人教版九年级上册数学期中考试试题含答案详解

人教版九年级上册数学期中考试试卷
一、选择题。

（每小题只有一个正确答案）
1．如图，已知△AOB是正三角形，OC⊥OB，OC=OB，将△OAB绕点O按逆时针方向旋转，使得OA与OC重合，得到△OCD，则旋转的角度是（）
A．150°B．120°C．90°D．60°
2．下列电视台的台标，是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
3．如图，已知⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°，则∠BCD等于（）
A．116°B．32°C．58°D．64°
4．在平面直角坐标系中，将△AOB绕原点O顺时针旋转180°后得到△A1OB1，若点B的坐标为（2，1），则点B的对应点B1的坐标为（）
A．（1，2）B．（2，－1）C．（－2，1）D．（－2，－1）5．下列语句中不正确的有（）
①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；
③圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴；④长度相等的两条弧是等弧A．3个B．2个C．1个D．以上都不对
6，则它的周长是（）
A．6 B．12 C．D．
7．如图，圆锥形的烟囱帽底面半径为15cm，母线长为20cm，制作这样一个烟囱帽所需要
的铁皮面积至少是（）
A．150πc m2B．300πcm2C．600πcm2D．150πcm2
8．如图，PA，PB切⊙O于点A，B，点C是⊙O上一点，且∠P＝36°，则∠ACB＝()
A．54°B．72°C．108°D．144°
9．如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝45°，⊙O的半径为2，则BC的长为( )
A．2 B C．D．4
10．如图，⊙O的直径长10，弦AB=8，M是弦AB上的动点，则OM的长的取值范围是（）
A．3≤OM≤5B．4≤OM≤5C．3＜OM＜5 D．4＜OM＜5
二、填空题
11．平面直角坐标系中，点P(-2,3)关于原点对称的点的坐标是_______
12．扇形的半径为9，圆心角为120°，则它的弧长为_______.
13．如下图，⊙O是△ABC的外接圆，若AB=OA=OB，则∠C等于______°．
14．如图所示，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交
PA、PB于点C、D，若PA=15，则△PCD的周长为___________．
15．如下图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C和D两点，AB＝10cm，CD＝6cm，则AC长为_____cm．
16．在平面直角坐标系中，点P(2，b)与点P′(2a，3)关于原点对称，则a－b的值为________．
17．⊙O的半径为1，弦点C是圆上异于A、B的一动点，则∠ACB=__________．18．如图所示，已知A点从（1，0）点出发，以每秒1个单位长的速度沿着x轴的正方向运动，经过t秒后，以O、A为顶点作菱形OABC，使B、C点都在第一象限内，且∠AOC＝60°，又以P（0，4）为圆心，PC为半径的圆恰好与OA所在的直线相切，则t＝_____．
19．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE，此时点C恰好在线段DE 上，若∠B＝40°，∠CAE＝60°，求∠DAC的度数．
三、解答题
20．如图，AB、AC为⊙O的两条弦，延长CA到D，使AD＝AB，如果∠ADB＝30°，求∠BOC的度数．
21．如图，在平面直角坐标系中，已知点B（4，2），BA⊥x轴于A．
（1）画出将△OAB绕原点逆时针旋转90°后所得的△OA1B1，并求出点B所经过的路径长；（2）画出△OAB关于原点O的中心对称图形，并写出点A、B对称点的坐标．．
22．如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G，且AB ∥ CD，BO=6cm，CO=8cm．求BC的长
23．⊙O的半径为5cm，弦AB=8cm，CD=6cm，且AB∥CD，求两弦之间的距离．
24．如图，圆锥的底面半径为1，母线长为3，一只蚂蚁要从底面圆周上一点B出发，沿圆锥侧面爬到过母线AB的轴截面上另一母线AC上，问它爬行的最短路线是多少？
25．如图：在三角形ABC中，AB=5，AC=7，BC=8，求其内切圆的半径．
26．如图，AB是⊙O的直径，C为圆周上的一点，过点C的直线MN满足∠MCA＝∠CBA．
(1)求证：直线MN是⊙O的切线；
(2)过点A作AD⊥MN于点D，交⊙O于点E，已知AB＝6，BC＝3，求阴影部分的面积．
参考答案
1．A
【详解】
∠AOC就是旋转角，根据等边三角形的性质，即可求解．
解：旋转角∠AOC=∠AOB+∠BOC=60°+90°=150°．
故选A．
本题主要考查了旋转的性质，正确理解旋转角是解题的关键．
2．D
【详解】
根据中心对称图形的概念，中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合，因此，四个选项中只有D符合．故选D．
3．B
【详解】
试题分析：由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠ADB=90°，
∵∠ABD=58°，继而求得∠A=90°-∠ABD=32°，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，∴∠BCD=∠A=32°．
故选B．
考点：圆周角定理．
4．D
【详解】
试题解析：∵△A1OB1是将△AOB绕原点O顺时针旋转180°后得到图形，
∴点B和点B1关于原点对称，
∵点B的坐标为（2，1），
∴B1的坐标为（-2，-1）．
故选D．
5．A
【详解】
如图1，圆心角∠COD=∠AOB，但弧CD与弧AB不相等，故①错误；如图2，AB与CD 都是直径，但AB与CD并不垂直，故②错误；圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线
都是它的对称轴，故③正确；等弧的前提必须是同圆或等圆中才可以，故④错误；故选A.
6．B
【分析】
设正六边形的中心是O，一边是AB，过O作OG⊥AB与G，在直角△OAG中，根据三角函数即可求得边长AB，从而求出周长．
【详解】
解：如图，在Rt△AOG中，∠AOG=30°，
∴cos30°=OG/AO，
∴OA=OG÷cos 30°=2．
这个正六边形的周长=12．
故选B．
点评：此题主要考查正多边形的计算问题，属于常规题．解题的关键是正确的构造直角三角形．
7．B
【解析】
试题分析：根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，然后根据扇形的面积公式计算即可：
×2π×15×20=300π（cm2）．
烟囱帽所需要的铁皮面积=1
2
故选B．
8．B
【详解】
连接AO,BO ,∠P =36°，所以∠AOB =144°，所以∠ACB =72°
.故选B. 9．C
【分析】
连接OB OC 、，利用圆周角定理证得OBC 为等腰直角三角形，从而计算出结果．
【详解】
如图。

连接OB OC 、，则OB OC =，根据圆周角定理，得290BOC A ∠=∠=︒，
OBC ∴是等腰直角三角形，BC =
故选：C ．
【点睛】
本题考查了圆周角定理及等腰直角三角形得性质，熟练掌握并利用圆周角定理是解决问题的关键．
10．A
【详解】
解：O 的直径为10，半径为5，当OM AB ⊥时，OM 最小，根据勾股定理可得3OM =，
OM 与OA 重合时，OM 最大，此时5OM =，所以线段的OM 的长的取值范围为35OM ≤≤， 故选A ．
【点睛】
本题考查垂径定理，掌握定理内容正确计算是本题的解题关键．
11．（2，-3）
【分析】
根据关于原点对称的点的坐标的特点，横纵坐标均为相反数即可求解．
【详解】
∵关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数
∴点P （-2，3）关于原点对称的点为（2，-3），
故答案为（2，-3）．
【点睛】
本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
12．6π．
【详解】
试题分析：根据弧长公式计算即可. 弧长12096180180n r l πππ⋅=
==
考点：弧长公式.
13．30°
【分析】
根据题意知OAB 为等边三角形，再利用圆周角定理求解即可．
【详解】
由题，OAB 为等边三角形，则60AOB ∠=︒，
AOB ACB ∠∠、是弧AB 所对的圆心角和圆周角，
1302ACB AOB ∴∠=∠=︒， 故答案为：30．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，熟练掌握定理并灵活运用是解决问题的关键．
14．30
【分析】
根据切线长定理可以得知△PCD 的周长等于PA 与PB 的和，然后根据PA 的长度及PA=PB 即可得到答案．
【详解】
解：由切线长定理可得：CA=CE ，DE=DB ，PB=PA=15，
∴△PCD 的周长=PC+CD+PD
=PC+CE+ED+PD
=PC+CA+BD+PD
=PA+PB=30,
故答案为30．
【点睛】
本题考查切线的应用，熟练掌握切线长定理是解题关键． 15．2
【分析】
根据垂径定理，分别求出AE ，CE 的长度，则AC ＝AE ﹣CE 可求.
【详解】
解：过O 作OE ⊥AB ，垂足为E ，
根据垂径定理，AE ＝12AB ＝1
2×10＝5cm ，
CE ＝12CD ＝1
2×6＝3cm ，
∴AC ＝AE ﹣CE ＝5﹣3＝2cm ，
故答案为2．
【点睛】
本题主要考查垂径定理，掌握垂径定理是解题的关键. 16．2
【分析】
根据原点对称的点坐标的特点求解即可．
【详解】
点()2,P b 与点()2,3P a '关于原点对称，
220
30a b +=⎧∴⎨+=⎩，解得1
3a b =-⎧⎨=-⎩，则2
a b -=，
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了关于原点对称的点的坐标变化，掌握基本概念是解决本题的关键．
17．45°或135°
【分析】
根据题意画出图形,先判断出∠AOB=90o,再分两种情况用同弧所对的圆心角和圆周角的关
系确定和圆的内接四边形的性质即可.
【详解】
OA=OB=1，
∴OA2+OB2=AB2，△AOB是直角三角形，
∴∠AOB=90︒，
当点C在优弧AB上时，
∠AOB=45︒，
∠ACB=1
2
当点C在劣弧AB上时，
∠AC'B+∠ACB=180︒
∴∠AC'B=135
180︒-45︒=︒，
∴∠ACB=45°或135°
故答案为：45°或135°．
【点睛】
此题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
18．1
【分析】
先根据已知条件，求出经过t秒后，OC的长，当⊙P与OA，即与x轴相切时，如图所示，则切点为O，此时PC＝OP，过P作PE⊥OC，利用垂径定理和解直角三角形的有关知识即可求出t的值．
【详解】
∵已知A 点从（1，0）点出发，以每秒1个单位长的速度沿着x 轴的正方向运动， ∴经过t 秒后，
∴OA ＝1+t ，
∵四边形OABC 是菱形，
∴OC ＝1+t ，
当⊙P 与OA ，即与x 轴相切时，如图所示，则切点为O ，此时PC ＝OP ，过P 作PE ⊥OC ， ∴OE ＝CE ＝1
2 OC ，
∴OE ＝12t + ， 在Rt △OPE 中，
OE ＝OP •cos30°＝，
∴12
t +＝
∴t ＝1，
故答案为1．
【点睛】
本题综合性的考查了菱形的性质、坐标与图形性质、切线的性质、垂径定理的运用以及解直角三角形的有关知识，属于中档题目．
19．20°
【分析】
根据旋转的性质可得△ADE ≌△ABC ，∠D=∠B=40°，AE=AC ，根据等边三角形的判定和性质可得∠ACE=∠E=60°，根据三角形的内角和可得∠DAE=180°−∠E−∠D=80°，继而根据角的和差即可求解．
【详解】
由旋转的性质得：△ADE ≌△ABC ，
∴∠D=∠B=40°，AE=AC ，
∵∠CAE=60°，
∴△ACE 是等边三角形，
∴∠ACE=∠E=60°，
∴∠DAE=180°−∠E−∠D=180°−60°−40°=80°，
∴∠DAC=∠DAE−∠CAE=80°−60°=20°．
【点睛】
本题考查旋转的性质、等边三角形的判定及性质、三角形内角和定理，解题的关键是根据熟练掌握旋转的性质和等边三角形的判定及性质．
20．120°
【分析】
在等腰ABD △中，30ABD D ∠=∠=︒根据三角形的外角性质可求出外角BAC ∠的度数；而BOC BAC ∠∠、 是同弧所对的圆周角和圆心角，可根据圆周角和圆心角的关系求解．
【详解】
∵ABD △中，AB =AD ，
∴30ABD D ∠=∠=︒，
∴+=60BAC ABD D ∠=∠∠︒,
∵BC 所对圆周角为BAC ∠，所对圆心角为BOC ∠,
∴2120BOC BAC ∠=∠=︒ .
故答案为120︒．
【点睛】
本题主要考查等腰三角形性质、三角形的外角性质、圆周角定理．找到同弧所对的圆周角，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解决这种题目的关键．三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角和．
21．（1）画图见解析，点B ；（2）画图见解析，A 2（-4，0）B 2（-4，-2）
【分析】
（1）根据旋旋转中心为原点O ，旋转方向逆的针，旋转角度90°得到点A 、B 的对应点A 1，B 1，连接得到OA 1B 1即可；根据点A 1，B 1所在象限及距离坐标轴的距离可得相应坐标，B
点经过的路径为圆心角为90°的扇形弧长，即以O 为圆心，OB 为半径的14
圆的周长. （2）根据关于原点对称的点的坐标特点画出图形，并直接写出答案
【详解】
（1）如图所示：
∵△OAB 绕原点逆时针旋转90°后所得的△OA 1B 1，
∴B 点经过的路径为圆心角为90°的扇形弧长，即以O 为圆心，OB 为半径的
14
圆的周长.
∵OB
∴点B 所经过的路径长为
902360⨯⨯ （2）如图所示：
△OAB 关于原点O 的中心对称图形，点A 、B 对称点的坐标分别为：A′（-4，0），B′（-4，-2）．
【点睛】
本题主要考查作图-旋转变换以及中心对称，解题的关键是根据旋转变换的定义和性质作出变换后的对应点及弧长公式
22．10cm.
【解析】
试题分析：根据切线长定理和平行线的性质定理得到△BOC 是直角三角形．再根据勾股定理求出BC 的长．
试题解析：∵AB ，BC ，CD 分别与⊙O 相切于E ，F ，G ；
∴∠CBO=12∠ABC ，∠BCO=1
2∠DCB ，
∵AB ∥CD ，
∴∠ABC+∠DCB=180°，
∴∠CBO+∠BCO=1
2∠ABC+∠DCB=1
2
（∠ABC+∠DCB）=90°．
∴BC10
=cm．
考点: 切割线定理.
23．7或1
【分析】
先作出圆心与两弦的垂直距离，作图后很容易可以用勾股定理算出AB弦与圆心的距离为3cm，CD弦与圆心的距离为4cm，若AB、CD位于圆心异侧，则两平行弦的距离为3＋4＝7cm，AB、CD位于圆心同侧4−3＝1cm．
【详解】
如图：过点O作OE⊥AB于E，交CD于F，
∵AB∥CD，
∴OF⊥CD，
∵OE过圆心，OE⊥AB，
∴EB＝1
2
AB＝3cm，
∵OB＝5cm，
∴EO＝4cm，
同理，OF＝3cm，
∴EF＝4-3=1cm，
当AB、CD位于圆心两旁时EF＝4+3=7cm，
∴EF＝1cm或EF＝7cm．
【点睛】
本题结合勾股定理考查了垂径定理，解决与弦有关的问题，往往要作弦的弦心距，构造以弦心距、半径、弦长的一半为三边的直角三角形，利用勾股定理解答问题．关键是能正确求出符合条件的两种情况．
24【分析】
结合题意进行曲面展开，通过在平面扇形图中计算最短路路径问题．
【详解】
如图，沿过母线AB 的轴截面展开得扇形ABC ，
此时弧BC 的长为底面圆周长的一半，故BC π=， 由180A AB BC π∠=︒
，3AB =，则60A ∠=︒， 作BD AC ⊥，此时BD 即为蚂蚁爬行的最短路径，
∴在Rt ABD △中，BD AB ==
【点睛】
本题考查了平面展开-最短路径问题，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，来解决．
25【分析】
作AD BC ⊥，根据勾股定理求解ABC S
，再结合内切圆的性质，利用等面积转换的方法求解即可．
【详解】
如图，作AD BC ⊥，设BD x =，则8CD x =-，
由勾股定理可知：2222AB BD AC CD -=-，
则()2225498x x -=--，解得52x =，则AD =，
故11822ABC S BC AD =
=⨯=△ 由三角形的内切圆性质，可得：()12ABC S r AB BC AC =++△
2
ABC S r AB BC AC ∴===++△
【点睛】 本题考查了勾股定理计算以及三角形的内切圆性质，能够灵活利用三角形的面积转换是解决问题的关键．
26．（1）证明见解析；（232
π. 【分析】
（1）连接OC ，结合题意证明OC ⊥MN 即可；
（2）结合题意证明S △EAC =S △EOC ，则=ADC EOC S S S -△阴影扇形，计算即可．
【详解】
（1）如图，连接OC ，
∵AB 是⊙O 直径，C 为圆周上的一点，
∴∠ACB=90︒，即∠ACO+∠OCB=90︒，
∵OC=OB ，
∴∠OCB=∠OBC ，又∠MCA=∠CBA ，
∴∠MCA=∠OCB ，
∴∠ACO+∠MCA=90︒，
即OC ⊥MN ，
∵OC 为半径，
∴直线MN 是⊙O 的切线；
（2）如图，连接OE 、CE ，
由（1）OC ⊥MN ，AD ⊥MN ，得OC ∥AE ，
在Rt △ACB 中，cos ∠B=1
2BC AB =，
∴∠B=60︒，
∴OC=OB=BC=3，
∴△OBC 是等边三角形，
∴∠COB=60︒，
∵OC ∥AE ，
∴∠EAO=∠COB=60︒，
∵OE=OA ，
∴△OEA 是等边三角形，
∴OC=AE ，四边形AOCE 是平行四边形，故S △EAC =S △EOC ，
于是=ADC EOC S S S -△阴影扇形，
在Rt ACB 中，3BC =，6AB =，则AC =
在Rt ACD △中，AC =60ACD ∠=︒，则CD =9
2AD =，
12728ACD S AD CD ==△，而2
60333602EOC S ππ
⨯==扇形，
3=2ADC EOC S S S π∴-△阴影扇形
【点睛】
本题考查了切线的性质和判定，等腰三角形的性质，扇形的面积，三角形的面积，平行四边形的性质和判定等知识点的应用，主要考查学生的计算和推理能力，题目综合性比较强，难度偏大．。