高中数学人教版A版精品试卷《(人教版A版2017课标)高中数学必修第一册 第三章综合测试02》

第三章综合测试
答案解析
一、 1【答案】D 2【答案】D 3【答案】A 4【答案】B 5【答案】B 6【答案】C 7【答案】A 8【答案】C 9【答案】C
【解析】因为函数()f x 满足对任意的,m n （,m n 为正整数）都有()()()f m n f m f n +=⋅且(1)2f =，所以
(1)()(1)f m f m f +=⋅，变形可得
(1)(1)2()f m f f m +==，所以(2)(3)
(2020)
2019(1)4038(1)(2)
(2019)
f f f f f f f +++
==
10【答案】B
【解析】当10t -≤＜时，2122t S =-，
所以图像是开口向下的抛物线的一部分，抛物线顶点坐标是10,2⎛⎫
⎪⎝⎭；当0t ＜时，2122t S =+，图像是开口向上的抛物线的一部分，10,2⎛⎫
⎪⎝⎭
中的图像满足要求
11【答案】B 【解析】
()()
0f x f x x --＜可变成()()0,0,f x f x x --⎧⎨⎩＞①＜或()()0,
0,
f x f x x --⎧⎨
⎩＜②＞
()f x 是奇函数，在(0,)+∞上是增函数， ∴在(,0)-∞也是增函数
又(2)0f =，(2)(2)0f f ∴-=-=
∴不等式组①变成()0(2),
0,f x f x =-⎧⎨⎩＞＜解得20x -＜＜；
不等式组②变成()0(2),
0,f x f x =⎧⎨⎩
＜＞解得0x ＜＜2，
∴原不等式的解集是(2,0)(0,2)-⋃
12【答案】A
【解析】
函数(1)y f x =+为偶函数，∴()f x 的图象关于直线1x =
对称
对任意()1212,[1,)x x x x ∈+∞≠都有
()()2121
0f x f x x x --＞∴函数()f x 在[1,)+∞上单调递增，在(,1)-∞上单调递减(1)(2)f a f a -≥，
1121,11a a a ∴---∴-≥≤≤
二、 13【答案】4 14【答案】1 15【答案】[0,4] 16【答案】(1,3)
【解析】当3x ＜时，22()6(3)99f x x x x =-+=--+≤，()f x 在(,3)-∞上递增，
由(
)
2
2(34)f x x f x --＜，可得2234,343,x x x x ⎧--⎪⎨-⎪⎩＜≤或223,
343,
x x x ⎧-⎪⎨-⎪⎩＜＞解得
1473x x ⎧⎪
⎨⎪⎩
＜＜≤或13,
7,3x x -⎧⎪⎨
⎪⎩＜＜＞即713x ＜≤或7
33
x ＜＜，即13x ＜＜，即有解集为(1,3)，故答案为(1,3) 三、
17【答案】解：（1）当1
2
a =
时，1()2,[1,)2f x x x x =++∈+∞，设12,[1,)x x ∀∈+∞且12x x ＜，则
()()()21121212121211022x x f x f x x x x x x x x x ⎛⎫
--=-+
=-- ⎪⎝
⎭＜，()()12f x f x ∴＜，()f x ∴在[1,)+∞上单调递增，min 7()(1)2
f x f ∴==
（2）解：22()0x x a
f x x ++=
＞对[1,)x ∈+∞恒成立，即22a x x --＞恒成立 22y x x =--在[1,)+∞上最大值为3-，3a ∴-＞
（3）解：当0a ≤时，()2a
f x x x
=+
+，为增函数；当01a ＜≤
时，()f x 在[1,)+∞上为增函数；当1a ＞时，()f x
在
上为减函数，在)+∞上为增函数 18【答案】（1）解：同意小鹏同学的看法理由如下：
2()3f a a =+，2()43f a a a -=-+，若()f x 为奇函数，则有()()0f a f a +-=，2230a a ∴-+=，显然
2230a a -+=无解，()f x ∴不可能是奇函数
（2）解：若()f x 为偶函数，则有()()f a f a =-，则由（1）得0a =，从而0a =，此时2()23f x x x =-+是偶函数
（3）解：由（2）知2()23f x x x =-+，其图像如图所示，其单调递增区间是[1,0]-和[1,)+∞
19【答案】（1）当010x ＜≤时，22()0.1 2.6430.1(13)59.9f x x x x =-++=--+，故()f x 在010x ＜≤时最大值为
2(10)0.1(1013)59.959f =-⨯-+=当1016x ＜≤时，()59f x =当16x ＜≤30时，()f x 为减函数，且()59f x ＜因
此，开讲10分钟后，学生接受能力最强（为59），能维持6分钟的时间
（2）2(5)0.1(513)59.953.5f =-⨯-+=，(20)3201074753.5f =-⨯+=＜故开讲5分钟时学生的接受能力比开讲2021时要强一些
2021案】（1）解：由已知，得2
(2)22f m n
=
=+①
由()2f x x =有一个根为12，得11222f ⎛⎫
⨯= ⎪⎝⎭
，
即
11
2
211
2
2
m n =⨯
=+② 由①②，可得13
m n ==
（2）解：由（1）可得3()1
x
f x x =
+， 1
31333()31111
1x x x f x f x x x x x
⋅
⎛⎫∴+=+
=+= ⎪+++⎝⎭+ 111111(2)(3)(4)(5)(2)(3)234523f f f f f f f f f f f f ⎡
⎤⎡
⎤⎛⎫
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+++++
++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣
⎦⎣
⎦
11(4)(5)341245f f f f ⎡
⎤⎡⎤
⎛⎫⎛⎫++++=⨯= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦
21【答案】（1）解：依题意得(0)0,12,25f f =⎧⎪⎨⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎩即20,
1022,1514b
a b =+⎧⎪⎪
⎪
⎨+=+⎪⎪
⎪⎩
解得1,0.a b =⎧⎨=⎩所以2
()1x f x x =+ （2）证明：任取1211x x -＜＜＜
，则()()()()()()
121212
122222
1212
11111x x x x x x f x f x x x x x ---=-=++++ 因为1211x x -＜＜＜
，所以120x x -＜，2110x +＞，2
210x +＞ 又1211x x -＜＜
，所以1210x x -＞ 所()()120f x f x -＜所以()f x 在(1,1)-上是增函数 （3）解：原不等式即(1)()()f t f t f t --=-＜
因为()f x 在(1,1)-上是增函数，所以111t t ---＜＜＜，解得102t ＜＜所以原不等式的解集为1|02t t ⎧
⎫⎨⎬⎩
⎭＜＜
22【答案】（1）解：对任意非零实数12,x x 恒有()()()212,f x x f x f x =+，∴令121x x ==，代入可得(1)0f =再令121x x ==-，代入并利用(1)0f =，可得(1)0f -=
（2）解：取121,x x x =-=，代入得()()f x f x -=，又函数的定义域为(,0)(0,)-∞⋃+∞，∴函数()f x 是偶函数 （3）解：任取12,(0,)x x ∈+∞，且12x x ＜，则
2
1
1x x ＞， 由题设有2
10x
f x ⎛⎫
⎪⎝⎭
＜， ()()()()()2222111111110x x x f x f x f x f x f f x f x f x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
∴-=⋅-=+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
＜，
()()21f x f x ∴＜，即函数()f x 在(0,)+∞上为减函数又由（2）知函数()f x 是偶函数，3()02f x f x ⎛
⎫∴+- ⎪⎝⎭≤可
转化为3(1)2f x x f ⎡⎤
⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦≤，即可得
312x x ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭≥，解得12x -≤或2x ≥，
∴解集为1,[2,)2⎛
⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝
⎦。