高中数学人教版选修1-2同课异构教学课件：2.2.2 反证法 探究导学课型

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【补偿训练】若a，b，c均为实数，且a=x2-2y+ ，b=y2-2z+ ，
2
3
c=z2-2x+ .求证：a，b，c中至少有一个大于0.
【证明】假6 设a，b，c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，所以
a+b+c≤0.
因为a+b+c=x2-2y+ +y2-2z+ +z2-2x+ =(x-1)2+(y-1)2+(z-
3
2.反证法常见的矛盾类型
反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾.这个矛盾可以是与_____ 已知
_____矛盾，或与_____矛盾，或与_____、_____、_____、_____矛
条件 盾等.
假设
定义 定理 公理 事实
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【合作探究】 1.我们常说“否定之否定即为肯定”你能说明反证法中的否定之否定 的两个否定分别是指什么吗？ 提示：第一个否定是指“否定结论”即假设，第二个否定是指“逻辑 推理结果否定了假设”. 2.反证法原理与利用等价命题即互为逆否命题的证明思路有关吗？ 提示：有关，反证法的原理为“互为逆否命题的两个命题真假一 致”，即：“P⇒Q”⇔“ Q⇒ P”.
有负数1 根.
2
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【补偿训练】设a，b，c，d∈R，且ad-bc=1，求证： a2+b2+c2+d2+ab+cd≠1. 【证明】假设a2+b2+c2+d2+ab+cd=1，因为ad-bc=1， 所以a2+b2+c2+d2+ab+cd+bc-ad=0， 即(a+b)2+(c+d)2+(a-d)2+(b+c)2=0， 所以a+b=0，c+d=0，a-d=0，b+c=0， 所以a=b=c=d=0，这与已知条件ad-bc=1矛盾. 故假设不成立，所以a2+b2+c2+d2+ab+cd≠1.
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3.反证法常用结论的反设词
结论 词
=
>
<
是
都是
至多一 个
至少一个
任 意
至少 至多 n个 n个
反设 词
≠≤≥
不 是
不都 是
至少两 一个也没
个
有
某 个
至多 至少 n-1 n+1 个个
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类型一：用反证法证明否定性问题
【典例1】(2015·邯郸高二检测)等差数列{an}的前n项和为Sn，
2.2.2 反证法
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1
主题：反证法 【自主认知】 1.鲁迅先生在论证“作文没有秘诀”时叙述：如果作文有秘诀，则就 有许多祖传作家，由于不存在许多祖传作家，所以，作文没有秘诀. 鲁迅先生运用的是数学中的哪种思想？ 提示：运用的是反证法的思想. 2.用反证法证明命题“若p，则q”的第一步是什么？ 提示：第一步是否定结论，即若p，则 q.
答案：①②③
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2.两直线a与b异面的否定为
.
【解析】两直线a与b的位置关系共有a与b异面、相交、平行，故a与b
异面的否定为a与b相交或平行.
答案：a与b相交或平行
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【归纳总结】 1.用反证法反设的三个关注点 (1)正确分清题设和结论. (2)对结论实施正确否定. (3)对结论否定后，找出其所有情况. 2.反证法证明的常见问题 反证法可以证明的命题的范围非常广泛，一般常见的有：唯一性问题， 无限性问题，肯定性问题，否定性问题，存在性问题，不等式问题， 等式问题，函数问题，整除问题，几何问题等.
1)2+



2
3
6
π-3>0，
这与a+b+c≤0相矛盾.
所以a，b，c中至少有一个大于0.
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类型三：用反证法证明“唯一性”命题 【典例3】已知：一点A和平面α， 求证：经过点A只能有一条直线和平面α垂直.
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【解题指南】
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【证明】根据点A和平面α的位置关系，分两种情况证明.
a1=1+ ，S3=9+3 .
(1)求数2列{an}的通项2 an与前n项和Sn.
(2)设bn= (n∈N*)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能
成为等比数S列n . n
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【解题指南】第(1)问考查等差数列的通项公式与前n项和公式，
应用an=a1+(n-1)d和Sn=na11+ n(n-1)d两式求解.第(2)问先假设任 三项bp，bq，br成等比数列，2 再用反证法证明.
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2.(变换条件、改变问法)将本题条件改为三个方程中至多有2个方程 有实数根，求实数a的取值范围.
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【解析】假设至少三个方程有实数根，则

4a2 a 12
4
4a 3
4a2 0，
0， 4a 即3a
2 2

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【巩固训练】(2015·临沂高二检测)已知f(x)=ax+ x 2 (a>1)，证明
方程f(x)=0没有负数根.
x 1
【证明】假设x0是f(x)=0的负数根，
则x0<0且x0≠-1，且
由0< <1⇒0<
a<x01，
x0 x0

2 1
，
解得 a<x0 x0<2，这 与xx00 x012<0矛盾，所以假设不成立，故方程f(x)=0没
这与已a42知aa122a2≥44-41a2矛42a＜a＜盾00，3，＜所0，以假a设＞232＜＜不13a或a＜成＜a0＜立12，，1，故三 个32＜方a＜程中1，至少有一个方
程有实数解.
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【延伸探究】 1.(改变问法)将本题改为：已知下列三个方程x2+4ax-4a+3=0， x2+(a-1)x+a2=0，x2+2ax-2a=0至少有一个方程有实数根，如何求实 数a的取值范围？
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因为p，q，r∈N*，
所以 q2 pr 0，
所以
2q
p r 0，
=pr，(p-r)2=0，
(p r)2
所以p=2r，这与p≠r矛盾.
所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列.
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【规律总结】 1.用反证法证明的三个基本步骤 (1)反设：假设原命题的结论不成立. (2)归谬：从假设出发，经过推理论证得到矛盾. (3)下结论：矛盾的原因是假设不成立，从而原命题的结论成立.
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➡根据以上探究过程，试着写出反证法的定义及反证法常见的矛盾类
型：
1.反证法的定义
假设原命题_______(即在原命题的条件下，_____不成立)，经过正 确的推理，最不后成得立出矛盾，因此说明假设错误结，论从而证明了_______
成立，这样的证明方法叫做反证法.
原命题
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【解析】(1)设公差为d，由已知得 a1 2 1，
所以d=2，故an=2n-1+
，Sn=n(n3+a1

3d
).

9

3
2，
2
2
(假2设)由数(1列)得{bbnn}中= 存Snn 在 n三项2b. p，bq，br(p，q，r互不相等)成等比数
列，则
即(q+ b)q22=b(ppb+r， )(r+ )， 所以(q22-pr)+(2q-2p-r) =20.
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【过关小练】
1.应用反证法推判断，即假设；②原命题的条件；
③公理、定理、定义等；④原结论.
【解析】根据反证法的定义及特点知，推导过程可以把结论相反判断，
即假设，原命题的条件及公理、定理、定义等作为条件使用，而不能
把原命题的结论作为条件使用，故①②③正确，④不正确.
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(1)如图1，点A在平面α内，假设经过点A至少有平面α的两条垂线 AB，AC，那么AB，AC是两条相交直线，它们确定一个平面β，平 面β和平面α相交于经过点A的一条直线a. 因为AB⊥平面α，AC⊥平面α，a⊂α，所以AB⊥a，AC⊥a，在平 面β内经过点A有两条直线都和直线a垂直，这与平面几何中经过直线 上一点只能有一条直线与已知直线垂直相矛盾.
4a 2a
3 1
0， 0，解得
即a2∈a2∅.所4以2a实数0，a的取值a范2 围2a为 实0，数R.
a1a32或13a，
1， 2
a 2或a 0，

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【规律总结】用反证法证明“至多”“至少”等有关命题的两个关注 点 (1)反设情况要全面，在使用反证法时，必须在假设中罗列出与原命 题相异的结论，缺少任何一种可能，反证法都是不完全的. (2)常用题型：对于否定性命题或结论中出现“至多”“至少”“不 可能”等字样时，常用反证法.
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【巩固训练】若函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断开， f(a)<0，f(b)>0，且f(x)在[a，b]上单调递增，求证：f(x)在(a，b) 内有且只有一个零点.
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【证明】由于f(x)在[a，b]上的图象连续不断开，且f(a)<0，f(b)>0， 即f(a)·f(b)<0， 所以f(x)在(a，b)内至少存在一个零点，设零点为m，则f(m)=0， 假设f(x)在(a，b)内还存在另一个零点n，即f(n)=0， 则n≠m. 若n>m，则f(n)>f(m)，即0>0，矛盾； 若n<m，则f(n)<f(m)，即0<0，矛盾. 因此假设不正确，即f(x)在(a，b)内有且只有一个零点.
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2.使用反证法的注意点 (1)用反证法证明问题的第一步是“假设”，这一步要准确，否则后 面的证明毫无意义. (2)反证法的“归谬”要合理.
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3.反证法的适用范围 (1)否定性命题. (2)命题的结论中出现“至少”“至多”“唯一”等词语的. (3)当命题成立非常明显，而要直接证明所用的理论太少，且不容易 说明的. (4)要讨论的情况多或者复杂，而反面情况少或者简单的. (5)问题共有n种情况，现要证明其中有一种情况成立时，可以想到用 反证法把其他的(n-1)种情况都排除，从而肯定这种情况成立.
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【解析】若方程没有一个有实根，
故则三个14a6aa方221程824a至＜340少a，2＜4有a0，＜一0个，解方得程a有＞232＜实＜13a或根a＜＜a0，＜，12，实1，数即a的32＜取a值＜范1围. 是
{a | a 1或a 3}. 2
故c∥d，这与c，d相交于点A矛盾，
故假设不成立，原结论成立.
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【规律总结】巧用反证法证明唯一性命题 (1)当证明结论有以“有且只有”“当且仅当”“唯一存在”“只有 一个”等形式出现的命题时，由于反设结论易于推出矛盾，故常用反 证法证明.
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(2)用反证法证题时，一定要用到“反设”进行推理，否则就不是反 证法.用反证法证题时，如果欲证明命题的反面情况只有一种，那么 只要将这种情况驳倒了就可以；若结论的反面情况有多种，则必须将 所有的反面情况一一驳倒，才能推断结论成立. (3)证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个方面，即存在性和 唯一性.
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【延伸探究】将本题条件改为：已知a与b是异面直线，求证：过a且 平行于b的平面只有一个.
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【证明】如图所示.假设过直线a且平行于直线b的平面有两个，分别 为α和β，
在直线a上取点A，过b和A确定一个平面γ，且γ与α，β分别交于过
点A的直线c，d，
由b∥α，知b∥c，同理b∥d，
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(2)如图2，点A在平面α外，假设经过点A至少有平面α的两条垂直 AB和AC(B，C为垂足)，那么AB，AC是两条相交直线，它们确定一 个平面β，平面β和平面α相交于直线BC，因为AB⊥平面α，AC⊥平 面α，BC⊂α，所以AB⊥BC，AC⊥BC.
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在平面β内经过点A有两条直线都和BC垂直，这与平面几何中经过直 线外一点只能有一条直线与已知直线垂直相矛盾. 综上，经过点A只能有一条直线和平面α垂直.
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类型二：用反证法证明“至多”“至少”问题 【典例2】已知a≥-1，求证三个方程：x2+4ax-4a+3=0， x2+(a-1)x+a2=0，x2+2ax-2a=0中至少有一个方程有实数解. 【解题指南】
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【证明】假设三个方程都没有实根，则三个方程中：它们的判别式都 小于0，即：