湖北省黄冈中学高考数学(理科)模拟试卷(十一)

2009届黄冈中学高考模拟试卷数学（理科）（十一）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷50分，第Ⅱ卷100分，卷面共计150分，时间120分钟．
第Ⅰ卷（选择题，共50分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1、已知集合M={1，2，3，4}，集合N={a，b，c，d}，设集合M到集合N的不同映射的个数为m，从集合M到集合N的不同的一一映射的个数为n，那么等于（）A．4B．8
C．D．
2、若f(x)=sin(x＋)＋2cos(x＋)是奇函数，则tan=（）
A．－2B．2
C．D．
3、下列命题中，正确命题的个数是（）
①若两条直线无公共点，则这两条直线平行；
②与一个平面相交成等角的两条直线平行；
③若平面外的一条直线上有两个点到平面距离相等，则此直线与平面平行；
④对于两条异面直线及它们之外的任一点，一定存在过该点的一个平面与两条异面直线都平行．
A．3个B．2个
C．1个D．0个
4、已知a>b>0且（）
A．3B．5
C．7D．9
5、已知，则sinα=（）
6、正三棱锥S—ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且MN⊥AM，若，则正三棱锥S—ABC外接球的表面积是（）
A．12πB．32π
C．36πD．48π
7、过点M(－2，0)的直线l与椭圆x2＋2y2=2交于P1、P2两点，线段P1P2的中点为P，
(k1≠0)，直线OP的斜率为k2，则k1k2的值等于（）
设直线l的斜率为k
1
A．2B．－2
C．D．
8、已知数列{a n}符合：a1=2，，那么a36等于（）
9、由方程x|x|＋y|y|=1确定的函数y=f(x)在（－∞，＋∞）上是（）
A．增函数B．减函数
C．先增后减D．先减后增
10、在平面直角坐标系xOy中，A（1，0），B（1，1），C（0，1），映射f将xOy 平面上的点P(x，y)对应到另一个平面直角坐标系uO′v上的点P′(2xy，x2－y2)，则当点P沿着折线A－B－C运动时，在映射f的作用下，动点P′的轨迹是（）
第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)
11、某校要求每位学生从8门课程中选修5门，其中甲、乙两门课程至少选修一门，则不同的选课方案有_________种．(以数字作答)
12、有3道“四选一”选择题，每题4分．某考生对其中2道题能各排除2个选项，随后他随机猜答，则该考生做这3道题的得分的数学期望是_________分．
13、若实数x，y满足，则x＋2y的最大值为_________．
14、已知圆的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，且圆与直线3x＋4y＋4=0相切，则圆的标准方程是_________．
15、下列命题中
①A＋B=是sinA=cosB成立的充分不必要条件；
②的展开式中的常数项是第4项；
③在数列{a
}中，a1=2，S n是其前n项和且满足，则数列{a n}为等比
n
数列；
④设过函数f(x)=x2－x(－1≤x≤1)图像上任意一点的切线的斜率为k，则k的取值范围是(－3，1)．
则正确的命题的序号是_________．
三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
16、(本小题满分12分)已知，其中0<x<π．
(1)若f(x)=0，求x；
(2)求函数f(x)的单调递增区间．
17、(本小题满分12分)如图1，已知AB⊥平面ACD，DE//AB，△ACD是正三角形，且AD=DE=2AB．
(1)在线段CD上是否存在一点M，使AM//平面BCE?证明你的结论；
(2)求证：平面BCE⊥平面CDE；
(3)求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小．
18、(本小题满分12分)已知函数在x=1处取得极值为2．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若函数f(x)在区间(m，2m＋1)上为增函数，求实数m的取值范围；
(3)若P(x
0，y
)为图像上的任意一点，直线l与的图像相
切于点P，求直线l的斜率的取值范围．
19、(本小题满分12分)已知等比数列{a n}的各项是不等于1的正数，数列{b n}满足
b n=2log4a n，设a3=8，b5=5．
(1)求a
n 和b
n
；
(2)若数列{c
n
}满足，求c1＋c2＋c3＋…＋c n；
(3)若数列{d
n
}满足lgd n＋2lgb n=0，求证：d1＋d2＋d3＋…＋d n<2．
20、(本小题满分13分)如图2，直线l与抛物线y2=4x交于A、B两点，O为原点，且
．
(1)求证：直线l恒过一定点；
(2)若，求直线l的斜率k的取值范围；
(3)设抛物线的焦点为F，试问∠AFB能否等于120°．若能，求出相应的直线l的方程；若不能，请说明理由．
21、（本小题满分14分）定义在D上的函数f(x)，如果满足：对任意x∈D，存在常数M>0，都有|f(x)|≤M成立，则称f(x)是D上的有界函数，其中M称为函数f(x)的上界．已
知函数．
(1)当a=1时，求函数f(x)在(－∞，0)上的值域，并判断函数f(x)在(－∞，0)上是否为有界函数，请说明理由；
(2)若函数f(x)在[0，＋∞)上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围；
(3)若m>0，函数g(x)在[0，1]上的上界是T(m)，求T(m)的取值范围．
试题答案
选择题
提示：
1、.
2、
因为函数是奇函数，则有.
3、①错误，无公共点也可以异面；②错误，可以相交、平行、异面；③错误，也可以相交，此时两点位于平面的两侧；④错误，若该点在过一条异面直线且与另一条平行的平面上时，不存在符合要求的平面.
4、因为a>b>0，故，所以，化简得，所以.
5、可得，故，且，
故.
6、因为MN⊥AM，MN//SB，所以SB⊥AM.
又SB⊥AC，所以SB⊥平面SAC，则SB⊥SA，SB⊥SC，易得SC⊥SA.
由此可将正三棱锥S-ABC补成正方体，使SA、SB、SC是正方体的三条棱，从而正三棱锥S—ABC的外接球也就是正方体的外接球，其半径等于3，表面积等于
.
7、直线l方程为y=k1(x＋2)，联立方程组，
可得，设，
则有，
则有，故，所以.
8、，
累项相加得，故
.
9、当x≥0，y≥0时，方程为x2＋y2=1，当x≥0，y≤0时，方程为x2－y2=1，
当x≤0，y≥0时，方程为y2－x2=1，当x≤0，y≤0时，不存在，分段作出函数图像如下图，由图像可知，函数在（－∞，＋∞）上是减函数.
10、当点P沿直线AB运动时，x始终为1，此时，消去y得轨迹方
程为，表示焦点在x轴上的椭圆，同理可得沿直线BC运动时的轨迹，只有
A答案符合.
二、填空题
答案：
11、50 12、3
13、6 14、(x－2)2＋y2=4
15、①③
提示：
11、甲、乙两门课程都不选有种，故甲、乙至少选修一门有种.
12、分.
13、作出可行域，当x=2，y=2时，x＋2y有最大值6.
14、设圆心（x，0）(x>0)，则有，解得x=2(负根舍去)，故圆方程为
.
15、命题①，若，反之，
若，则，所以是充分不必要条件，正确；
命题②，，令，可得r=2，故常数项为第3项，错误；
命题③，可求得，故为等比数列，正确；
命题④，，因为－1≤x≤1，故，即k∈[－3，1]，错误.
则正确的命题为①③.
三、解答题
17、(1)当M为CD的中点时，有AM//平面BCE．下面给予证明：延长EB、DA相交于F，连CF．∵AB//DE，且，
∴B为EF的中点，A为DF的中点．
当M为CD的中点时，
由三角形中位线定理，有AM//CF．
∵AM平面BCE，CF平面BCE，
∴AM∥平面BCE．
(2)∵△ACD为正三角形，∴AC=AD=AF，
∴∠FCD=90°，即CF⊥CD．①
∵AB⊥平面ACD，DE//AB，∴DE⊥平面ACD．
∵CF平面ACD，∴DE⊥CF．②
又CD∩DE=D，③
由①②③，得：CF⊥平面CDE．
∵CF平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE．
(3)由上知，平面BCE∩平面ACD=CF．
∵A为DF的中点，∴取CF的中点G，则有AG//CD．
∵CF⊥CD，∴AG⊥CF．
∵AB⊥平面ACD，则AG为BG在平面ACD上的射影，
∴由三垂线定理，有BG⊥CF．
∴∠AGB为平面BCE与平面ACD所成的角．
Rt△BAG中，AB⊥AG，AG=CD=AD=AB，
∴∠AGB=45°，即平面BCE与平面ACD所成的锐二面角为45°．
19、(1)设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q(q>0)，由题设可知： ∵a 3=8，b 5=2log 4a 5，
∴a 5=32．
20、(1)设l：x=my＋b，代入y2=4x得：y2－4my－4b=0．
设A(x
1，y
1
)，B(x2，y2)，则y1＋y2=4m，y1y2=－4b．。