西南交大高数自测题答案第五章

第五章
选择题
1设()sin 20
sin x f x t dt =⎰
，()34g x x x =+，则当0x →时()f x 是()g x 的(B)
(A)等价无穷小 (B)同解无穷小非等价无穷小 (C)高阶等价无穷小 (D)低阶等价无穷小
()()
sin 20
34
sin lim
lim
x
x x t dt
f x
g x x x →→==+⎰22
30sin sin lim 34x x x x →=+22301
lim 343
x x x x →=+ （222sinsin sin x x x ）
2设222sin 1x M dx x π
π-=+⎰，()3422sin cos N x x dx ππ-=+⎰，()2342
2
sin cos P x x x dx π
π-
=-⎰则(D) (A)N P M << (B) M P N <<
(C) N M P << (D) P M N << 解：奇函数在对称区间积分为0得：222
sin 01x
M dx x π
π
-==+⎰
()3
4
22
sin cos N x x dx π
π-=+⎰3
4
222
2
sin cos xdx xdx ππ
ππ--=+⎰⎰420
02cos 0xdx π
=+>⎰
()2
3
4
2
2
sin cos P x
x x dx π
π-
=-⎰
()2
3
4
2
2
2
2
sin cos x xdx x dx ππππ--
=+-⎰⎰
420
0cos 0xdx π
=-<⎰
3设()f x 有连续导数，()00f =，()00f '≠，()()
()220
x
F x x t f t dt =-⎰，且当
0x →时，()F x '与k x 是同阶无穷小，则k 等于(C)
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
()()()220x F x x t f t dt '⎡⎤'=-⎢⎥⎣⎦⎰()()2200x x
x f t dt t f t dt '⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰
()()2200x x x f t dt t f t dt '⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰()()2200x x x f t dt t f t dt ''⎡⎤⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
⎰⎰ ()()()220
2x x f t dt x f x x f x =+-⎰()0
2x
x f t dt =⎰
()0lim k x x F x →'()00
lim 2k x x x x f t dt →=⎰()100
lim 2k x
x x f t dt
-→=⎰()20(1)lim 2k x k x f x -→-=
()
3
0(1)(2)lim 2k x k k x f x -→--=' 若3k <()0lim k x x F x →'=∞，若3k >()0lim
k x x F x →'()3
0(1)(2)lim 02k x k k x f x -→--==' 当3k =()0lim
k x x F x →'()()
30(1)(2)(1)(2)
lim 0,220k x k k x k k f x f -→----==≠∞'' 4：设()2sin sin x t x
F x e tdt π
+=⎰
，则()F x (A)
(A) 为正常数 (B) 为负常数
(C) 恒为零 (D) 不为常数
sin sin t e t 是以2π为周期的函数，故()2sin sin x t x
F x e tdt π+=⎰
2sin 0
sin t e tdt π
=⎰
又2sin 0
sin t
e
tdt π
⎰2sin sin 0
sin sin t
t e
tdt e tdt π
π
π
=+⎰⎰
sin sin()0
sin sin()()t u e tdt e u d u πππππ-=+--⎰⎰sin sin 0
sin sin t u e tdt e udu ππ
-=-⎰⎰
sin sin 0
sin sin t t e tdt e tdt ππ-=-⎰⎰()sin sin 0
sin 0t t e e tdt π
-=->⎰
（当0x >时0x x e e -->）
5设在区间[,]a b 上，()0f x >，()0f x '<，()0f x ''>，令()1b
a s f x dx =⎰
()()2s f b b a =-，()()()31
2s f b f a b a =
+-⎡⎤⎣
⎦，则(B) (A) 123s s s << (B) 213s s s << (C) 312s s s << (D) 231s s s <<
S 2
S 3
S 1
a b
f (x)
法二：由积分中值定理有()1b
a
s f x dx =⎰()()()
f b a a b ξξ=-<<，
（1） 又()0f x '<且()0f x >得()()0f f b ξ>>（2） (1)（2）得21s s <
()0f x ''>，故函数是凹的()()()
()()()
f b f a f x x a f a b a -⇒<
-+-
()13()()()()()b b a a
f b f a s f x dx x a f a dx s b a ⎡⎤
-⇒=<-+=⎢⎥-⎣⎦
⎰⎰ 6设()f x 连续，则()220
x
d tf x t dx dx -⎰等于(A)
(A) ()2xf x (B) ()2xf x - (C) ()22xf x (D) ()22xf x -
()22
0x d tf x t dx dx -⎰()()2222012x d f x t d x t dx ⎡⎤=---⎢⎥⎣⎦⎰ ()2012x d f u du dx ⎡⎤=
-⎢⎥⎣⎦
⎰()()22
122f x x xf x ⎡⎤=--∙=⎣⎦ （令22u x t =-）
7设()f x 连续，则下列函数中必为偶函数的是 (A) ()2
0x f t dt ⎰ (B) ()20
x
f t dt ⎰
(C) ()()0x
t f t f t dt --⎡
⎤⎣⎦⎰ (D) ()()0
x
t f t f t dt +-⎡⎤⎣⎦⎰
(A)
()20
x
f t dt ⎰
令 ()20
()x
F x f t dt =⎰，则()20
()x F x f t dt --=⎰
()()2
2
()()()x
x
F x f t dt f u d u --==--⎰⎰()2
x
f u du =-⎰()20
()x f t dt F x =-=-⎰
(B)
()20
x
f t dt ⎰
令 ()20
()x
F x f t dt =⎰，则()20
()x
F x f t dt --=⎰
()2
()x
F x f
t dt --=⎰()2
()x
f
u d u =--⎰()2
x
f
u du =--⎰()20
?x
f t dt =--=⎰
(C)
()()0
x
t f t f t dt --⎡⎤⎣⎦⎰
令 ()()0()x
F x t f t f t dt =--⎡⎤⎣
⎦⎰，则()()0()x
F x t f t f t dt --=--⎡⎤⎣⎦⎰ ()()0
()x F x t f t f t dt --=--⎡⎤⎣⎦⎰()()0()()x
u f u f u d u =----⎡⎤⎣⎦⎰ ()()0x u f u f u du =---⎡⎤⎣⎦⎰()()0()x
t f t f t dt F x =---=-⎡⎤⎣⎦⎰ (D)
()()0
x
t f t f t dt +-⎡⎤⎣⎦⎰
令 ()()0()x
F x t f t f t dt =+-⎡⎤⎣
⎦⎰，则()()0()x
F x t f t f t dt --=+-⎡⎤⎣⎦⎰ ()()0()x F x t f t f t dt --=+-⎡⎤⎣⎦⎰()()0()()x
u f u f u d u =--+-⎡⎤⎣⎦⎰ ()()0
x u f u f u du =+-⎡⎤⎣⎦⎰()()0()x
t f t f t dt F x =+-=⎡⎤⎣⎦⎰ 8：把0x +
→时的无穷小量2
cos x
t dt α=⎰，2
tan x tdt β=⎰，30
sin x
t dt γ=⎰排列
起来，使得在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的次序是(B)
(A) ,,αβγ (B) ,,αγβ (C) ,,βαγ (D) ,,βγα
20
cos lim lim x
x x t dt x
x
α
+
+
→→=⎰
20
lim cos 1x x +
→==，故x α 2
3
3
00tan lim
lim
x x x tdt x x β
+
+
→→=⎰2
02tan lim 3x x x x +→=22022lim 33x x x +→==，故3
32x β 3
2
2
0sin lim lim
x
x x t dt x x γ
+
+
→→==⎰()
3
sin
2lim 2x x x
x
+
→=()
()
3
3
sin
1
lim 4
4x x
x +
→=
，故24x γ 二 计算题
1设()f x 连续， ()()1
x f xt dt ϕ=⎰，且()0
lim
x f x A x
→=（A 为常数），求()x ϕ'
并讨论()x ϕ'在0x =处的连续性。

解()()1
0x f xt dt ϕ=⎰()0
x u f u d x =⎰
()0
1x
f u du x =⎰
当0x ≠时
()()01x x f u du x ϕ'⎡⎤
'=⎢⎥⎣⎦
⎰()()2
11
x
f u du f x x x
=-+
⎰
由()0
lim
x f x A x
→=()00f ⇒=且()()1
00f dt ϕ=⎰，故()()1
000f dt ϕ==⎰
当0x =时，
()()()()0001000lim lim 0x x x f u du x x x x
ϕϕϕ→→--'==-⎰()020lim x
x f u du x →=⎰ ()0
lim
22
x f x A
x
→==
故()()()2
11
00
2
x
f u du f x x x x
x A x ϕ⎧-+
≠⎪⎪'=⎨
⎪=⎪⎩⎰
()()()20
00
1
1lim lim x
x x x f u du f x x x ϕ→→⎛⎫
'=-+
⎪⎝⎭⎰
()()0
2
lim x
x xf x f u du
x
→-=⎰
()()0
2
lim
lim x
x x f u du f x x
x →→=-⎰()0
lim 2x f x A x →=-2
A =
故()x ϕ'在0x =处的连续。

2：设()y f x =是区间[]0,1上的任一非负函数。

（1） 证明()00,1x ∈，使得在区间[]00,x 上，以()0f x 为高的矩阵面积等于在区
间[]0,1x 上以()y f x =为曲边梯形面积。

（2） 又设()f x 在区间()0,1可导，且()()2f x f x x
'>-
，证明（1）中的0x 是唯
一的。

证明：令()1
()x F x x f t dt =⎰，显然()F x 在区间[]0,1上连续在()0,1可导，且
()()11
1
(0)001(1)F f t dt f t dt F ====⎰⎰，
又()()()11
()x x F x x f t dt f t dt xf x '⎡⎤'==-⎢⎥⎣⎦
⎰⎰
故由罗尔定理得存在()00,1x ∈使得
0()0F x '= 其中()00,1x ∈
即()()()()0
11
00000x x f t dt x f x f t dt x f x -=⇒=⎰⎰
由()y f x =是区间[]0,1上的任一非负函数可知道()()()
1
0000,1x f t dt x f x x =∈⎰表示存在()00,1x ∈，使得在区间[]00,x 上，以()0f x 为高的矩阵面积等于在区间
[]0,1x 上以()y f x =为曲边梯形面积。

（2）()()1
()x F x f t dt xf x '⎡⎤''=-⎢⎥⎣⎦
⎰()()()f x f x xf x =--- ()()20f x xf x =-+<⎡⎤⎣⎦，故()F x '在区间[]0,1是单调递减，故0()0F x '=中0x 是
唯一的。

3：求20
sin()x
d x t dt dx -⎰
20sin()x d x t dt dx -⎰()02
sin x d u d x u dx =-⎰ 02sin x d u du dx ⎡⎤=-⎢
⎥⎣⎦⎰220sin sin x d u du x dx ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦⎰ 4设函数()f x 在[]0,π上连续，且()0
0f x dx π=⎰，()0
cos 0f x xdx π
=⎰
证明在()0,π内至少存在两个不同的点()()120f f ξξ==
证明：令()0()x
F x f x dx =⎰，则()F x 在[]0,π上连续在()0,π可导。

()()00
(0)0()F f x dx f x dx F π
π====⎰⎰
()()0
0cos cos f x xdx xdF x ππ
==⎰⎰()()0
cos cos F x x
F x d x π
π
=-⎰
()0
sin F x xdx π
=⎰
即()0
0sin F x xdx π
=⎰，由积分中值定理存在()0,ξπ∈使得()sin 0F πξξ=，
故()0F ξ=，对()F x 在[]0,ξ及[],1ξ罗尔定理有
()10,ξξ∈，()2,1ξξ∈使得
()10F ξ'=，()20F ξ'=
即在在()0,π内至少存在两个不同的点()()120f f ξξ==。

5：求21
ln e
dx x x
+∞
⎰
21ln e
dx x x +∞
⎰
21ln ln e d x x +∞=⎰11ln e
x
+∞=-=
6已知两曲线()y f x =与2
arctan 0
x
t y e dt -=⎰
在点()0,0处的切线相同，
写出切线方程并求极限2lim n nf n →∞
⎛⎫
⎪⎝⎭
解()
2
arctan 0
x
t x x y e dt
-=='
'
=
⎰
2
arctan 0
2
11x
x e x -==
=+()0f '=
故在点()0,0处的切线方程为y x =
2lim x xf x →+∞
⎛⎫ ⎪⎝⎭
()20lim 1x f f x x →+∞⎛⎫- ⎪⎝⎭=()202lim 2
x f f x
x
→+∞⎛⎫- ⎪⎝⎭
=()202f '== 由数列极限与函数极限的关系有22lim lim 2n x nf xf
n x →∞
→+∞⎛⎫
⎛⎫
== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
7求12lim 1cos 1cos 1cos n n n n n n πππ
→∞⎛⎫
++++++
⎪ ⎪⎝⎭
12lim 1cos 1cos 1cos n n n n n n πππ→∞⎛⎫++++++ ⎪ ⎪⎝
⎭
11lim 1cos n n i i n n π→∞==+∑ 10
1cos xdx π=+⎰1
20
12cos 12x dx π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭
⎰102cos 2x dx π=⎰ 1
22
cos
22
x x
d πππ
=
⎰
1
22
22
sin
2
x
ππ
π
=
=
8设()22
3210201
(1)
x
x x x x f x xe x e ⎧+-≤<⎪⎪
=⎨⎪
≤≤⎪+⎩求()1
()x
F x f t dt -=⎰的表达式。

当10x -≤<时()2113()22x
x
F x f t dt t t dt --⎛
⎫==+ ⎪⎝
⎭⎰⎰=23
1
12x
t t -+231122
x x =+
- 当01x ≤≤()1()x F x f t dt -=⎰0
2210322(1)t x t te t t dt dt e -⎛
⎫=++ ⎪+⎝
⎭⎰⎰
()20112(1)x t
t t d e e =-+++⎰()
01121x t td e =--+⎰ 0
011211x
x t
t t
dt e e ⎡⎤=---⎢
⎥++⎣⎦⎰011211t t
x x t x
e e dt e e +-=--+++⎰ 001211t x x x t x e dt dt e e =--+-++⎰⎰()0111211x t
x t x x d e e e
=--+-+++⎰ ()0
1ln 121t
x
x
x x e e =--+-++()1ln 1ln 221x x
x x e e
=--+-+++ 9设函数()y y x =由参数方程()212ln 0
121u t x t t e
y du u +⎧=+⎪>⎨=⎪⎩
⎰所确定，求22d y
dx
解：
4dx
t dt
=12ln 212ln t dy e dt t t +=+()
12ln 212ln t e t t +=+
故
()12ln 212ln 4t e dy t t dy dt dx
dx t dt
++==
()
12ln 2
212ln t
e t t +=+
2
2
d dy d y dt dx dx dx
dt
⎛⎫
⎪⎝⎭=()
12ln 2212ln 4t
d e dt t t t
+⎛⎫ ⎪+⎝
⎭
=
()()()12ln 2
12ln 22
2212ln 412ln 4212ln 4t t e t t e t t t t
t t t
+++-++⎡⎤⎣⎦⎡⎤+⎣⎦
=
()()()12ln 12ln 12ln 2
2412ln 412ln 4212ln 4t t t
te t te t te t t t
++++-+-⎡⎤+⎣⎦
=
()12ln 2
2
44212ln t
te t t t +=-
⎡⎤+⎣⎦
()12ln 2
2
212ln t
e t t +=-
⎡⎤+⎣⎦
10 如图曲线C 的方程为()y f x =，点()3,2是它的一个拐点，直线12,L L 分别是曲线C 在点()0,0与()3,2处的切线，其交点为()2,4，设函数()f x 具有三阶连续
导数，计算定积分()()3
20
x x f x dx '''+⎰
()()3
2
x x f x dx '''+⎰
()()320
x x df x ''=+⎰()()()()3
23200
f x x x f x d x x ''''=+-+⎰
()()()30
12321f f x x dx ''''=-+⎰
函数()f x 具有三阶连续且点()3,2是它的一个拐点，故()30f ''= 故()()3
2
x x f x dx '''+⎰
()()30
21f x x dx ''=-+⎰()()3
21x df x '=-+⎰
()()()()3300
2121f x x f x d x ''=-+++⎰
()()()3
07302f f f x dx '''=--+⎡⎤⎣⎦⎰()()()()()730230f f f f ''=--+-⎡
⎤⎣⎦ 20=
11．设()f x 为正值连续函数，求
()()()
2
sin d sin cos f x x f x f x π
+⎰。

解 令2
x t π
=
-，
()()()
2
sin d sin cos f x x f x f x π
+⎰
2
sin 2d 2sin cos 22f t t f t f t π
ππππ⎛⎫- ⎪
⎝⎭=-⎛⎫⎛
⎫-+- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝
⎭⎰
()()()
()()()
2
2
cos cos d d sin cos sin cos f t f x t x f t f t f x f x π
π
==++⎰⎰
原式()()()()()()2
200sin cos 1d d 2sin cos sin cos f x f x x x f x f x f x f x π
π
⎡⎤=+⎢⎥++⎣⎦
⎰⎰ ()()()()2
0sin cos 12sin cos f x f x f x f x π
+=+⎰4
π= 12．设()0
sin d x
t
f x t t
π=
-⎰
，求()0d f x x π⎰。

解
(
)0
d f
x x π
=⎰(
)()00
d f
x x x f x π
π-⎰
()0
s i n d x x
f x x
π
πππ=--⎰
0sin sin d d x
x x x x x
x π
ππππ=---⎰
⎰()00sin d sin d 2x x x x x x ππππ-===-⎰⎰
13．设函数()f x 在[]0,1上连续，且满
()1
0=d 0f x =
⎰足()1
d 0f x x =⎰，证明
()0,1ξ∃∈，使()()10f f ξξ--=。

证明 令()()()10
d d x x
F x f t t f t t -=+⎰⎰
，故
()()()0
1
0d d 0F f t t f t t =+=⎰⎰，()()()1
1d d 0F f t t f t t =+=⎰⎰，即
()()01F F =
()0,1ξ∃∈，使得()0F ξ'=，即()()10f f ξξ--=。