20届高考数学一轮复习讲义(提高版) 专题8.2 基本不等式(原卷版)

8.2 基本不等式
一.基本不等式：ab ≤
a ＋b
2
(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号. (3)其中
a ＋b
2
称为正数a ，b 的算术平均数，ab 称为正数a ，b 的几何平均数.
二．几个重要的不等式 (1)a 2
＋b 2
≥2ab (a ，b ∈R)． (2)b a ＋a b
≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R)．
(4)
a 2＋
b 22
≥⎝
⎛⎭
⎪⎫a ＋b 22
(a ，b ∈R)． 以上不等式等号成立的条件均为a ＝b . 三．算术平均数与几何平均数 设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b
2
，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均
数不小于它们的几何平均数． 四．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则
(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值p 2
4
.(简记：和定积最大)
考向一 直接法
【例1】（1）若x ＞0，则x ＋2x
的最小值是( )
A ．2
B ．4 C. 2 D ．2 2
（2）.设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( )
A.80
B.77
C.81
D.82
【举一反三】
1.已知0＜x ＜4，则x (4－x )取得最大值时x 的值为( ) A ．0
B ．2
C ．4 D.6
2.若x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A.9 B.18
C.36
D.81
3.若x <0，则x ＋1
x
( )
A.有最小值，且最小值为2
B.有最大值，且最大值为2
C.有最小值，且最小值为－2
D.有最大值，且最大值为－2
考向二 配凑法
【例2-1】（1）设0<x <3
2，则函数y ＝4x (3－2x )的最大值为________.
(2)已知x <54，则f (x )＝4x －2＋1
4x －5的最大值为______.
【例2-2】函数y ＝x 2＋2
x －1
(x >1)的最小值为________．
【举一反三】
1. 已知0<x <1，则x (4－3x )取得最大值时x 的值为________．
2.若函数f (x )＝x ＋1
x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( ) A.1＋ 2 B.1＋3
C.3
D.4
3.函数y ＝
x －1
x ＋3＋x －1
的最大值为________．
考向三 常数替代法
【例3】（1）已知x >0，y >0，且1x ＋2
y
＝1，则x ＋y 的最小值为________．
(2)已知正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则
4x ＋2＋1
y ＋1
的最小值为________． 【举一反三】
1.若a ，b ，c 都是正数，且a ＋b ＋c ＝2，则4a ＋1＋1b ＋c
的最小值是________．
2.函数y ＝a
1－x
(a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －1＝0上，且m ，n 为正数，则1m ＋1
n
的
最小值为________.
3．已知1,0,2a b a b >>+=，则
1112a b
+-的最小值为（ ）
A ．
3
2
+ B ．342+
C ．3+
D ．
123
+
考向四 基本不等式积(ab )与和(a ＋b )的转化
【例4】正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是________.
拓展：本例已知条件不变，求a ＋b 的最小值.
【举一反三】
1.若a >0，b >0且2a ＋b ＝4，则1
ab
的最小值为( )
A.2
B.12
C.4
D.14
2.若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值为________.
考向五 消元法
【例5】已知正实数a ，b 满足a 2
－b ＋4≤0，则u ＝2a ＋3b a ＋b 的最小值为________．
【举一反三】 1．若正数a ，b 满足111a b +=，则1911
a b +--的最小值为（ ） A ．6
B ．9
C ．12
D ．15
2．若正数x y 、满足40x y xy +-=，则
4
x y
+的最大值为（ ） A ．25
B ．
49 C ．
12
D ．
47
考向六 实际运用
【例6】某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为C (x )，当年产量不足80千件时，C (x )＝13x 2＋10x (万元)．当年产量不小于80千件时，C (x )＝51x ＋10 000
x －1 450(万元)．每件
商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完． (1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (千件)的函数解析式； (2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？
【举一反三】
1.运货卡车以每小时x km 的速度匀速行驶130 km ，按交通法规限制50≤x ≤100(单位：km/h)．假设汽油的
价格是每升2元，而汽车每小时耗油⎝ ⎛⎭
⎪⎫2＋x 2
360升，司机的工资是每小时14元．
(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；
(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．
考向七 不等式与其他知识综合
【例7】（1）已知m ，n 为正实数，向量a ＝(m,1)，b ＝(1－n,1)，若a ∥b ，则1m ＋2
n
的最小值为________．
（2）已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧
x －y ≥0，x ＋2y ≥0，
2x －y －2≤0，
且目标函数z ＝ax ＋by (a ，b ＞0)的最大值为4，则4a ＋2
b
的
最小值为________．
【举一反三】
1．已知函数f (x )＝e x 在点(0，f (0))处的切线为l ，动点(a ，b )在直线l 上，则2a ＋2－b
的最小值是________．
2．已知21
0,0,1,x y x y
>>+=且
若222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（） A ．(,2)[4,)-∞-⋃+∞B ．(,4)[2,)-∞-+∞C ．(-2,4)
D ．(-4,2)
3．已知双曲线221(,0)x y m n m n -=>和椭圆22
154
x y +=有相同的焦点，则14m n +的最小值为（）
A ．2
B ．4
C ．6
D ．9
1．已知正数a ，b 满足a ＋b ＝1，则4a ＋1
b
的最小值为________．
2.若实数x ，y 满足xy ＋3x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <12，则3x ＋1y －3的最小值为________．
3．圆224210x y x y ++--=上存在两点关于直线()2200,0ax by a b -+=>>对称，则14
a b
+的最小值为。

4．已知0x >，0y >，且280x y xy +-=，若不等式a x y ≤+恒成立，则实数a 的范围是。

5．已知向量()()()21
,1,21,30,0,//,m a n b a b m n a b
=-=->>+若则的最小值为。

6．若实数x ，y 满足221x y xy ++=，则x+y 的最大值是。

7．设0,0a b >>，若3是a 3与b 3的等比中项，则
14
a b
+的最小值为.
8．已知0x >，0y >，lg 2lg8lg 2x y
+=，则113x y
+的最小值是。

9．设变量x ，y 满足约束条件2302401x y x y y --≥⎧⎪
--≤⎨⎪≥⎩
，若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最小值为1，则
11
2a b
+的最小值为。

10．正实数x 、y 满足22424x y xy +-=，则2x y +的最大值是。

11．若正数a b ，满足4310a b +-=，则11
2a b a b
+++的最小值为。

12．已知1(0,)4
x ∈,则(14)x x -取最大值时x 的值是。

13．已知正实数x ，y 满足2x y xy +=，则x y +的最小值为______.
14．已知0, 0, 223x y x y xy >>++=，则2x y +的最小值为_____．
15．设实数x,y 满足条件{4x −y −10≤0
x −2y +8≥0x ≥0, y ≥0 ，若目标函数z =ax +by(a >0, b >0)的最大值为12，则2a +3
b
的最小值为__．
16．函数24
()(0)x x f x x x
-+-=>的最大值为______,此时x 的值为______.
17．若0,0,25a b a b >>+=，则ab 的最大值为________.
18．已知0xy >，则9x y y x
+的最小值为_______．
19．若4x >，1y >，且124xy x y =++，则x y +最小值是_____．
20．已知正数a ，b 满足22ab a b =+，则8a b +的最小值是__________．
21．已知正项等比数列{}n a 满足5432a a a +=，若存在两项m a ，n a ，使得1a =，则91
m n
+的最小值为__________．
22．设x ,y 满足约束条件360200,0
x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩
,若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为12,则23
a b +的最
小值为______．
23．设0x >，0y >，24x y +=，则(1)(21)
x y xy
++的最小值为__________.
24．已知0,0,lg 2lg 4lg 2x y x y >>+=，当x =______________.时，1141
x y ++取得最小值.
25．已知x ，y 0>，且满足x y 1+=，则19
x y
+的最小值为__________．。