密封递价式及其他相关拍卖形式

第一部分:密封式递价拍卖的定义分类及特点
密封式递价拍卖的定义和概念：密封式递价拍卖又称“投标式拍卖”。

是由拍卖人事先公布拍卖标的物的相关情况、参加拍卖的条件和注意事项，竞买人均在规定的时间内将密封的标书递交至拍卖人指定的地点，由拍卖人在公告指定的时点公开开标。

经比较后选择出价最高者成交。

密封式竞价可以分为两种情形。

包括一级价格密封拍卖和二级价格密封拍卖.一级价格密封拍卖是说，每个人都对拍品单独报价，相互不知底细，填了标的封在信封里交上去，最后拍卖师拆开信封，出价最高者获胜,并按他的出价支付价格,拿走被拍卖的物品;二级价格密封拍卖与一级价格密封拍卖类似，唯一不同的是，最后出价最高的人获得拍品，但他无需付出自己所喊价格，只需要按照排位第二高的价格付钱就行。

和前边的两种方式(英格兰式与荷兰式)相比较, 有以下两个特点：一是除价格条件外，还可能有其他交易条件需要考虑：二是可以采取公开开标方式，也可以采取不公开开标方式。

拍卖大型设施或数量较大的库存物资或政府罚没物资时，可能采用这种方式。

第二部分:两种密封式竞价拍卖中投标
商竞价策略分析
2.1 第一价格拍卖中投标商的竞价行为
给定拍卖的七个基本假设:
1)单物品拍卖。

2）所有投标商及招标商都是风险中性的。

3）每个投标商对拍卖物及价值的估计是独立的，且这个估计值仅投标商
自己知道。

4）每个投标商具有对称性，即它们的估值的分布函数相同。

5）每个投标商的支付函数只与它的投标价有关。

6）投标商之间是非合作博弈。

7）卖主就是招标人，不存在交易费用。

上述模型通常称为“基准模型”。

在此模型基础上，我们对第一价格拍卖中投标商的竞价策略进行研究.
+ 设有 n个投标人参加投标，由对称性，各投标人在投标中的地位是等同的。

因此，不妨考察任一个投标人 i 的竞价策略。

设投标商 i 对拍卖品的估价 v取自区间 [ 0,1]，且估价为 v时，其密度函数和
分布函数分别为 f (v)和F (v)；b : [0,1]→ R为任一个投标商面对
的严格递增的竞价函数。

下面计算投标商 i的真实估价为 v，而他以任一估价 r 提出竞价 b (r)时他获得的期望收益。

首先当投标商 i提出的竞价高于其他所有投标商的竞价时，他才能获得拍卖品。

即对于所有的投标商 j ≠ i，当
b(r)≥b(v j)
时，投标商 i获胜。

由于 b (.)是严格递增的函数，因此当r ≥ v j 时，投标商 i 获胜。

又
p(r ≥ v j)=F n-1(r)
所以当投标商 i的真实估价为 v而他以任一估价 r 为基础提出竞价获胜后的期望收益为
u(r,v)= F n-1(r)(v-b(r)) (2.1) 由于竞价 b ( .)是一均衡竞价，所以当r = v时，投标商i最大化自身的
期望收益。

因此，对(2.1)式两端对r 求导得
du(r,v)
=(n-1)F n-2(r)f(r)( v-b(r))- F n-1(r) b‘(r) （2.2）dr
当r = v时，令(2.2)式等于零，整理可得
(n-1)F n-2(v)f(v)b(v))+ F n-1(v) b‘(v)= (n-1)F n-2(v)f(v)v (2.3) 又由于
dF n−1(v)b(v)
=(n-1)F n-2(v)f(v)b(v))+F n-1(v) b‘(v) (2.4) dv
将(2.4)式代入(2.3)式可得
dF n−1(v )b(v)dv =(n-1)F n-2(v)f(v)v
因此 F n−1(v )b(v)= (n-1)∫F n−2(x)f(x)xdx v 0+c (2.5) 其中，c 为常数。

由于当投标商的估价为零时其报价必定为零，所以 c =0。

由(2.5)式，可得最优报价为
b(v)=(n−1)∫F n−2(x)f(x)xdx v 0
F n−1(v )
=
∫xdF n−1(x)v 0F n−1(v )
从而得出结论: 如果 n 个投标商具有由共同分布 F 获得的独立的个人估价，则第一价 格拍卖的竞价为：
b(v)= ∫xdF n−1(x)v
0F n−1(v )
当 投 标 者 的 估 价 为 v 时 ， b (v)构 成 了 惟 一 的 一 个 第
一 价 格 拍 卖 的 对 称 性Nash 均衡。

上述贝叶斯纳什均衡是在基准模型的七个假定下得到的，如果某一假定不成立，比如博弈方之间不是相互独立的，他们中有合谋现象，则第一价格拍卖中的贝叶斯纳什均衡不一定存在，即使存在，和上述均衡竞价也不一定相同。

2.2 第二价格拍卖中投标商的竞价行为
在第二价格拍卖分析当中，不必要假设竞标者是对称的，竞标者可根据自身情况提出独立的私人估价。

考虑任一投标人 i 的竞价策略。

设投标人 i 对拍卖品的估价为v i ，
并设v 代表由其他人提出的最高竞价，即
max
V=v j
j=1,2,…,n,j≠i
由于竞价是密封的，投标人并不知道v的数值。

当且仅当v i＞v
时，投标人i才有可能赢得拍卖品，若赢得拍卖品，将为此拍卖品支付v；当v i< v时，由于他的竞价不可能超过其对拍卖品的估价，他将肯定会输掉拍卖品；当v i=v时，只有他的竞价为v i时才会赢得拍卖品，而此时他的收益为零。

因此，对投标人i而言，赢得拍卖品与输掉拍卖品完全没有区别。

由以上分析可以看出，当v i＞v时，投标人i提出竞价v i，他将赢得拍卖品，因此以其估价v i作为其对拍卖品的竞价是投标人i 最大化其收益的竞价。

此外，如果投标人i的竞价低于其估价，而此时又恰好有最高竞价大于此竞价且低于其估价，则他将失去拍卖品；竞价高于其自身的估价，有可能因赢得拍卖品而支付一个高于其估价的支付风险，此时，他将得不偿失。

因此以自身的估价提出竞价是一个均衡的竞价策略。

从而得出结论：
n 个投标商参加第二价格拍卖，每个投标人有其自身的独立的个人估价，则以自己的估价提出竞价是惟一的一个均衡的竞价策略。

第三部分第一价格拍卖与第二价格拍卖中招标商收益比较
3.1 第一价格拍卖中招标商收益分析
第一价格拍卖中，招标商接受的是所有投标人出价的最高竞价，而在第二价格拍卖中，他仅获得投标人中的第二高价格。

表面看来，与第二价格相比，招标商在第一价格拍卖中将获得较多的收益，那么研究第二价格拍卖就没有什么意义了。

但事实是否是第一价格拍卖给招标商带来的收益一定比第二价格拍卖带来的多呢？对招标商而言，第一价格拍卖是否是最优的拍卖机制呢?下面我们将具体分析此问题。

这里，我们分析的基础仍然是前面提及的七个基本假定：
1）单物品拍卖。

2）所有投标商及招标商都是风险中性的。

3）每个投标商对拍卖物及其价值的估计是独立的，且这个估计值仅投标商自己知道。

4）每个投标商具有对称性，即它们的估值的分布函数相同。

5）每个投标商的支付函数只与它的投标价有关。

6）投标商之间是非合作博弈。

7）卖主就是招标人，不存在交易费用。

设有n个投标商参加第一价格拍卖，v是n个投标商估价中的最高价，则招标商的收益（投标商的报价） b (v)为
b(v)=∫xdF n−1(x)
v
F n−1(v)
又n个投标商中最高估价的分布函数为F n(v),所以，最高估价的密度函数为
S(v)=( F n(v))‘=nfF n-1
所以，招标商的期望收益R 为
R FPA =∫b(v)10
S(v)dv
=n ∫[10∫xdF n−1(x)v 0F n−1(v )]f (v )F n−1(v)dv
=n(n-1) ∫[∫xF n−2(x )f(x)v 010f (v )]dxdv
= n(n-1) ∫[∫xF n−2(x )f(x)1x 10f (v )]dvdx
= n(n-1) ∫xF n−2(x )f(x)(1−F(x))10dx (3.1)
3.2 第二价格拍卖中招标商收益分析 在第二价格拍卖中，无论投标人风险态度如何，其最优报价都是自身的估价，设第二最高估价为 v ，它的密度函数为
h(v)=n(n-1)f(v) F n−2(v )(1−F(v))
因此，第二价格拍卖中拍卖商的期望支付为
R sPA=∫vh(v)10
dv = n(n-1) ∫vF n−2(v )f(v)(1−F(v))10dv (3.2)
由此得出结论：在上述七个假定基础上，第一价格拍卖与第二价格拍卖给招标商带来的收益是相同的。

又由于第一价格拍卖与荷兰式拍卖中投标商的竞价策略相同，第二价格拍卖与英式拍卖中投标商的竞价策略相同。

因此，我们得出下述结论
结论 2
在上述七个假定基础上，四种标准拍卖给招标商带来相同的期望收 益，这就是收入等价定理
3.3 基于主体风险态度变更的拍卖机制优劣比较
设“基准模型”的七个假定仍成立。

基于此模型，由前章分析可知对
于拍卖人而言，四种拍卖形式给卖者带来同样的收益。

但是现实拍卖中，基准模型的7 个假定有可那不会同时成立。

此时，破坏其中的一个或几个假定，得出的结论将会有较大的差异。

因此，改变其中的一个假定或几个假定对其重新进行研究是值得探讨的问题。

在招标拍卖中，由于个体差异，招投标商的风险态度是不同的，有可
那是风险规避型、风险中性或是风险偏好型的。

本文在改变招投标主
体的风险态度是风险中性的假定基础上，分析了招标商分别采用第一价格拍卖和第二价格拍卖所带来的收益，其结论异于收入等价定理。

3.3.1第一价格拍卖投标人竞价策略研究
在进行同一决策时，由于各博弈方对于风险的承受能力不同，不同的博弈方可能作出不同的决策。

通常情况下，用效用函数来比较风险态度下各决策的价值。

为比较第一价格拍卖与第二价格拍卖中招标商收益的不同，引入效用函数，不妨用效用函数u(x)=x a(a>0)来表示投标人的收益,显然此效用函数满足u(0)=0,对于此函数，它的风险厌恶函数
r(x)=−u(x)′′
u(x)′=1−a
x
因此，对于固定的x,，当a<1时，r( x ) > 0,则此拍卖人为风险规避型的；当a=1时,r ( x ) = 0，此拍卖人为风险中性的；当a>1时，r ( x ) < 0此拍卖人为风险偏好型的。

设有n(n ≥2)个投标人参加第一价格拍卖，每个投标人的估价v 均匀分布在区间[0,1],则有F(v)=v,f(v)=1.因为博弈为对称的，只需考虑对称的均衡竞价策略：b=b*(v)，给定v, b它赢得拍卖品的概率为
n−1(b)
∏pr(b j<b)
j≠i=Φ
j≠i=∏pr(v j<b∗−(b))
j≠i=∏pr(b(v j)<b)
其中Φ(b)是b*的反函数，即投标人选择 b 时价值为Φ(b).则他的期望支付函数为
u i=(v-b)a∏pr(b j<b)
j≠i=(v-b)aΦn−1(b)
一阶条件为
-a(v-b)a-1Φn−1(b)+(n-1) (v-b)aΦn−2(b) Φ′(b)
在均衡条件下Φ(b)=v
且估值v = 0时，报价 b =0
解此方程得
v
b=n−1
n−1+a
此价格即为均衡报价。

显然当投标人越是厌恶风险，拍卖商从第一价格拍卖中得到的收益越大，当投标人无限风险厌恶（α→0）时，拍卖商将得到全部的收益。

3.3.2第一价格拍卖与第二价格拍卖的卖方支付比较
与上述分析相似，我们用效用函数u(x)= xβ(β>0)来表示拍卖商的支付。

由上文分析，当β<1时，拍卖商是风险规避型的；当β=1时，拍卖商是风险中性的;当β>1时,拍卖商是风险偏好的（实际拍卖中，拍卖商一般为风险中性或是风险规避的，偏好风险的拍卖商一般比较少见）在第一价格拍卖中，拍卖商接受的是最高报价投标人的价
格
b=n−1n−1+a v
这时拍卖商的支付可表示为 u(b)=( n−1n−1+a v)β
设最高估价的密度函数为 s (v)，则第一价格拍卖中拍卖商的期望支付为
R FPA =∫u(b 10
)s(v)dv 又 n 个投标商中最高估价的分布函数为 F n (v), 所以
s(v)=( F n (v))‘= nfF n-1
由于 F ( v)= v 且 f(v)=1,所以
s(v)=nv n-1
因此，第一价格拍卖中拍卖商的期望支付为
R FPA =n ∫( n−1n−1+a v)β10v n-1dv =n ( n−1n−1+a )β∫ v β+n−110dv = n ( n−1n−1+a )β1n+β (3.3)
在第二价格拍卖中，无论投标人风险态度如何，其最优报价都是自身的估价，设第二最高估价为 v ，它的密度函数为
h(v)=n(n-1)f(v) F n−2(v )(1−F(v))
又F ( v)= v 且 f(v)=1
则 h(v)=n(n-1) v n−2(1−v )
因此，第二价格拍卖中拍卖商的期望支付为
R sPA = n(n-1) ∫v n−2(1−v)v β10dv
=n(n−1)
(n+β−1)(n+β)
(3.4) 由(3.1),(3.2)式，令R FPA= R sPA
整理得( n−1
n−1+a )β=n−1
(n+β−1)
化简得a=[ n+β−1
(n−1)1−β]
1
β)+1-n (3.5)
其中n≥2,(下面在投标人数确定的条件下，我们说明a> 0成立。

事实上，要证a>0，即证
[ n+β−1 (n−1)1−β]
1
β)+1-n>0
即证n+β−1>n-1 显然成立，所以a>0成立。

)
因此，当
a=[ n+β−1
(n−1)1−β]
1β)+1-n
时,第一价格拍卖和第二价格拍卖给招标商带来同样的支付。

同理，令
R FPA> R sPA
即( n−1
n−1+a )β>n−1
(n+β−1)
即a<[ n+β−1
(n−1)1−β]
1β)+1-n
因此，当给定的a,β,n满足
a<[ n+β−1
(n−1)1−β]
1
β)+1-n (3.6)
时，招标商采用第一价格拍卖所带来的收益比他采用第二价格拍卖带来的收益多。

同理，令
R FPA< R sPA 得当给定的a,β,n满足
a>[ n+β−1
(n−1)1−β]
1
β)+1-n (3.7)
时,招标商应采用第二价格拍卖形式。

总之，对于给定的a,β,n，由(3.5),(3.6),(3.7)，招标商即可确定应采用第一价格拍卖或第二价格拍卖形式以使自身的期望支付最大.
结论：现实拍卖中，基于各博弈方风险承受能力的不同，各博弈方在同一拍卖中的竞价策略是不同的。

本文通过效用函数u( x)= x c(c>0)来表示他们的支付函数，在给定α,β,n的条件假定下，比较了第一价格拍卖和第二价格拍卖中招标商获得的期望支付，其结论不同于收入等价定理的结论。

当改变基准模型的其它假定使其更接近现实时，对上述问题进行探讨将更加有实际应用价值。

第四部分其他拍卖形式
以上四种拍卖形式在日常生活中几乎都能找到对应的形式，非常直观。

而它们也奠定了拍卖的基本格局，无论什么形式的拍卖最多只是这四种拍卖的变型与组合罢了。

接下来简要介绍下衍生的几种形式。

标准增量式
这是一种拍卖标的数量远大于单个竞买人的需求量而采取的一
种拍卖方式（此拍卖方式非常适合大宗积压物资的拍卖活动）。

卖方为拍卖标的设计一个需求量与成交价格的关系曲线。

竞买人提交所需标的的数量之后，如果接受卖方根据他的数量而报出的成交价即可成为买受人。

速胜式
这是增价式拍卖的一种变体。

拍卖标的物的竞价也是按照竞价阶梯由低到高、依次递增，不同的是，当某个竞买人的出价达到（大于或等于）保留价时，拍卖结束，此竞买人成为买受人。

反向拍卖
反向拍卖也叫拍买，常用于政府采购、工程采购等。

由采购方提供希望得到的产品的信息、需要服务的要求和可以承受的价格定位，由卖家之间以竞争方式决定最终产品提供商和服务供应商，从而使采购方以最优的性能价格比实现购买。