黑龙江省大庆实验中学高三第二次月考(数学)

大庆实验中学高三第二次月考
数学试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1.已知下表中的对数值有且只有一个是错误的．
A.lg1.5
B ．lg 5
C ．lg 6
D ．lg 8
2.已知函数x x f x
2log )3
1
()(-=，0a b c <<<，0)()()(<c f b f a f ，实数d 是函数()f x 的一个零点．给
出下列四个判断：①a d <；②b d >；③c d <；④c d >．其中可能成立的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
3.已知定义在R 上的函数()y f x =满足以下三个条件：①对于任意的x R ∈，都有(4)()f x f x +=；②
对于任意的12,x x R ∈，且1202x x ≤<≤，都有12()()f x f x <；③函数(2)y f x =+的图象关于y 轴对称 则下列结论中正确的是 （ ） A ．(4.5)(7)(6.5)f f f <<
B ．(7)(4.5)(6.5)f f f <<
C ．(7)(6.5)(4.5)f f f <<
D ．(4.5)(6.5)(7)f f f <<
4.在R 上定义一种运算⊗：x ⊗y = x (1– y )．若不等式(x – a )⊗( x + a )＜1对任意实数x 成立，则（ ）
A ．–
1322
a << B ．0＜a ＜2 C ．–1＜a ＜1 D ．3
122
a -<<
5.已知函数y = 2sin(x ωθ+) (0＜θ＜π)为偶函数，其图象与直线y = 2在某两个交点的横坐标分别为x 1、x 2，若|x 2 – x 1|的最小值为π，则该函数的一个递增．区间可以是 （ ） A ．(,)2
4
ππ
--
B ．(,)44
ππ-
C ．(0,)2
π
D ．3(,)4
4
ππ
6.为得到函数πcos 23y x ⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
的图象，只需将函数sin 2y x =的图象 ( ) A ．向左平移
5π
12个长度单位
B ．向右平移
5π
12个长度单位 C ．向左平移5π
6
个长度单位
D ．向右平移5π
6
个长度单位
7.函数x x y 3
3
cos sin +=在]4
,4[π
π-
上的最大值是 ( )
A ．2
B ．1
C ．
2
D ．0 8.已知角α的终边经过点(8,6cos 60)P m ︒
--，且5
4
cos -
=α，则m 的值是 （ ） A
21 B 2
1
- C 23- D 23
9.设,cos sin )cos (sin a a a a f =+若2
1
)(=
t f ，则t 的值为 （ ） A 2± B 2 C 22±
D 2
2 10.已知βα,均为锐角，则下列不等式成立的是 ( )
A. 1sin sin >β+α
B. 1cos sin <α-α
C. )sin()sin(β-α>β+α
D. )cos()cos(β-α>β+α
11.β+αβα,,是锐角，cos cos a αβ=+,sin sin b αβ=+,sin()c αβ=+,则有 ( )
A. c b a <<
B. b c a <<
C. c a b <<
D. b a c <<
12.()f x 是以5 为周期的奇函数, (3)f -=1，且2tan =α，则(20sin cos )f αα= （ ）
A. 1
B. -1
C. 3
D. 8
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.函数sin()(,0,02)y x x R ωϕωϕπ=+∈>≤<的部分图象如图，则ϕ= ．
14．直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数f (x )的图象恰好通过k 个格点，则称函数 f (x )为k 阶格点函数.下列函数：①x x f sin )(=；②3)1()(2+-=x x f π；③1()()3
x
f x =；④
.log )(6.0x x f =其中是一阶格点函数的有 .（填上所有满足题意的序号）.
15. 若函数2
()2f x x ax b =++在区间（0，1）、（1，2）内各有一个零点，则
2
1
b a --的取值范围为 16．（文）已知函数()()5sin 2f x x ω=+满足条件)()3(x f x f -=+，则正数ω= 。

（理）若()f x 是一次函数，且1
1
0017()5,()6
f x dx xf x dx ⎰=⎰=，则2
0[()7sin(1)]f x x dx ⎰-+-=
三、解答题（本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

）
17. （本小题满分10分）已知5
3
x 4cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛+π，且47x 127π<
<π，求x tan 1x sin 2x 2sin 2-+的值.
18． (本题满分12分)向量a = (cos x + sin x ，2cos x )，b = (cos x – sin x ，2sin x )，f (x ) = a ·b ． （Ⅰ）求函数f (x )的单调区间；
（Ⅱ）若2x 2 –πx ≤0，求函数f (x )的值域．
19. （本小题满分12分）
（文）定义在R 上的单调函数f (x )满足f (3) = log 23且对任意x ，y ∈R 都有f (x + y ) = f (x ) + f (y )． （Ⅰ）求证f (x )为奇函数；
（Ⅱ）若f (k ·3x ) + f (3x – 9x –2)＜0对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围．
（理）设点P 在曲线2
x y =上，从原点向A(2，4)移动，如果直线OP 、曲线2
x y =及直线x=2所围成的面积分别记为1S 、2S ．
(Ⅰ)当21S S =时，求点P 的坐标；
(Ⅱ)当21S S +有最小值时，求点P 的坐标和此时的最小值．
20.（本小题满分12分）设函数()4f x x b =-+，不等式|()|f x c <的解集为{|12}x x -<<.
（Ⅰ）若函数c
x a
x f x g ++=2
)()(是R 上的奇函数，求a 的值; （Ⅱ）解不等式40()
x m
f x +>.
21：（本小题满分12分）
(文) 已知a 为实数，函数23
()()()2
f x x x a =++．
(Ⅰ) 若函数()f x 的图象上有与x 轴平行的切线，求a 的取值范围； (Ⅱ) 若(1)0f '-=， 求函数()f x 的单调区间；
(理)已知函数322
()(0)f x ax a x a =+->,存在实数1x 、2x 满足下列条件:①12x x <;②
''12()()0f x f x ==;③122x x +=.
(Ⅰ) 证明: 03a <≤； (Ⅱ)求b 的取值范围;
(III)若函数'
1()()6()h x f x a x x =--,证明:当122x x <<时,()12h x a ≤.
22. （本小题满分12分） （文）已知函数1()()(1,)2a
f x x x
=
++∞在上为增函数，函数()ln g x x ax =-(1,)+∞在上为减函数。

（Ⅰ）求实数a 的值；
（Ⅱ）求证：对于任意的1[1,]x m ∈总存在.0)()(],,1[122=+∈x f x g m x 使得 （理）（1）设()2ln F x x x =，且03>>a b ，欲使()()()2()2
a b
b a F a F b F λ+-<+-恒成立，则λ的最大值是多少？
（2）设)(x f 在),0(+∞上有定义，在1x =处可导且2)1(='f .若对所有的12,0x x >都有
121221()()()f x x x f x x f x =+,求函数)(x f 的解析式.
数学参考答案
1.A
2.C
3.A
4.A
5.A
6.A
7.B
8.A
9.A 10.B 11.C 12.B 二、填空题 13..
4π 14。

①②④ 15. 1(,1)4 16. （文）3
π
； （理）0
三、解答题： 17. 75
28
-
18．解:（1）f (x ) = a ·b = (cos x + sin x x )·(cos x – sin x x )
= cos2x + sin2x x +4
π
)．……２分 由22224
2
k x k π
π
π
ππ-
≤+
≤+
(k ∈Z )，解得388
k x k ππ
ππ-
≤≤+(k ∈Z )．……４分
由32222
4
2k x k π
π
πππ+
≤+
≤+
(k ∈Z )，解得588
k x k ππ
ππ+≤≤+(k ∈Z )．……６分 ∴函数f (x )的单调递增区间是3,88k k ππππ⎡
⎤-+⎢⎥⎣
⎦(k ∈Z )；
单调递减区间是5,88k k ππππ⎡
⎤++⎢⎥⎣
⎦(k ∈Z )．……７分
（2）∵2x 2–x π≤0，∴0≤x ≤
2
π
．……８分 由（1）中所求单调区间可知，当0≤x ≤8
π
时，f (x )单调递增； 当
8
π
≤x ≤2π时，f (x )单调递减．……１０分
又∵f (0) = 1＞f (
2π) = – 1，∴–1 = f (2π)≤f (x )≤f (8
π
∴函数f (x )的值域为[-．……１２分 19.解：
（文）（1）f (x + y ) = f (x ) + f (y ) (x ，y ∈R ) ①
令x = y = 0，代入①式，得f (0 + 0) = f (0) + f (0)，即f (0) = 0．……２分
令y = –x ，代入①式，得f (x – x ) = f (x ) + f (–x )，又f (0) = 0，则有0 = f (x ) + f (–x )． 即f (–x ) = –f (x )对任意x ∈R 成立，所以f (x )是奇函数．……５分
（2）f (3) = log 23＞0，即f (3)＞f (0)，又f (x )在R 上是单调函数，……６分 所以f (x )在R 上是增函数，又由（1）知f (x )是奇函数．
f (k ·3x )＜–f (3x – 9x –2) = f (–3x + 9x +2)，k ·3x ＜–3x + 9x +2，……８分
对任意x ∈R 成立．分离参数得k ＜3x +
213x -．……１０分 令u =3x
+213x
-≥1，
即u 的最小值为1，要使对x ∈R 不等式2
313
x
x k <+
-恒成立，只要使1k <．１２分 （理）(1)设点P 的横坐标为t(O<t<2)，则),(2
t t P ，直线OP 的方程为：y=tx ．
∴⎰=-=t
t dx x tx S 032
161)(， 223281
()236
t S x tx dx t t =-=-+⎰。

∵21S S =，所以336123861t t t +-=， 得34=t ，∴点P 的坐标为416
(,)39。

（2）设)20(3
8231321<<+-=+=t t t S S S ，2'2
-=t S ，令S′=0 得22=t 2=t ， ∵0<t<2，
∴20<<t 时，S′<0，22<<t 时，S′>0，所以，当2=t 时，3
2
48min -=S ，因此，当点P 坐
标为(2，2)时，21S S +有最小值3
2
48-
20．解：（1）由 c b x <+-|4|得
4
4c
b x
c b +<<- ，又已知 c x f <|)(|的解集为{|12}x x -<<
∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=-24
14
c b c
b 得b = 2 ，c=6 …………………………………… 3分
所以，6
24)(2+++-=
x a
x x g
由题意，函数)(x g 是R 上的奇函数，即：)()(x g x g -=-
所以，6242+++x a x 6
242
+++--=x a
x 解得：2-=a ………………6分
（2）由0244>+-+x m
x 得1()()042
m x x +-< ………………………………8分
①当214>-m ，即2-<m 时，421m x -<< ②当2
1
4=-m ，即2-=m 时，无解 ③当214<-
m ，即2->m 时，2
14<<-x m 综合以上讨论得：当2-<m 时，不等式解集为1{|}24
m
x x <<- 当2-=m 时，不等式解集为空集
当2->m 时，不等式解集为1
{|}42
m x x -
<< ……………………12分 21.（文）解：(Ⅰ) ∵3233()22f x x ax x a =+++， ∴23
()322
f x x ax '=++．
∵函数()f x 的图象上有与x 轴平行的切线， ∴()0f x '=有实数解． ∴2344302a D =-⨯⨯
≥， ∴29
2a ≥．所求a
的取值范围是{|}22
a a a <-
> (Ⅱ) ∵(1)0f '-=，∴33202a -+
=即94a =.∴231
()323()(1)22
f x x ax x x '=++=++ 由()0f x '>，得1x <-或12x >-； 由()0f x '<，得1
12x -<<-．
因此，函数()f x 的单调增区间为(,1]-∞-，1[,)2-+∞；单调减区间为1
[1,]2
--．
(理)解
:(1)'22
()3,f x ax a =+-
所以121233
a
x x x x a +=-
=-,由0a >,得120x x <<, 由122x x +=知212x x -=.
故1x -和2x 是方程2
203a t t -+
=的两个实根, ∴方程有解, ∴=4-43a
≥0,得03a <≤. 4分 (2)由21212()44x x x x +-=得249b a +43
a =4, 从而3239
b a a =-+, 所以'2
918b a a =-+,由b =0
得0a =或2a =.又03a <≤, ∴当a 变化时,b
,b 的变化情况如下表:
a
0 (0,2) 2 (2,3) 3 b
+ 0 -
b 0
极大值
12
∴0
b 12 4分
(3)因为12x x <<, 所以120,20x x x x ->--<
又12112()3()()6()3()[()2]h x a x x x x a x x a x x x x =----=---所以
22
121212|||2|2|()||3()[()2]|3(
)3()1222
x x x x x x x x h x a x x x x a a a -+---++-=---≤⋅=⋅= 4分
22.(文) 解：（1）),1(0)1(21)(2+∞≥-=
'在x
a
x f 上恒成立 则),1(2
+∞≤在x a 上恒成立 ∴1≤a ……………………3分 又),1(01
)(+∞≤-='在a x
x g 上恒成立 则),1(1
+∞≥
在x
a 上恒成立 ∴1≥a ……………………5分
从而为a=1……………………6分 （2）依题意可知，只须证：
函数)(x f y -=的值域是函数)(x g y =值域的子集 设)(x f y -=的值域为M ，)(x g y =的值域为N ； 由（1）可知)(x f y -==],1[)1
(21m x
x 在+-
上为减函数， ],1[ln )(m x x x g 在-=上为减函数
∴}1,{ln ],1),1
(21[--=-+-=m m N m m M ………………8分 设)1(,ln 21
)(>--=x x x
x x ϕ
则∵,1>x
∴,0)1(211)(2
2
2>-=-+='x
x x x x ϕ ∴),1()(+∞=在x y ϕ上为增函数 ∵m>1，
∴0)1()(=>ϕϕm ∴m
m m 1ln 2-< ∴m m m
m ->+-
ln )1
(21……………………11分 ∴即,N M ⊆对于任意的)1](,1[1>∈m m x
总存在],1[2m x ∈，使得0)()(12=+x f x g ……………………12分
(理)解：（1）由于222(ln
ln )()()2(
)2b a a b
b a F a F b F a b a b b a
b a
+++-++=
--， 如果设)1
2ln 1112ln 1(2)(),3(+-++-=>=
t t t t t t t g t a b t 那么上式变形为. t t t t g 4)1(ln )
1(2)(2
2
+-='. 因为0)(,14)1(),,3(2
>'>++∞∈t g t
t t 即所以.()g t 在(3,)+∞上单调递增
于是，27()(3)ln ,16
g t g >= 故27()ln
()()2()162
a b b a f a f b f +-<+-， 从而可知λ的最大值为27
ln ,16
（2）令1)()()(21122121==+=x x x f x x f x x x f 的，则有0)1(=f . 由导数的概念及关系式)()()(122121x f x x f x x x f +=，得
00(1)()
()()()lim lim x x x f x f x f x x f x x f x x x
∆→∆→∆⎡
⎤+-⎢⎥+∆-⎣⎦
'==∆∆
x x f x x f f x x f x
x f x x
f x )(2)()1()()
1()1(lim
+=+'=+∆-∆+
→∆＝
即x x x f x
x f x f x 2))(()()(2='=-'，故)(ln 2)(为常数c cx x x x f += 由x x x f c f ln 2)(00)1(===，所以有知.。