2019-2020学年新教材素养突破人教A版数学必修第一册(课件+讲义+课时作业)3.1.1

3.1.1函数的概念
最新课程标准：在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用。

了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域．
知识点一函数的概念
1．函数的概念
一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数(function)，记作y＝f(x)，x∈A.
2．函数的定义域和值域
函数y＝f(x)中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域(domain)；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域(range)．
显然，值域是集合B的子集．
状元随笔对函数概念的3点说明
(1)当A , B为非空实数集时，符号“ f ：A→B ”表示A到B的一个函数．
(2)集合A中的数具有任意性，集合B中的数具有唯一性．
(3)符号“f ”表示对应关系，在不同的函数中f的具体含义不一样．
知识点二区间的概念
1．区间的几何表示
定义名称符号数轴表示
{x|a≤x≤
b}
闭区间[a，b]
{x|a<x<b}开区间(a，b)
{x|a≤x<b
}半开半闭区
间
[a，b)
{x|a<x≤b半开半闭区(a，b]
} 间
2.实数集R 的区间表示
实数集R 可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”；“－∞”读作“负无穷大”；“＋∞”读作“正无穷大”．
3．无穷大的几何表示
定义 符号 数轴表示
{x |x ≥a }
[a ，＋∞) {x |x >a } (a ，＋∞) {x |x ≤b }
(－∞，b ] {x |x <b } (－∞，b )
状元随笔 关于无穷大的2点说明
(1)“∞”是一个符号，而不是一个数．
(2)以“－∞”或“＋∞”为端点时，区间这一端必须是小括号． 知识点三 同一函数
如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数．
[教材解难]
1．教材P 60思考
根据问题1的条件，我们不能判断列车以350 km/h 运行半小时后的情况，所以上述说法不正确．显然，其原因是没有关注到t 的变化范围．
2．教材P 63思考
反比例函数y ＝k x (k ≠0)的定义域为{x |x ≠0}，对应关系为“倒数
的k 倍”，值域为{y |y ≠0}．反比例函数用函数定义叙述为：对于非空数集A ＝{x |x ≠0}中的任意一个x 值，按照对应关系f “倒数的
k (k ≠0)倍”，在集合B ＝{y |y ≠0}中都有唯一确定的数k x 和它对应，那
么此时f ：A →B 就是集合A 到集合B 的一个函数，记作f (x )＝k x (k ≠0)，
x ∈A .
3．教材P 66思考
A ．y ＝x 2－9x －3
与y ＝x ＋3 B ．y ＝x 2－1与y ＝x －1
C ．y ＝x 0(x ≠0)与y ＝1(x ≠0)
D ．y ＝x ＋1，x ∈Z 与y ＝x －1，x ∈Z
解析：A 中两函数定义域不同；B 中两函数值域不同；D 中两函数对应法则不同．
答案：C
4．用区间表示下列集合：
(1)⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪⎪
－12≤x <5＝________； (2){x |x <1或2<x ≤3}＝________. 解析：(1)注意到包括不包括区间的端点与不等式含不含等号对
应，则{x |－12≤x <5}＝[－12，5)．
(2)注意到集合中的“或”对应区间中的“∪”，则{x |x <1或2<x ≤3}＝(－∞，1)∪(2,3]．
答案：(1)⎣⎢⎡⎭
⎪⎫－12，5 (2)(－∞，1)∪(2,3]
题型一 函数的定义[经典例题]
例1 根据函数的定义判断下列对应关系是否为从集合A 到集合B 的函数：
(1)A ＝{1,2,3}，B ＝{7,8,9}，f (1)＝f (2)＝7，f (3)＝8；
(2)A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5,6}，对应关系如图所示；
(3)A ＝R ，B ＝{y |y >0}，f ：x →y ＝|x |；
(4)A ＝Z ，B ＝{－1,1}，n 为奇数时，f (n )＝－1，n 为偶数时，f (n )＝1.
【解析】 对于集合A 中的任意一个值，在集合B 中都有唯一
的值与之对应，因此(1)(4)中对应关系f是从集合A到集合B的一个函数．
(2)集合A中的元素3在集合B中没有对应元素，且集合A中的元素2在集合B中有两个元素(5和6)与之对应，故所给对应关系不是集合A到集合B的函数．
(3)A中的元素0在B中没有对应元素，故所给对应关系不是集合A到集合B的函数.
1.从本题(1)可以看出函数f(x)的定义域是非空数集A，但值域不一定是非空数集B，也可以是集合B的子集．
2．判断从集合A到集合B的对应是否为函数，一定要以函数的概念为准则，另外也要看A中的元素是否有意义，同时，一定要注意对特殊值的分析．
方法归纳
(1)判断一个集合A到集合B的对应关系是不是函数关系的方法：
①A，B必须都是非空数集；②A中任意一个数在B中必须有并且是唯一的实数和它对应．
[注意]A中元素无剩余，B中元素允许有剩余．
(2)函数的定义中“任意一个x”与“有唯一确定的y”说明函数中两变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”，而不能是“一对多”．
跟踪训练1(1)设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有()
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
(2)下列对应是否是函数？
①x →3x ，x ≠0，x ∈R ；
②x →y ，其中y 2＝x ，x ∈R ，y ∈R .
解析：(1)
图号 正误 原因
① × x ＝2时，在N 中无元素与之对应，不满足任意性
② √ 同时满足任意性与唯一性
③ × x ＝2时，对应元素y ＝3∉N ，不满足任意性
④ × x ＝1时，在N 中有两个元素与之对应，不满足唯一性
答案：(1)B
(1)①x ∈[0，1]取不到[1，2].
③y ∈[0，3]超出了N ∈[0，2]范围.
④可取一个x 值，y 有2个对应，不符合题意.
(2)①是函数．因为任取一个非零实数x ，都有唯一确定的3x 与之
对应，符合函数定义．
②不是函数．当x ＝1时，y ＝±1，即一个非零自然数x ，对应两个y 的值，不符合函数的概念．
答案：(2)①是函数②不是函数
(2)关键是否符合函数定义．
题型二 求函数的定义域 [经典例题]
例2 (1)函数f (x )＝
x ＋1x －1
的定义域是( ) A.[－1,1)
(3)⎩⎪⎨⎪⎧
偶次根式被开方数≥0分母不为0 题型三 同一函数[教材P 66例3]
例3 下列函数中哪个与函数y ＝x 是同一个函数？
(1)y ＝(x )2; (2)u ＝3v 3；
(3)y ＝x 2； (4)m ＝n 2n .
【解析】 (1)y ＝(x )2＝x (x ∈{x |x ≥0})，它与函数y ＝x (x ∈R )虽然对应关系相同，但是定义域不相同，所以这个函数与函数y ＝x (x ∈R )不是同一个函数．
(2)u ＝3v 3＝v (v ∈R )，它与函数y ＝x (x ∈R )不仅对应关系相同，
而且定义域也相同，所以这个函数与函数y ＝x (x ∈R )是同一个函数．
(3)y ＝x 2＝|x |＝⎩⎨⎧ －x ，x <0，x ，x ≥0，它与函数y ＝x (x ∈R )的定义域都
是实数集R ，但是当x <0时，它的对应关系与函数y ＝x (x ∈R )不相同．所以这个函数与函数y ＝x (x ∈R )不是同一个函数．
(4)m ＝n 2
n ＝n (n ∈{n |n ≠0})，它与函数y ＝x (x ∈R )的对应关系相同但定义域不相同．所以这个函数与函数y ＝x (x ∈R )不是同一个函数．
教材反思
判断同一函数的三个步骤和两个注意点
(1)判断同一函数的三个步骤
(2)两个注意点：
①在化简解析式时，必须是等价变形；
一、选择题
1．下列各个图形中，不可能是函数y ＝f (x )的图象的是( )
解析：对于1个x 有无数个y 与其对应，故不是y 的函数． 答案：A
2．函数f (x )＝x ＋3＋(2x ＋3)0
3－2x
的定义域是( ) A.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－3，32 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－3，－32∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫－32，32 C.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫－3，32 D.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－3，－32 解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3≥0，3－2x >0，
2x ＋3≠0，
解得－3≤x <32且x ≠－32，故选
B.
答案：B
3．已知函数f (x )＝－1，则f (2)的值为( )
A ．－2
B ．－1
C ．0
D ．不确定
解析：因为函数f (x )＝－1，
所以不论x 取何值其函数值都等于－1，故f (2)＝－1.故选B. 答案：B
4．下列各组函数中，表示同一函数的是( )
A ．y ＝x ＋1和y ＝x 2－1x －1
B ．y ＝x 2和y ＝(x )2
C ．f (x )＝x 2和g (x )＝(x ＋1)2
D ．f (x )＝(x )2x 和g (x )＝x (x )2
解析：只有D 是相同的函数，A 与B 中定义域不同，C 是对应法则不同．
答案：D
二、填空题
5. 用区间表示下列数集．
(1){x |x ≥2}＝________；
(2){x |3<x ≤4}＝________；
(3){x |x >1且x ≠2}＝________.
解析：由区间表示法知：(1)[2，＋∞)；
(2)(3,4]；
(3)(1,2)∪(2，＋∞)．
答案：(1)[2，＋∞) (2)(3,4] (3)(1,2)∪(2，＋∞)
6．函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的定义域为________，值域为________．
解析：由f (x )的图象可知 －5≤x ≤5，－2≤y ≤3.
答案：[－5,5] [－2,3]
7．若A ＝{x |y ＝x ＋1}，B ＝{y |y ＝x 2＋1}，则A ∩B ＝________. 解析：由A ＝{x |y ＝x ＋1}，B ＝{y |y ＝x 2＋1}，
得A ＝[－1，＋∞)，B ＝[1，＋∞)，
∴A ∩B ＝[1，＋∞)．
答案：[1，＋∞)
三、解答题
8．(1)求下列函数的定义域：
①y ＝4－x ；
②y ＝1|x |－x
； ③y ＝5－x ＋x －1－1x 2－9
； (2)将长为a 的铁丝折成矩形，求矩形面积y 关于一边长x 的解析。