2020-2021学年高中数学必修3人教A版课件：第二章 统 计 章末高效整合

2．应用三种抽样方法时需搞清楚它们的使用原则： (1)当总体容量较小，样本容量较小时，制签简单，号签容易搅匀，可采用抽 签法； (2)当总体容量较大，样本容量较小时，可用随机数表法； (3)当总体容量较大，样本容量也较大时，可用系统抽样法； (4)当总体中个体差异较显著时，可采用分层抽样法．
某工厂有 1 003 名工人，从中抽取 10 人参加体检，试采用简单随机抽 样和系统抽样进行具体实施．
答案： 25
专题三 用样本的数字特征估计总体的数字特征
为了从整体上更好地把握总体的规律，还可以通过样本数据的众数、中位数、
平均数和标准差等数字特征对总体的数字特征作出估计．众数就是样本数据中出
现最多的那个值；中位数就是处于中间位置的那个数(或者两个数的平均数)；平
均数就是所有样本数据的平均值，用 x 表示；标准差是反映样本数据分散程度大
2．茎叶图刻画数据有两个优点：一是所有信息都可以从图中得到，二是便 于记录和表示，但数据较多时不方便．
3．样本的数字特征可分为两大类：一类是反映样本数据集中趋势的，包括 众数、中位数和平均数；另一类是反映样本波动大小的，包括方差及标准差．我 们常通过样本的数字特征估计总体的数字特征．
4．在用样本的频率分布估计总体的分布时应注意： (1)对于同一组样本数据，确定的组距不同，得到的组数及分组也不同，绘制 的频率分布直方图就会有差异，但都是对总体的近似估计． (2)应用频率分布直方图时，需明确纵轴表示的是频率/组距，进而进行相关 计算． (3)绘制茎叶图时需注意同一组数据中的相同数据要一一列出．
解析： (1) x 甲＝1.69(m)， x 乙＝1.68(m)． (2)s甲2 ＝0.000 6，s2乙＝0.003 15， 因为 s甲2 <s乙2 ，所以甲稳定． (3)可能选甲参加，因为甲 8 次成绩都跳过 1.65 m 而乙有 3 次低于 1.65 m； 且 x 甲> x 乙，s2甲<s2乙. 不管是跳过 1.65 m 还是跳过 1.70 m 才有可能拿冠军，都选甲．
解析： (1)调查的旅客共 100 名，因而样本容量为 100. 频数
(2)由频数之和为 100，频率＝样本容量可补全频率分布表和频率分布直方图 (图中的阴影部分)．其中，第四组的频数为 50，频率为 0.50，第二组的频率为 0.10.
(3)设旅客平均购票时间为 s min，则有 0×0＋5×10＋10×11000＋15×50＋20×30≤s <5×0＋10×10＋15×10100＋20×50＋25×30， 即 15≤s<20. ∴旅客购票用时的平均数可能落在第四小组． (4)设需增加 x 个窗口， 则 20－5x≤10，解得 x≥2. ∴至少需要增加 2 个窗口．
[能力挑战] 2．从某小学随机抽取 100 名学生，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频 率分布直方图(如图)．由图中数据可知 a＝_____________________________. 若要从身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]内的学生中，用分层抽样的方 法选取 18 人参加一项活动，则应从身高在[140,150]内的学生中选取的人数为 ________．
④从折线图上看，乙的成绩呈上升趋势，而甲的成绩在平均线上波动不大， 说明乙的状态在提升，更有潜力．
[能力挑战] 3．市体校准备挑选一名跳高运动员参加全市中学生运动会，对跳高运动队的 甲、乙两名运动员进行了 8 次选拔比赛．他们的成绩(单位：m)如下： 甲：1.70 1.65 1.68 1.69 1.72 1.73 1.68 1.67 乙：1.60 1.73 1.72 1.61 1.62 1.71 1.70 1.75 (1)甲、乙两名运动员的跳高平均成绩分别是多少？ (2)哪位运动员的成绩更为稳定？ (3)若预测跳过 1.65 m 就很可能获得冠军，该校为了获得冠军，可能选哪名运 动员参赛？若预测跳过 1.70 m 才能得冠军呢？
1
乙 7 5.4 7.5
3
(2)①甲、乙的平均数相同，均为 7，但 s甲2 <s2乙，说明甲偏离平均数的程度小， 而乙偏离平均数的程度大．
②甲、乙的平均水平相同，而乙的中位数比甲大，说明乙射靶环数的优秀次 数比甲多．
③甲、乙的平均水平相同，而乙命中 9 环以上(包含 9 环)的次数比甲多 2 次， 可知乙的射靶成绩比甲好．
热点考点例析
专题一 抽样方法的应用 1．应用抽样方法抽取样本时，应注意以下几点： (1)用随机数表法抽样时，对个体所编的号码位数要相等，当问题所给位数不 等时，以位数较多的为准，在位数较少的数前面添“0”，凑齐位数．如 1,2,3，…， 20 可凑成 01,02,03，…，20. (2)用系统抽样法抽样时，如果总体容量 N 能被样本容量 n 整除，抽样间隔为 k＝Nn；如果总体容量 N 不能被样本容量 n 整除，先用简单随机抽样法剔除多余个 体，抽样间隔 k＝Nn.
5．在用样本的数字特征估计总体的数字特征时应注意： (1)任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变．特殊情况下，平均数可 能受某几个极端值的影响，而偏离一般情况． (2)标准差的平方是方差，标准差的单位与样本数据的单位一致． (3)用样本的平均数和标准差估计总体的平均数和标准差时，样本的平均数和 标准差只是总体的平均数和标准差的近似．
三、变量的相关关系 1．两个随机变量 x 和 y 之间相关关系的判断方法有： (1)散点图法：通过散点图，观察它们的分布是否存在一定规律，直观地判断． (2)表格、关系式法：结合表格或关系式进行判断． (3)经验法：借助积累的经验进行分析判断．
2．用公式求回归方程的一般步骤是： (1)列表．
n
n
(2018·上海徐汇区一模)某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所 花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下：
零件的个数 x(个) 2 3 4 5 加工的时间 y(时) 2.5 3 4 4.5
(1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图； (2)求出 y 关于 x 的线性回归方程∧y＝b∧x＋a∧，并在坐标系中画出回归直线； (3)试预测加工 10 个零件需要多少时．
第一章
章末高效整合
知能整合提升
一、抽样方法
1．抽样方法有：简单随机抽样、系统抽样、分层抽样．
2．三种抽样方法比较
类别 共同点
各自特点
相互联系
适用范围
简单随 从总体中逐个抽取
机抽样 抽样过程中
总体中的个体数较 少
系统 每个个体被 将总体均分成几个部分，按事 在第一部分抽样时采 总体中的个体数较
抽样 抽取的概率 先确定的规则在各部分抽取 用简单随机抽样
＋7＋7＋8＋9＋9＋10)＝7，乙的射靶环数从小到大排列为 2,4,6,7,7,8,8,9,9,10，所
以中位数是7＋2 8＝7.5；甲的射靶环数从小到大排列为 5,6,6,7,7,7,7,8,8,9，所以中位
数为 7.于是填充后的表格如表所示：
平均数 方差 中位数 命中 9 环及以上
甲 7 1.2 7
专题二 用样本频率分布估计总体分布 1．用样本频率分布估计总体频率分布时，通常要对给定的一组数据进行列 表、作图处理． 2．茎叶图刻画数据有两个优点：一是所有信息都可以从图中得到，二是便 于记录和表示．
某车站在春运期间为了改进服务，随机抽样调查了 100 名旅客从开始 在购票窗口排队到购到车票所用的时间 t(以下简称购票用时，单位：min)．下面 是这次抽样的频率分布表和频率分布直方图，解答下列问题：
[能力挑战] 1．某学校共有教师 490 人，其中不到 40 岁的有 350 人，40 岁及以上的有 140 人．为了了解普通话在该校中的推广普及情况，用分层抽样的方法，从全体 教师中抽取一个容量为 70 人的样本进行普通话水平测试，其中在不到 40 岁的教 师中应抽取的人数为多少人？
解析： 第一步，确定抽样比47900＝17； 第二步，在不到 40 岁的教师中应抽取的人数为 350×17＝50(人)； 第三步，由以上的计算可知其中在不到 40 岁的教师中应抽取的人数为 50 人．
解析： 成绩在区间[60,70)内的学生人数的频率为 0.04×10＝0.4，因此学生 总 人 数 为 04.04 ＝ 100. 又 成 绩 在 区 间 [70,90) 内 的 学 生 人 数 是 成 绩 在 区 间 [70,80) 和 [80,90)内的学生人数的和，这两个区间相对应的小矩形的面积的和为(0.015＋ 0.01)×10＝0.25，此即为成绩在区间[70,90)内的学生人数的频率，因此成绩在 [70,90)内的学生有 100×0.25＝25(人)．
分组
频数
频率
第一组
0≤t<5
0
0
第二组
5≤t<10
10
第三组 10≤t<15
10 0.10
第四组 15≤t<20
第五组 20≤t<25
30 0.30
合计
100 1.00
(1)这次抽样的样本容量是多少？ (2)在表中填写出缺失的数据并补全频率分布直方图； (3)旅客购票用时的平均数可能落在哪一小组？ (4)若每增加一个购票窗口可使平均购票用时减少 5 min，要使平均购票用时 不超过 10 min，那么你估计至少要增加几个窗口？
1
乙
5.4
3
(2)请从四个不同的角度对这次测试进行分析： ①从平均数和方差结合分析偏离程度； ②从平均数和中位数结合分析谁的成绩好些； ③从平均数和命中 9 环以上的次数相结合看谁的成绩好些； ④从折线图上看两人射击命中环数及走势分析谁更有潜力．
解析： (1)乙的射靶环数依次为 2,4,6,8,7,7,8,9,9,10，所以 x 乙＝110(2＋4＋6＋8
(2)计算 x ， y ，x2i ，xiyi.
ห้องสมุดไป่ตู้i＝1
i＝1
(3)代入公式计算b∧，a∧的值． (4)写出回归直线方程．
3．学习变量的相关性时： (1)注意通过实例辨析确定性关系(函数关系)与相关关系．根据散点图分析两 个变量间的相关关系是正相关还是负相关． (2)学会用最小二乘法求已知样本数据的回归直线方程．用回归直线方程对总 体进行估计时，得到的结果不是准确值．
解析： (1)简单随机抽样： ①将每一个人编一个号由 0 001 至 1 003. ②制作大小相同的号签，并写上号码． ③放入一个大容器内，均匀搅拌． ④依次抽取 10 个号签． 具有这十个编号的人组成一个样本．
(2)系统抽样： ①将每个人编一个号由 0 001 至 1 003. ②利用随机数表抽取 3 个号，将这 3 个人剔除． ③重新编号 0 001 至 1 000. ④分段1 10000＝100，所以 0 001 至 0 100 为第一段． ⑤在第一段内由简单随机抽样方法抽得一个号 l. ⑥按编号将 l,100＋l，…，900＋l 共 10 个号选出，这 10 个号所对应的人组 成样本．
小的最常用统计量，其计算公式为：
s＝
1n[x1－ x 2＋x2－ x 2＋…＋xn－ x 2]
有时也用标准差的平方 s2——方差来代替标准差，实质一样．
甲、乙两人在相同的条件下各射靶 10 次，每次射靶成绩(单位：环) 如图所示．
(1)填写下表：
平均数 方差 中位数 命中 9 环及以上
甲 7 1.2
多
分层 是相同的 将总体分成几层，分层进行抽 各层抽样时采用简单 总体由差异明显的
抽样
取
随机抽样或系统抽样 几部分组成
二、用样本估计总体 1．作频率分布直方图的步骤： (1)求极差． (2)决定组距与组数，注意样本容量越大，所分组数越多． (3)将数据分组．
各小组频数 (4)计算各小组的频率，作频率分布表，各小组的频率＝ 样本容量 . (5)画频率分布直方图．
专题四 回归方程的应用 除了函数关系这种确定性的关系外，还有大量因变量的取值带有一定随机性 的两个变量之间的关系——相关关系． 分析两个变量的相关关系时，我们可根据样本数据散点图确定两个变量之间 是否存在相关关系，如果线性相关可利用最小二乘法求出回归直线方程．具体地 说就是把样本数据表示的点在直角坐标系中作出，叫散点图．从散点图上，我们 可以分析出两个变量是否存在相关关系．如果这些点大致分布在通过散点图中心 的一条直线附近，那么就说这两个变量之间具有线性相关关系．这条直线叫作回 归直线，直线方程叫作回归方程．