人教A版高中数学选修2-1课件2.2.2

图2－2－4 思维突破：解答本题可先确定点M的坐标，再利用 Rt△F1F2M的性质求a，b，c的关系，进而求出离心率．
自主解答：设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为 a， b，c.
则焦点为 F1(－c,0)，F2(c,0)，点 M 的坐标为c，23，b， 在 Rt△MF1F2 中，|F1F2|2＋|MF2|2＝|MF1|2， 即 4c2＋49b2＝|MF1|2. 而|MF1|＋|MF2|＝ 4c2＋49b2＋23b＝2a， 整理，得 3c2＝3a2－2ab.
高中数学课件
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2．2．2 椭圆的简单几何性质
1．了解椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、长轴 长和短轴长)． 2．理解离心率e的定义及取值范围． 3．掌握标准方程中的a，b，c，e的几何意义，及a，b，c， e间的相互关系．
1
．
椭
圆
x2 a2
＋
y2 b2
＝
1(a>b>0)
长
轴
长
图 D5
【变式与拓展】 2．求与椭圆4x2＋9y2＝36共焦点，且过点(3，－2)的椭圆 方程．
解：将椭圆 4x2＋9y2＝36 化为：x92＋y42＝1，故焦点为 F1(－ 5，0)，F2( 5，0)，又椭圆过点(3，－2)，而点(3，－2) 到 F1(－ 5，0)，F2( 5，0)的距离之和为：
【要点 1】观察椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)的形状，你能从图上 看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特 殊？
【剖析】通过观察可知－a≤x≤a，－b≤y≤b. 由方程xa2＋by22＝1(a>b>0)变形，得 by22＝1－ax22≥0，
∴ax22≤1，即－a≤x≤a. 同理有by22≤1，即－b≤y≤b. 椭圆关于 x 轴、y 轴都是对称的，坐标轴是椭圆的对称轴， 原点是椭圆的对称中心． 椭圆上与 x 轴、y 轴的四个交点比较特殊．
• 椭圆相关概念：长轴、短轴、焦距等
【变式与拓展】 1．求椭圆4x2＋9y2＝36的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点 坐标和离心率．
解：将椭圆方程变形为x92＋y42＝1， ∴a＝3，b＝2.∴c＝ a2－b2＝ 9－4＝ 5. ∴椭圆的长轴长和焦距分别为 2a＝6,2c＝2 5， 焦点坐标为 F1( 5，0)，F2(－ 5，0)， 顶点坐标为 A1(－3,0)，A2(3,0)，B1(0，－2)，B2(0,2)， 离心率 e＝ac＝ 35.
e＝ac(0<e<1)
置的判
分母哪个大，焦点在哪个轴上
断
4．椭圆的第二定义．
平面内与一个定点F的距离和一条定直线l的距离之比是
常数e(0<e&l如表.
标准方程
图形
准线
ax22＋by22＝1(a>b>0)
x＝±ac2
ay22＋bx22＝1(a>b>0)
y＝±ac2
3．椭圆的几何性质.
方程
ax22＋by22＝1(a>b>0)
ay22＋bx22＝1(a>b>0)
图形
不
同 点
范围 焦点
坐标
顶点
－a≤x≤a，－b≤y≤b F1(－c,0)，F2(c,0) A1(－a,0)，A2(a,0) B1(0，－b)，B2(0，b)
－b≤x≤b，－a≤y≤a F1(0，－c)，F2(0，c) A1(0，－a)，A2(0，a)
为
_2_a____
，
短
轴
长
为
__2_b___，焦距为_2__a_2_－__b_2；长半轴长为__a____，短半轴长为
___b_____，半焦距为__a_2_－__b_2_． 2．椭圆的焦距与长轴长的比，称为椭圆的__离__心__率__，记作
e＝22ac＝ac，∵a>c>0，∴e 的范围是__0_<_e_<_1______．
又 c2＝a2－b2，∴3b＝2a. ∴ba22＝49. ∴e2＝ac22＝a2－a2 b2 ＝1－ba22＝59.
∴e＝
5 3.
【变式与拓展】 3．从椭圆短轴的一个端点看长轴两端点的视角为120°，则 此椭圆的离心率e为( D )
A.
2 2
B.
3 2
C.12
D.
6 3
小结
• 椭圆的性质：范围、顶点、对称性、离心 率。
3＋ 52＋4＋ 3－ 52＋4＝ 15＋ 32＋ 15－ 32 ＝2 15，
∴2a＝2 15，a＝ 15，b2＝10，故椭圆方程为1x52 ＋1y02 ＝1.
题型3求椭圆的离心率 例3：如图2－2－4所示，F1、F2分别为椭圆的左、右焦 点，椭圆上点M的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于 短半轴长的23，求椭圆的离心率．
B1(－b,0)，B2(b,0)
续表
方程
ax22＋by22＝1(a>b>0)
ay22＋bx22＝1(a>b>0)
对称性 关于x轴、y轴成轴对称，关于坐标原点成中心对称
定义
相 同
a，b，c 的关系
点 离心率
焦点位
平面内到两(个大定于点|FF1F1，2|)的F2的点距的离轨的迹和等于常数 a2＝b2＋c2
自主解答：(1)若焦点在 x 轴上，则 a＝3，
∵e＝ac＝ 36， ∴c＝ 6.∴b2＝a2－c2＝9－6＝3. ∴椭圆的方程为x92＋y32＝1. 若焦点在 y 轴上，则 b＝3， ∵e＝ac＝ 1－ba22＝ 1－a92＝ 36， 解得 a2＝27. ∴椭圆的方程为2y72 ＋x92＝1.
(2)设椭圆方程为ax22＋by22＝1(a>b>0)． 如图 D5 所示，△A1FA2 为等腰直角三角形， OF 为斜边 A1A2 的中线(高)， 且|OF|＝c，|A1A2|＝2b， ∴c＝b＝4.∴a2＝b2＋c2＝32. 故所求椭圆的方程为3x22 ＋1y62 ＝1.
【要点 2】能否用 a 和 b 表示椭圆的离心率？ 【剖析】可以，由 e＝ac，又 c＝ a2－b2， 故 e＝ac＝ a2a－b2＝ 1－ba22.
题型1椭圆方程的基本计算问题
例 1：已知椭圆 x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率 e＝ 23，求 m 的值、椭圆长轴和短轴的长、焦点坐标和顶点坐标．
思维突破：解决本题的关键是确定 m 的值．先将方程化为 标准形式，用 m 表示 a，b，c，再由 e＝ac＝ 23，求 m 的值．
自主解答：椭圆方程可化为x2＋ m
y2 m
＝1，
m＋3
∵m－m＋m 3＝mmm＋＋32 >0，∴m>m＋m 3.
即 a2＝m，b2＝m＋m 3，c＝ a2－b2＝
m m＋2 m＋3 .
题型2由椭圆的几何性质求标准方程 例2：求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)椭圆过(3,0)，离心率 e＝ 36； (2)在x轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直， 且短轴长为8. 思维突破：解答本题要先确定椭圆的焦点位置，不能确定 的要分情况讨论，然后设出标准方程，再用待定系数法确定a， b，c.
由
e＝
3，得 2
mm＋ ＋23＝ 23，∴m＝1.
∴a＝1，b＝12，c＝
3 2.
∴椭圆的长轴长为 2，短轴长为 1；两焦点坐标分别为
F1－ 23，0，F2 23，0；四个顶点分别为 A1(－1,0)，A2(1,0)，
B10，－12，B20，12.