高斯消去法变形jg17

i 1
tik lik d k

对于i 1, 2, , n, 有
i 1 di aii tik lik ; k 1 i 1 l (a t l ) / d ( j i 1, , n). ik jk i ji ji k 1
对称正定矩阵A按LDL lik yk ) / lii xi ( yi
k i 1
l
ki k
x ) / lii
由于A的对称性，平方根法的乘除运算量为n3 / 6数量 级，约是Gauss消去法的一半。上机计算时，所需存储单 元也少，只要存储A的下三角部分和右端项b，计算中L存 放在A的存储单元，y, x存储在b的存储单元。 但这种方法在求L时需作n次开方运算，这样又增加了 计算量。
T T
量差不多，但LDL 分解不需要开方计算。
T
求解Ly b, DL x y计算公式
T
y1 b1 ; i 1 yi bi lik yk (i 2, , n). k 1 xn yn / d n ; n xi yi / di lki xk (i n 1, , 2,1). k i 1
LDP AT PT DLT 故 A LU 由LU 分解的唯一性 PT L A PT DP
定理证明（2）
由于A是对称正定的,其顺序主子式均大于零。故 u11 D1 0, uii Di / Di 1 0 (i 2, 3, , n) 令 D diag ( u11 , , unn )
定理证明（1）
证：因A对称正定，其各阶顺序主子式均大于零，故有 A LU 其中L为单位下三角矩阵，U 为上三角阵。 令D diag (u11 , , unn ), P D 1U , 则P为单位上三角阵。 u11 u12 u1n u11 u22 u22 U unn u1n u12 1 u u 11 11 DP un 1,n un 1,n 1 unn 1
定理：设三对角方程组系数矩阵满足下列条件： b1 c1 0 bi ai ci b a 0 n n 则它可分解为 1 u1 c1 l 1 u2 c2 2 A LU l3 1 cn 1 ln 1 un 其中ci (i 1, 2, , n 1)为已给出的，且分解是唯一的 ai ci 0(i 2,3, , n 1)
为了避免开方，可使用改进的平方根方法。
改进平方根法
1 l T 21 A LDL ln1 d1 1 d2 ln 2 1 1 l21 ln1 1 ln 2 1 0 ( j k ),由比较法得 dn
三、追赶法
在数值计算中，如三次样条插值或用差分方法解常微分方 程边值问题，常常会遇到求解以下形式的方程组 b1 c1 x1 d1 a b c x d 2 2 2 2 2 ai bi ci xi di 简记 Ax d . an 1 bn 1 cn 1 xn 1 d n 1 an bn xn d n 此系数矩阵的非零元素集中分布在主对角线及其相邻两次对角线 上，称为三对角矩阵。方程组称为三对角方程组。
得
1 j 1 l jj ( a jj l 2 ) 2 ( j 1, 2, , n), jk k 1 j 1 l (a lik l jk ) / l jj (i j 1, , n); ij ij k 1 0
这里规定 0。计算顺序是按列进行，即
n
x

3,
x
2
14.
如果R 中两个范数 和 ，存在实数
'
m, M 0，使得对任意n维向量x, 都有 m x x M x ，
'
则称这两个范数是等价的。 对两个等价范数而言，同一向量序列有 相同的极限。
不难证明， 1－范数，－范数和－范数是等价的。 2 例： x 设 x 则 x
n
为实数，故有 x y

max xi yi max xi yi
1i n
max xi max yi x y
1i n 1i n
1i n

例：计算向量x (1, 2, 3)T 的各种范数。 解： x 1 6,

其中l jj 1, l jk
对于i 1, 2, , n, 2 di aii lik d k ; k 1 i 1 l (a l d l ) / d ( j i 1, , n). jk k ik i ji ji k 1 上式虽避免了开方运算，但增加了相乘因子，引进变量
二、矩阵的范数
定义：对任意n阶方阵A，按一定的规则由一实 数与之对应，记为 A 。若 A 满足 1, 2, 3, 4， A 0 , 且 A 0当且仅当 A 0; (正定) (齐次)
A
A , 为任意实数
平方根(Cholesky分解法）法
0 0 l11 l12 l11 l l22 0 l22 由A LLT 21 0 ln1 ln 2 lnn 0 其中lii 0 (i 1, 2, , n). 由矩阵乘法及l jk ln1 ln 2 0 lnn 0 (当j k时),
§4.高斯消去法的变形 二、平方根法
工程实际计算中，线性方程组的系数矩阵常常具有对 称正定性，即其各阶顺序主子式及全部特征值均大于零。 矩阵的这一特性使它的三角分解也有更简单的形式，从而 导出一些特出的解法，如平方根法与改进的平方根法。
定理：设A是对称正定矩阵，则存在唯一的非 奇异下三角阵L, 使得 A LLT 且L的对角元素皆为正。
T T
T D DD
T DP ( DP )T DP LLT 则 A P DP P D )T 为非奇异下三角阵,且对角元素皆为正数。 其中L ( DP 唯一性：假定存在非奇异下三角阵G L, 其对角元 素皆为正数，且使得 A LLT GG T 于是有 LT (G T ) 1 L1 LLT (G T ) 1 L1GG T (G T ) 1 L1G 因 LT (G T ) 1为上三角阵，L1G为下三角阵，故由上式得 LT (G T ) 1 L1G I 即G L, 与假设矛盾。
§5.向量和矩阵的范数
一、向量范数
向量范数定义: 设对任意向量x R n , 按一定的规则有一实数 与之对应,记为 x , 若 x 满足 1, 2, 3, 则称 x 0 , 且 x 0当且仅当 x 0; (正定) (齐次)
x
x , 为任意实数
x y x y , 对任意x, y R n (三角不等式) x 为 向量x的范数
定理证明（1）
将上式右端按乘法规则展开,并与A进行比较,得 b1 u1 ai li ui 1 (i 2,3, , m) b c l u i 1 i i i 如果ui 0 (i 1， , m)，则由上式可得 2, u1 b1 li ai / ui 1 (i 2,3, , m) u b c l i i 1 i i
定理证明（3）
由于A满足定理所给条件，显然有 u1 b1 0. 又因为 b1 c1 , b2 a2 c2 , 于是 b1b2 b1a2 b1c2 c1a2 b1c2 从而有 b1b2 c1a2 b1b2 c1a2 b1c2 c1a2 u2 b2 c2 u1 b1 b1 b1 故u2 0且矩阵A(2)仍满足定理条件。依此类推可得出
k 1
l11 li1 (i 2, 3, , n) l22 li 2 (i 3, , n) 。
当矩阵A完成平方根分解后，求解Ax b，即求解两个 三角形方程组 (1)Ly b, 求y;
i 1 k 1 n
（2）LT x y，求x. (i 1, 2, , n). (i n, n 1, ,1).
向量范数例
x 2 = x ++ x = (
2 1
2 n
n ∑ i =1
x )
2 i
1 2
x ∞ = max{ x1 , , xn } = max{ xi } 1≤≤ i n
x
x

1
x
1

n
x
p
n

i 1
n
x
i
p
xi i 1

1/ p
,
可验证上面范数均满足范数定义的条件。 以-范数为例: 满足条件1,2显然。 由于x, y R 为向量，而其分量xi , yi (i 1, , n)
定理证明（2）
按Gause消去法步骤易得，经k 1次消元后，三对 角方程的系数矩阵变为 u1 c1 uk ck (k ) A ak 1 bk 1 ck 1 an 1 bn 1 cn 1 an bn 其中uk bk ck 1ak / uk 1 (k 2,3, , n)。
ui 0 (i 1, 2, , n)。因此由上面公式唯一确定了L和U。
追赶法的计算公式
u1 b1 A LU 分解公式： li ai / ui 1 (i 2,3,, m) u b c l i i i 1 i y1 d1 解Ly d 得： yk d k lk yk 1 (k 2,3, , n) xn yn / un 再解Ux y得: xk ( yk ck xk 1 ) / uk (k n 1, n 2,,1) 追赶法的基本思想与Gause消去法及三角分解法相同,只 是由于系数中出现了大量的零,可使计算公式简化,减少了计 算量。可证,当系数矩阵为严格对角占优时,此方法具有良好的 数值稳定性。
2 2 max xi x12 x2 xn x 2 .
x j max xi .
1i n
1i n
xj x
2
x2 x x x n n
2 1 2 2 2 n

2 n 2－范数和－范数等价。
x

x
如不作说明，今后 是指任意一种向量范数。