在区间,63ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
上单调递增，故选项D 正确， 故选：ABCD 【点睛】
关键点点睛：本题解题的关键点是由144f x f x ππ⎛
⎫-=-
⎪⎛
⎫⎝⎭+ ⎪
⎝⎭恒成立得出 ()()f x f x π=+可得ω的值，求出()f x 的解析式.
3．ABC 中，2BC =，BC 边上的中线2AD =，则下列说法正确的有（ ） A ．AB AC →
→
⋅为定值
B ．2210A
C AB += C ．
co 4
15
s A << D ．BAD ∠的最大值为30
【答案】ABD 【分析】
A 利用向量的加减法及向量的数量积公式运算即可，
B 根据余弦定理及角的互补运算即可求值，
C 利用余弦定理及基本不等式求出cos A 范围即可，
D 根据余弦定理及基本不等式求出cos BAD ∠的最小值即可. 【详解】
对于A ，
22
413AB AC AD DB AD DB AD DB →→
→→→→→→
⎛⎫⎛⎫⋅=+-=-=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
，AB AC →→
∴⋅为定
值，A 正确； 对于B ，
cos cos ADC ADB
∠=-∠2222222cos 2cos AC AB AD DC AD DC ADC AD DB AD DB ADB ∴+=+-⋅⋅∠++-⋅⋅∠
2222AD DB DC =++ 2221110=⨯++=，故B 正确；
对于C ，由余弦定理及基本不等式得224242
122b c bc cosA bc bc bc
+--
=≥=-（当且仅当
b c =时，等号成立）,由A 选项知cos 3bc A =，
22cos cos 1133cos A
A A
∴≥-
=-， 解得3
cos 5
A ≥
，故C 错误； 对于D ，2222213233
cos 4442
c c c BAD c c c +-+∠==≥=
（当且仅当3c =时，等号成立），因为BAD ABD ∠<∠， 所以(0,)2
BAD π
∠∈，又3
cos 2
BAD ∠≥
，所以BAD ∠的最大值30，D 选项正确. 故选：ABD 【点睛】
本题主要考查了向量的数量积运算，余弦定理，基本不等式，考查了推理能力，属于难题.
4．已知函数()()cos 2f x A x b ϕ=++(0A >，0ϕπ<<)的部分图像如图所示，则（ ）
A ．2A =
B ．点7,112π⎛⎫
⎪⎝⎭
是()f x 图像的一个对称中心 C ．6
π
=
ϕ D ．直线3
x π
=
是()f x 图像的一条对称轴
【答案】ABD 【分析】
由图知函数最大值为3,最小值为1-,且函数图像与y 轴的交点为()0,2,进而待定系数得
()2cos 213f x x π⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭,再整体换元讨论B,D 选项即可.
【详解】 因为0A >，所以31A b A b +=⎧⎨
-+=-⎩，解得2
1
A b =⎧⎨=⎩，故A 正确；
()02cos 12f ϕ=+=，则1cos 2
ϕ=
.又0ϕπ<<，所以3π
ϕ=，故C 错误；
()2cos 213f x x π⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭，
令23
x k π
π+
=，k ∈Z ，解得62πk π
x =-+
，k ∈Z ， 所以()f x 图像的对称轴方程为6
2
π
k πx =-+， 令1k =，则3
x π
=，D 正确；
令23
2
x k π
π
π+
=
+，k ∈Z ，解得12
2
k x π
π
=
+
，k ∈Z ， 令1k =，则712x π=且7112f π⎛⎫= ⎪⎝⎭
，故B 正确. 故选：ABD 【点睛】
本题考查三角函数图像求解析式，三角函数的对称轴，对称中心等，考查运算求解能力，是中档题.解题的过程中，需要注意形如()()sin 0y A x B A ωϕ=++>，
()()cos 0y A x B A ωϕ=++>，max min ,y A B y A B =+=-+，ϕ的求解通常采用待定系
数法求解.
5．已知函数()()cos 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛
⎫
=+>>< ⎪⎝
⎭
的部分图像如图所示，则下列
关于函数()f x 的说法中正确的是（ ）
A ．函数()f x 最靠近原点的零点为3
π-
B ．函数()f x 的图像在y 3
C ．函数56f x π⎛⎫
-
⎪⎝
⎭是偶函数 D ．函数()f x 在72,3
ππ⎛⎫
⎪⎝
⎭
上单调递增 【答案】ABC 【分析】
首先根据图象求函数的解析式，利用零点，以及函数的性质，整体代入的方法判断选项. 【详解】
根据函数()()cos f x A x ωϕ=+的部分图像知，2A =， 设()f x 的最小正周期为T ，则24362
T πππ
=-=，∴2T π=，21T πω==． ∵2cos 266f ππϕ⎛⎫⎛⎫
=+=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，且2πϕ<，∴6πϕ=-， 故()2cos 6f x x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭
． 令()2cos 06f x x π⎛⎫
=-= ⎪⎝
⎭，得62
x k ππ
π-=+，k Z ∈， 即23x k ππ=
+，k Z ∈，因此函数()f x 最靠近原点的零点为3
π
-，故A 正确； 由()02cos 36f π⎛⎫
=-= ⎪⎝⎭
()f x 的图像在y 3B 正确； 由()52cos 2cos 6
f x x x ππ⎛⎫
-
=-=- ⎪⎝
⎭
，因此函数56f x π⎛⎫
-
⎪⎝
⎭
是偶函数，故C 正确； 令226
k x k π
πππ-≤-
≤，k Z ∈，得52266
k x k ππ
ππ-
≤≤+，k Z ∈，此时函数()f x 单调递增，于是函数()f x 在132,
6ππ⎛
⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在137,63ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减，
故D 不正确． 故选：ABC ． 【点睛】
思路点睛：本题考查()sin y A ωx φ=+的解析式和性质的判断，可以整体代入验证的方法判断函数性质：（1）对于函数()sin y A ωx φ=+，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此判断直线0x x =或点()0,0x 是否是函数的对称轴和对称中心时，可通过验证()0f x 的值进行判断；（2）判断某区间是否是函数的单调区间时，也可以求x ωϕ+的范围，验证此区间是否是函数sin y x =的增或减区间.
6．已知函数()1
cos cos 632
f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则以下说法中正确的是（ ） A ．()f x 的最小正周期为π B ．()f x 在7,1212ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
上单调递减 C ．51,62π⎛⎫
⎪⎝
⎭是()f x 的一个对称中心 D ．()f x 的最大值为
1
2
【答案】ABC 【分析】
利用三角恒等变换思想化简()11
sin 2232
f x x π⎛⎫=
++ ⎪⎝⎭，利用正弦型函数的周期公式可判断A 选项的正误，利用正弦型函数的单调性可判断B 选项的正误，利用正弦型函数的对称性可判断C 选项的正误，利用正弦型函数的有界性可判断D 选项的正误. 【详解】
cos cos sin 326
6x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 所以，
()1111cos cos cos sin sin 2632662232f x x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=+-+=+++=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭.
对于A 选项，函数()f x 的最小正周期为22
T π
π==，A 选项正确； 对于B 选项，当7,1212x ππ⎡⎤
∈⎢
⎥⎣⎦
时，32232x πππ≤+≤，
此时，函数()f x 在7,1212ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递减，B 选项正确； 对于C 选项，
51511
11sin 2sin 26
2632222f π
πππ⎛⎫⎛⎫=⨯++=+= ⎪ ⎪
⎝⎭⎝
⎭，
所以，51,62π⎛⎫
⎪⎝
⎭是()f x 的一个对称中心，C 选项正确； 对于D 选项，()max 11
1122
f x =⨯+=，D 选项错误. 故选：ABC. 【点睛】
方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成
()sin y A ωx φ=+形式，
再求()sin y A ωx φ=+的单调区间，只需把x ωϕ+看作一个整体代入sin y x =的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数．
7．设函数()()1sin 0222f x x x πωωω⎛⎫
=++> ⎪⎝⎭
，已知()f x 在[]0,π有且仅有3个零点，则（ ）
A ．在()0,π上存在1x 、2x ，满足()()122f x f x -=
B ．()f x 在()0,π有且仅有1个最小值点
C ．()f x 在0,
2π⎛⎫
⎪⎝
⎭
上单调递增 D ．ω的取值范围是1723,66⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
【答案】AD 【分析】
化简函数()f x 的解析式为()sin 6f x x πω⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭，令6
t x πω=+，由[]
0,x π∈可求得
,66t ππωπ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，作出函数sin ,066y t t ππωπω⎛⎫
=≤≤+> ⎪⎝⎭
的图象，可判断AB 选项
的正误；由图象得出346
π
πωππ≤+
<可判断D 选项的正误；取3ω=，利用正弦型函
数的单调性可判断C 选项的正误. 【详解】
()11sin cos sin 2226f x x x x x x ππωωωωω⎛⎫⎛⎫=
++=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭， 当[]0,x π∈时，,666x π
ππωωπ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，令6t x πω=+，则,6
6t π
πωπ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，
作出函数sin ,066y t t ππωπω⎛⎫
=≤≤+>
⎪⎝⎭
的图象如下图所示：
对于A 选项，由图象可知，max 1y =，min 1y =-，
所以，在()0,π上存在1x 、2x ，满足()()122f x f x -=，A 选项正确； 对于B 选项，()f x 在()0,π上有1个或2个最小值点，B 选项错误； 对于D 选项，由于函数()f x 在[]
0,π有且仅有3个零点，则346
π
πωππ≤+
<，解得
1723
66
ω≤<，D 选项正确； 对于C 选项，由于
172366ω≤<，取3ω=，当0,2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时，53663x πππ<+<，
此时，函数()f x 在区间0,2π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
上不单调，C 选项错误. 故选：AD. 【点睛】
关键点点睛：本题考查利用正弦型函数在区间上的零点个数判断正弦型函数的基本性质，解本题的关键在于换元6
t x π
ω=+
，将问题转化为函数sin y t =在区间,6
6π
πωπ⎡⎤+⎢
⎥⎣⎦上的
零点个数问题，数形结合来求解.
8．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知
()()(::5:)4:6b c c a a b +++=，下列结论正确的是（ ）
A ．::7:5:3sinA sin
B sin
C = B ．0AB AC ⋅>
C ．若6c =，则ABC 的面积是3
D ．若8+=b c ，则ABC 的外接圆半径是3
3
【答案】ACD 【分析】
先利用已知条件设4,5,6b c k c a k a b k +=+=+=，进而得到
3.5, 2.5, 1.5a k b c k ===，利用正弦定理可判定选项A ；利用向量的数量积公式可判断选
项B ；利用余弦定理和三角形的面积公式可判定选项C ；利用余弦定理和正弦定理可判断选项D. 【详解】
依题意，设4,5,6b c k c a k a b k +=+=+=， 所以 3.5, 2.5, 1.5a k b c k ===，
由正弦定理得：::::7:5:3sinA sinB sinC a b c ==， 故选项A 正确；
222222
cos 22b c a b c a AB AC bc A bc bc +-+-⋅==⨯=
222222.5 1.5 3.515
028
k k +-==-<，
故选项B 不正确；
若6c =，则4k =， 所以14,10a b ==，
所以222106141
cos 21062
A +-==-⨯⨯，
所以sin A =
，
故ABC 的面积是：11sin 61022bc A =⨯⨯= 故选项C 正确；
若8+=b c ，则2k =， 所以7,5,3a b c ===，
所以2225371
cos 2532
A +-==-⨯⨯，
所以sin A =
， 则利用正弦定理得：
ABC 的外接圆半径是：12sin a A ⨯=
， 故选项D 正确； 故选：ACD. 【点睛】
关键点睛：本题主要考查正余弦定理以及三角形面积公式. 利用已知条件设
4,5,6b c k c a k a b k +=+=+=，再利用正余弦定理以及三角形面积公式求解是解决本
题的关键.
二、数列多选题
9．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ）
A ．68a =
B ．954S =
C ．135********a a a a a +++
+= D ．22212201920202019a a a a a +++= 【答案】ACD
【分析】
由题意可得数列{}n a 满足递推关系12211,1,(3)n n n a a a a a n --===+≥，依次判断四个选项，即可得正确答案.
【详解】
对于A ，写出数列的前6项为1,1,2,3,5,8，故A 正确；
对于B ，911235813+21+3488S =++++++=，故B 错误；
对于C ，由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，……，201920202018a a a =-，可得：13520192426486202020182020a a a a a a a a a a a a a a +++⋅⋅⋅+=+-+-+-+
+-=，故C
正确.
对于D ，斐波那契数列总有21n n n a a a ++=+，则2121a a a =，()222312321a a a a a a a a =-=-，()233423423a a a a a a a a =-=-，……，
()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-，220192019202020192018a a a a a =-，可得
22212201920202019201920202019
a a a a a a a a +++==，故D 正确； 故选：ACD.
【点睛】
本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，考查方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意递推关系的灵活转换，属于中档题.
10．已知数列{}n a ，{}n b 满足，11a =，11
n n n a a a +=+，1(1)n n b n a =+，若231001001222
23100b b b T b =++++，则（ ） A ．n a n = B ．1n n b n =+ C ．100100101T = D ．10099100
T =
【答案】BC
【分析】 先证明数列1n a 是等差数列得1n a n =，进而得1(1)1n n
n b n a n ==++，进一步得()211111n b n n n n n ==-++，再结合裂项求和得100100101
T =. 【详解】
解:因为11n n n a a a +=+,两边取倒数得: 1111n n a a +=+,即1
111n n a a , 所以数列1n a 是等差数列,公差为1,首项为111a , 故()1111n n n a =+-⨯=,所以1n a n
=, 所以1(1)1
n n n b n a n ==++，故()211111n b n n n n n ==-++， 所以31002100122211112310022334100101
b b b T b =++++=++++⨯⨯⨯ 11111111100122334100101101101⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
， 故BC 正确，AD 错误；
故选：BC
【点睛】
本题考查数列通项公式的求解，裂项求和，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于证明数列1n
a 是等差数列，进而结合裂项求和求解100T .。