高二数学下学期期中试题 理(特优班)-人教版高二全册数学试题

某某市第十一中学2015至2016学年度高二下半期
数 学 试 题（理科二)
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的）． 1. 若复数z 满足i i z 23)1(+=-,则在复平面内z 的共轭复数对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
2. 已知函数f (x )＝23x 3－2ax 2
－3x (a ∈R )，若函数f (x )的图像上点P (1，m )处的切线方程为
3x －y ＋b ＝0，则m 的值为( )
A ．－13 B.－12C.13D.12
3. 用数学归纳法证明命题：2
(3214)
22
n n n +=++++时，则从n k =到1n k =+左边需
增加的项数为( )
A.12-n
B. n 2
C. 12+n
D. 12
+-n n
4.已知点P 在曲线y ＝4
e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值X 围是
( )
A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4
B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2
C.⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4
D.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫3π4，π
5.点P 是曲线y ＝x 2
－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的距离的最小值是（ ）
A ．2
B ．22
C ．
22
3
D ．23 6.过点(3，1)作圆(x －1)2
＋y 2
＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则线段AB 的长为( )
A ．
33B ．332 C ．554 D ．5
6
7. 已知曲线y ＝x ＋lnx 在点（1，1）处的切线与曲线1)2(2
+++=x a ax y 相切，则a 的值为（ ）
A ．7
B ．8
C ．9
D ．10
8. 如图，在边长为2的正方形ABCD 中，点E 、F 分别是边AB 、BC 的中点，△AED 、△EBF 、△FCD 分别沿DE 、EF 、FD 折起，使A 、B 、C 三点重合于点A ′，若四面体EFD A '的四个顶点在同一个球面上，则该球面的面积为（ ）．
A.π3
B. π6
C. π10
D. π18
9. 设点P 在曲线y ＝12
e x
上，点Q 在曲线y ＝ln(2x )上，则|PQ |的最小值为( )
A ．2(1－ln 2) B. 1－ln 2 C ．1＋ln 2 D.2(1＋ln 2)
10. 已知,(0,)2
αβπ∈，且
β
β
α
α
sin sin <
，则下列结论正确的是（ ）．
A ．βα<
B ．2
π
βα>
+C ．βα>
D ．2
π
βα<
+
11. 若圆
2
2
2
)5(3x r y =++-）（上有且仅有两个点到直线4x －3y ＝2的距离 等于1，则半径r 的X 围为( )
A.[)64，
B.(4,6)
C.(]64，
D.[4,6] 12.设()f x 是定义在R 上的函数，其导函数为'()f x ，若()'()1f x f x +<，11)0(=f ，则
不等式x
x e e x f 10
)(+>（其中e 为自然对数的底数）的解集为( )
A ．),10(+∞ B.),11()0,(+∞⋃-∞ C.)11,(-∞D ．(,0)-∞ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
13. 如图所示，图中曲线方程为y ＝x 2
－1，则围成封闭图形(阴影部分)
的面积是__________．
14. 已知函数f (x )＝x 3
＋ax 2
＋bx ＋c ，若f (x )在区间(－1,0)上单调递
减，则a 2
＋b 2
的取值X 围是________． 15. 已知2＋2
3
＝223
，3＋38
＝338
，4＋415
＝44
15
，…， 若
7＋a b ＝7
a
b
，(a 、b 均为正实数)，则类比以上等式，可推测a 、b 的值，进而可得a ＋b ＝________．
16.设函数f (x )＝ax 3
－3x ＋1(x ∈R )，若对于任意x ∈[－1,1]，都有f (x )≥0成立，则实数
a 的值为________．
三、解答题（本大题共6小题，满分70分．17题10分，其它题为12分。

解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤）．
17.设函数)1ln(2)1()(2
x x x f +-+=．
（Ⅰ）对任意0[0,1]x ∈，不等式0)(0≤-m x f 恒成立，某某数m 的最小值；
（Ⅱ）若存在0[0,1]x ∈，使不等式0)(0≤-m x f 成立，某某数m 的取值X 围．
18.已知函数3ln )(--=ax x a x f
(1)若5)1(-=f ，求函数f (x )的单调区间；
(2)若函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t ∈[1,2]，函数]2
)([)(2
3
m
x f x x x g +'+=在区间(t,3)上总不是单调函数，求m 的取值X 围．
19. 设函数()ln ,m
f x x m R x
=+
∈. ⑴ 当m e =（e 为自然对数的底数）时，求()f x 的最小值； （2） 若对任意()()
0,
1
f b f a b a b a
->><-恒成立，求m 的取值X 围.
20.在三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，四边形AA 1C 1C 是边长为2的菱形，平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，∠A 1AC ＝60°，∠BCA ＝90°. (1)求证：A 1B ⊥AC 1；
(2)已知点E 是AB 的中点，BC ＝AC ，求二面角111C E A B --的正弦值
21.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)与直线y ＝kx 相交于A 、B 两点(从
左至右)，过点B 作x 轴的垂线，垂足为C ，直线AC 交椭圆于另一点D .
(1)若椭圆的离心率为
2
2
，点B 的坐标为(2，1)，求椭圆的方程；
(2)若以AD 为直径的圆恰好经过点B ，求椭圆的离心率．
A
B
C
1
A 1
C 1
B
22. 已知函数f （x ）＝2
x ＋ax －lnx ． （Ⅰ）求f （x ）的单调区间；
（Ⅱ）设x x f x g ln 2)()(+=，)(2)(3)(x g x x g x F '-=，若函数F （x ）在定义域内有
两个零点x 1，x 2，且x 1＜x 2，求证：12
(
)2
x x F '＋＜0．
某某市第十一中学2015至2016学年度高二下半期
数 学 试 题（理科二)答案
二、13.2 14.⎣⎢⎭
⎪5，＋∞15. 55 16. 4 三、17. 解：（Ⅰ）()222()2(1)11x x f x x x x
+'=+-
=++， 当)1,0(∈x 时，()'0f x ≥，故()f x 在区间[]0,1上单调递增，
所以2ln 24)1()(max -==f x f ，不等式0)(0≤-m x f 恒成立，
等价于2ln 24)(max -=≥x f m ，所以m 最小值为2ln 24-。

对任意0[0,1]x ∈，． （Ⅱ）若存在0[0,1]x ∈，使不等式0)(0≤-m x f 成立，等价于1)(min =≥x f m ，所以m 的取值X 围为),1[+∞．
18.解(1)根据题意知，5)1(-=f ，则2=a ，又x
x x f )
1(2)(-=
，0>x f (x )的单调递减区间为(1，＋∞)，单调递增区间为(0,1]；
(2)∵f ′(2)＝－a
2
＝1，∴a ＝－2，∴f (x )＝－2ln x ＋2x －3.
∴g (x )＝x 3＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫m
2＋2x 2－2x ，∴g ′(x )＝3x 2
＋(m ＋4)x －2.
∵g (x )在区间(t,3)上总不是单调函数，且g ′(0)＝－2，
∴⎩
⎨⎧>'<'0)3(0)(g t g ，由题意知：对于任意的t ∈[1,2]，g ′(t )＜0恒成立，
∴02)4(32
<-++t m t ，则有t
t m 23)4(->+-对于任意的t ∈[1,2]
又t
t 23-在[1,2]上为增函数，则22
6)4(->+-m ，∴－373＜m ＜－9.
19. （1）由题设，当m e =时，()ln e
f x x x
=+，易得函数()f x 的定义域为(0,)+∞
221()e x e
f x x x x
-'∴=-=
∴当(0,)x e ∈时，()0f x '<，此时()f x 在(0,)e 上单调递减；
当(,)x e ∈+∞时，()0f x '>，此时()f x 在(,)e +∞上单调递增；
∴当x e =时，()f x 取得极小值()ln 2e
f e e e
=+
=，∴()f x 的最小值为2 (2)对任意()()
0,
1f b f a b a b a
->><-恒成立
等价于()()f b b f a a -<-恒成立 设()()ln (0)m
h x f x x x x x x
=-=+
-> ()h x ∴等价于在(0,)+∞上单调递减
2
1()10m
h x x x '∴=
--≤在(0,)+∞恒成立 2211
()(0)24m x x x x ∴≥-+=--+>恒成立
14m ∴≥（对14m =，x =h '（）0仅在12x =时成立），m ∴的取值X 围是1,4⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
20解：(1)证明：取AC 的中点O ，连接A 1O ，
因为平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，A 1O ⊥AC ， 所以A 1O ⊥平面ABC ，所以A 1O ⊥BC . 又BC ⊥AC ，所以BC ⊥平面AA 1C 1C ，
所以AC 1⊥BC .在菱形AA 1C 1C 中，AC 1⊥A 1C ， 所以AC 1⊥平面A 1BC ，所以A 1B ⊥AC 1.
(2)以点O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O ­xyz ，则A (0，－1，0)，B (2，1，0)，C (0，1，0)，C 1(0，
2，
3)，),0,0,1(E ，)3,0,0(1A ，)3,2,2(1B ，)3,0,1(1-=E A ，
)0,2,2(11=B A ,),0,2,0(11=C A ，
设),,(1z y x n =是平面E B A 11的法向量，则有⎩⎨
⎧=+=-0
220
3y x z x 不妨取z ＝1可得
)1,3,3(1-=n 设),,(2z y x n =是平面E C A 11的法向量，则有
⎩⎨
⎧==-0
20
3y z x 不妨取z ＝1可得)1,0,3(2=n ， 设二面角111C E A B --为θ，则θcos 271321⋅=
+=⋅n n .则7
21sin =
θ 21.解：(1)由题意，⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝2
2
，2a 2＋1b 2
＝1，a 2
＝b 2＋c 2
，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2
＝2，
所以椭圆的方程为x 24＋y
2
2＝1.
(2)法一：设B (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则A (－x 1，－y 1)，C (x 1，0)．
因为A ，C ，D 三点共线，所以AC →∥AD →
， 由AC →＝(2x 1，y 1)，AD →
＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，
得2x 1(y 1＋y 2)＝(x 1＋x 2)y 1，即
y 1＋y 2x 1＋x 2＝y 12x 1＝k
2. 又B ，D 均在椭圆上，有⎩⎪⎨⎪
⎧x 21a 2＋y 21
b
2＝1，①x 2
2a 2
＋y 22b 2
＝1，②
①－②，得（x 1－x 2）（x 1＋x 2）a 2＝－（y 1－y 2）（y 1＋y 2）
b
2
， 所以直线BD 的斜率k ′＝y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2
a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－2k ·b
2
a
2，
由于以AD 为直径的圆恰好经过点B ，所以AB ⊥BD ，即k ·k ′＝－1，
所以a 2＝2b 2
，所以椭圆的离心率e ＝c a ＝22
.
法二：设B (t ，kt )，则A (－t ，－kt )，C (t ，0)，
所以直线AD 的方程为y ＝k
2
(x －t )．
由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2
＋y 2
b 2
＝1，y ＝k
2（x －t ），
消去y ，得b 2x 2
＋a 2k 2
4(x －t )2
＝a 2b 2
，
即(4b 2
＋a 2k 2
)x 2
－2a 2k 2
tx ＋a 2k 2t 2
－4a 2b 2
＝0，所以x A ＋x D ＝2a 2k 2
t 4b 2＋a 2k
2，
从而x D ＝2a 2k 2
t 4b 2＋a 2k 2
＋t ，即D ⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 2k 2＋4b 24b 2＋a 2k
2t ，a 2k 34b 2＋a 2k 2t ， 所以直线BD 的斜率k ′＝a 2k 3
4b 2＋a 2k 2t －kt 3a 2k 2＋4b 2
4b 2＋a 2k
2t －t ＝－2b
2a 2k ， 由于以AD 为直径的圆恰好经过点B ，所以AB ⊥BD ，即k ·k ′＝－1，
所以a 2＝2b 2
，所以椭圆的离心率e ＝c a ＝22
22. 解：（Ⅰ）∵0>x ，x
ax x x f 12)(2--='，由0122
=--ax x 得2821+-=a a x <0
舍去，02
8
22>++=
a a x ，则)(x f 在),0(2x 上为减函数，在),(2+∞x 上为增函数。

（Ⅱ）由已知x ax x x g ln )(2
++=，2ln 3)(2
-++-=x ax x x F ，
则x ax x x a x x F 3
232)(2++-=++-='，
2
121216
)()2(
x x a x x x x F ++++-=+'………………①
又02ln 31121=-++-x ax x ，02ln 3222
2=-++-x ax x 两式相减有
0ln 3))((212121=--+-x x a x x x x ，则2
12
1
21ln
3x x x x a x x -=-+代入①有
21216)2(x x x x F +=+'2
121
ln
3x x x x --
))(2(ln 321122112x x x x x x x x +-+-= )2(21x x F +'}1)
1(2{ln 32
1
2
1
2
112x x x x x x x x +-
+-=，令,21x x t =则)1,0(∈t
t
t t t h +-+=1)
1(2ln )(，0)1()1()1()41)(2
22≥+-=+-+='t t t t t t h 则)(t h 在)1,0(上为增函数，则有0)1()(=<h t h ，又03
12>-x x 则12()2
x x F '＋＜0。