第六章 应力状态分析

1(
3
1+
2
+
3
)
图b
3 -m 图c
单元体的体积改变比能 为:
1- 2
6E
1
+
2
+3
2
形状改变比能或畸变能密度:
1+
6E
1 + 2 2 + 2 + 3 2 + 3 + 1 2
§6-8 应用举例
例题5-1 已知应力状态如图中所示。试： 1.写出主应力 1 、 2 、 3 的表达式；
2时.若针已方知向σ旋x=转63θ.7=M12p0a0，后τ至xy=x‘7、6.4yM’，p求a，当坐 x标' 、轴 yx 、、yxy逆
问题：（1）用什么模型描述一点处的应力状态？（2）如 何确定任一个方向面上的正应力与切应力？
§6-1 一点处应力状态描述及其分类
单元体或称微元： 构件内的点的代表物，是包围被研究点的无限小的几何体，通常 用正六面体微元。一旦确定了微元三对互相垂直面上的应力，过这一点任意方向面上的 应力均可由平衡方法确定。进而，还可以确定这些应力中的最大值和最小值以及它们的 作用面。因此，一点处的应力状态可用围绕该点的微元及其三对互相垂直面上的应力来 描述。在选取代表一点的微元时，应该尽量使其三对互相垂直面上的应力为已知的或容 易由基本变形下的应力公式算出的。
1
3
II 2
xy
3
O
II
1
x
平行于2的方向面－其上之应力与2无关. 由1 、 3可作出应力圆II
2
III 1 3
xy
II
I
3 2
O
III
1
x
平行于3 的方向面－其上之应力与3 无关 由1 、 2可作出应力圆 III
2. 三向应力状态的应力圆
xy
3
2
O
1
x
1 2 3
3. 一点处的最大切应力
2 xy
若把平面应力状态看成三向应力状态，根据主平面的定义，另外一个没有应力作用的平面亦为
主平面，只不过这一主平面上的主应力为零。平面应力状态的三个主应力分别为
x + y + 1 22
x - y
2
+
4
2 xy
x + y - 1 22
x
- y
2
+
4
2 xy
0
、 可能为正值也有可能为负值。
微元局部的平衡方程
平衡对象
——用 斜截面截取的微
y´
元局部
参加平衡的量
——应力乘以其作用的 面积
x
x'y'
x´
x'
xy dA
平衡方程——
yx
Fx 0 Fy 0
y
Fx 0
x´ dA - x (dA cos) cos + xy(dA cos ) sin +yx (dA sin ) cos
y
+z
y
1 E
y
- z
+x
z
1 E
z
-
x
+ y
xy
xy
G
xz
xz
G
yz
yz
G
主应力 --- 主应变关系
1
1 E
1
-
2
+
3
2
1 E
2
-
3
+
1
3
1 E
3
-
2
+
1
平面应力状态下的应力---应变关系:
z yz zx 0
x
1 E
x
- y
y
1 E
y
- x
z
-
E
x
方向面：在空间中以某个方向为外法线的平面，称为方向面 。过同一点有无穷个不同方向面。
应力的点和面的概念：本章可以证明，过同一点的不同方向 面上的应力，一般情形下也是不相同的。因此，当提及应力时 ，必须指明"哪一个面上的哪一点或哪一点的哪一个方向面"上 的应力。此即"应力的点和面的概念"。
应力状态的概念：所谓"应力状态"又称为一点处的应力状 态，是指过一点不同方向面上应力的集合。
- y (dA sin ) sin 0
x
x'y'
x´
x'
xy dA
yx
y
Fy 0
-x´y ´ dA +x (dA cos ) sin +xy (dA cos ) cos - yx (dA sin ) sin
- y (dA sin ) cos 0
x
ｙ
x'y' xx''
xy dAA
yx
y
x´
dA
-
x
(
dA
cos
)
cos
+
xy
(
dA
cos
)
sin
- y (dA sin ) sin 0
-x´y ´ dA +x (dA cos ) sin +xy (dA cos ) cos
- yx
( dA
sin
)
sin
- y
( dA
sin
)
cos
0
x' x cos2 + y sin2 - xy sin cos - yx sin cos
➢应力圆和微元相互对应：点→方向面，点的坐标（σ，τ）→方向面上 的应力（ x ,）xy， 夹角2倍，转向相同，应力圆与σ轴的交点即为主应 力 、，应力圆半径即为最大切应力值。
➢互垂面上的切应力为切应力互等定律确定： - ； 任意两个互垂面上的
正应力之和等于常数。
➢广义虎克定律是实验力学的理论基础。
•倍角对应 应力圆上半径转过的角度等于坐标 轴旋转角度的2倍。
3.应力园的画法
y
yx
B
A
xy
x
x'y'
O
c
b(y ,yx)
a(x ,xy) x'
主平面与主方向
y P xy
E B
x
P
yx
x'y'
e
oc
d
a
2p x'
b
主平面： = 0,与应力圆上和横轴交点对应的面
y P xy
E
D
x
B
A
三向（空间）应力状态
平面（二向） 应力状态
y
y
x
xy x
x z
y
yx xy
x
y
y
x x
y
yx xy
x
单向应力状态
纯剪应力状态
三
平
向
面
应
应
力
力
状 特例 状 特例
态
态
单向应力状态 纯剪应力状态
§6-2平面应力状态的应力坐标变换即解析法
规定： 与截面外法线同向为正； 绕研究对象顺时针转为正； 逆时针为正。
例题5-2 三向应力状态如图所示，图中应力单位为 Mpa。试求主应力以及微元内的最大切应力。
例题5-3 图a所示为承受内压的薄壁容器。为测量容器所承受的内压 力值，在容器表面用电阻应变片测得环向应变εt=350×10-6。若已知 容器平均直径D=500mm，壁厚δ=10mm，容器材料的E=210Gpa， ν=0.25。试求：
cos 2
- xy sin 2
x'y' x sin cos - y sin cos + xy cos2 - yx sin2
x'y'
x
- y 2
sin 2
+ xy cos 2
设 x' 取极值时的夹角为 p ，则由 d x 相差90度的两个 p 即两个方向面，代入 x' y'
/ d 0 得到 tg2 p -2 xy /( x -
在三组特殊方向面中都有各自的面 内最大切应力,即：
xy
O
1 2 3
1 -2
2
2 - 3
x
2
1 - 3
2
max
1
-
2
3
§6-6各向同性材料在一般应力状态下的应力一应变关系
y
y
x
z
z
xy
x
依叠加原理,得:
x
x
E
- y
E
- z
E
1 E
x
-
y
+z
x
1 E
x
-
y
负号表示顺时转向
x'y'
对应应力圆上的最高点的 面上切应力最大，称为“
面内最大切应力”。
c o x'
- 1
2
2
x - y
2
+
4
2 xy
§6-5 三向应力状态的特例分析
2
1 3
1. 三组特殊方向面
xy 2
I 3
I
3 2
x
平行于1 的方向面－其上之应力与1无关 由2 、 3可作出应力圆 I
x'y'
O
R 1 2
x - y
2
+
4
2 xy
R
x'
x + y
2
2.几种对应关系
•点面对应 应力圆上某一点的坐标值对应着微 元某一方向面上的正应力和切应力 值。
• 转向对应 应力圆半径旋转时，半径端点的
坐标随之改变,对应地，微元坐标轴 亦沿相同方向旋转，才能保证某一 方向面上的应力与应力圆上半径端 点的坐标相对应。
引言
铸铁
低碳钢
韧性材料拉伸时为什么会出现 滑移线？
低碳钢
铸铁
为什么脆性材料扭转时沿45º螺 旋面断开？
回顾内力计算分析与应力计算分析的结果表明，一般情形 下，杆件不同横截面上具有不同的内力，同一横截面上不同点 的应力也是不相同的。对于脆性材料的压缩或扭转（低碳钢的 压缩或粉笔的扭转），断裂破坏时不是在横截面而是沿着斜截 面破坏的，这表明我们有必要去研究斜截面上的应力。
1.导出容器横截面和纵截面上的正应力 表达式；
2.计算容器所受的内压力。
小结
➢ 一点的应力状态分析是对构件进行强度计算的基础。研究一点的应力 状态的力学模 型是微元，截取微元时，常取其中两个截面为横截面。
➢分析一点的平面应力状态有应力坐标变换公式与应力圆，应用时都必须 已知过该点 的任意两个截面（通常为一对互垂截面）上的应力值。
可得这两个方向面上的切应力 (
y p)
)
，可以求出
0。
那么定义：表示一点应力状态的微元中存在一种特殊的方向面，其上的切应力等于零，这种方
向面称为主平面。主平面上的正应力称为主应力。主平面的法线方向称为主方向。
两个主平面分别对应最大和最小正应力为
max min
(
x
+
y)/2
(
x
- 2
y
)2
+
➢ 应变的密度包含体积改变应变能密度与畸变能密度，在弹塑性理论中 有广泛应用。
x
- y
2
+
4
2 xy
当一点处应力状态中的主应力和主方向确定之后，也可以
用主应力作用的微元表示这一点的应力状态。当然，这时的微
元都是相对初始坐标轴(x，y)转过主方向角 P 的形式。用主应
力表示一点处的应力状态可以说明某些应力状态表面上是不同
的，但如果其主应力和主方向都相同那么实质是相同的。
§6-4 类比法的应用——应力圆
x'y' x sin cos - y sin cos + xy cos2 - yx sin2
§6-3 主应力、主方向与面内最大切应力
1. 主平面、主应力和主方向
x' x cos2 + y sin2 - xy sin cos - yx sin cos
x'
x
+y 2
+x
- y 2
而且 tg2 S -1/ tg2 P 可见最大最小切应力平面与主平面
的夹角为45度。 两个方向面分别对应最大和最小剪应力为
max min
(
x
-
2
y
)2
+
2 xy
它们分别对应于垂直于零主应力面的一组方向面内切应力最大
者和最小者，故这种切应力称为面内最大切应力，其值为
3. 应力状态的主应力表示
- 1 22
G
E
21 +
对于绝大多数各向同性材料，泊松比一般在0~0.5之间取值， 因此E/2 G E/3。
§6-7一般应力状态下的应变能密度
2
2 -
1
+
1 -
3
3 -
1 3
1
+2
+3
1
u
1
2
11+
1
2
2
2
+
1
2
3
3
2
1 2E
2 1
+
2 2
+
2 3
-2
1
2
+
3
2
+
1
3
3
m
图a
1 -m
m
2 -m
m
m
+ y
xy
xy
G
体积应变与应力分量间的关系
V a1a2a3
V1a1(1+1)a2 (1+ 2 )a3 (1+3 )
体积应变：
V1-V V
1+
2
+
3
体积应变与应力分量间的关系:
1
+
2
+3
K
1 3
( 1
+
2
+3)
K E 3(1 - 2 )
各向同性材料各弹性常数之间的关系
对于同一种各向同性材料，广义胡克定律中的三个弹性常数 并不完全独立，它们之间存在下列关系：
1、应力圆
y
x
y
xy
x
x
+ y
2
+
x
-
2
y
cos2
- xy
sin
2
xy
x
-
2
y
sin
2
+
xy
cos2
Ox
x
y
y
Ox
x'
xyx'y'
y´
对上述方程消去参数（2 ），得：
x
-
x
+
2
y
2
+
2 xy
x
-
2
y

2
+
2 xy
x´ 此方程曲线为圆—应力圆（或莫尔圆，
由德国工程师：Otto Mohr引入）
P
yx
x'y'
e
o
d
a
2p x'
cb
主应力：主平面上的正应力
主应力表达式