高等数学§7.4.1-3空间曲面和空间曲线

∴ 交 线 L 在 x面 o 上 的 投 y 影 曲 线 方 程 是 x 2 y 2 2 ， z 0
它 在 x面 oy上 (0 ,0 ,0 是 )为 圆 心 以 ， 2为 半 径 的 圆 。
例 8 ． 求 曲 L ： 线 x x 2 2 y y 2 2 8 z y 2 6在 4 x、 o yo y 面 上 z 的
方 程 表 示 以 ( 1 ,2 ,3 ) 为 球 心 ， 3 为 半 径 的 球 面 。
动 直 线 L 沿 给 定 曲 线 C 平 行 移 动 所 形 成 的 曲 面 ， 称 为 柱 面 。 动 直 线 L 称 为 柱 面 的 母 线 ， 定 曲 线 C 称 为 柱 面 的 准 线 。
z
现 在 来 建 立 以 x 面 上 o 的 曲 线 y
7 . 4 . 2 （ 一 ） 空 间 曲 线 的 一 般 方 程
空 间 曲 线 L 可 以 看 作 两 个 曲 面 1 与 2 的 交 线 。 若曲面 1 与 2 的方程分别为 F( x, y, z)0 与 G( x, y, z)0 ，则其交线 L 的方程为
F(x, y,z)0 G( x, y,z)0
一 般 地 方 程 F (x ,y ) 0 表 示 母 线 平z 行 轴于 的 ； 方 程 H (y ,z) 0表 示 母 线 平x 行 轴于 的 ； 方 程 G (x ,z) 0 表 示 母 线 平y 行 轴于 的 。
方 程 x 2 y 2 a 2 表 示 圆 柱 面 ； z
方 程 y 2 2 P 表 示 抛 物 柱 面 ； x
oP
P Q
y
x r cos t
y r sin
t
z vt
此方程称为圆柱螺旋线方程。
若 令 t ， 则 螺 旋 线 方 程 为
x rc os y rsin z b
这 时 b v， 而 参 。 数 为
（ 三 ） 空 间 曲 线 在 坐 标 面 上 的 投 影
1 ． 空 间 曲 线 在 平 面 上 的 投 影 的 概 念 L
解 ： 取 时 t 为 间 参 数 ， 经 t 质 过 点 的
位 置 为 P (x ,y ,z)， 作 P Q x面 o， y
垂 足 为 Q (x ,y ,0 )， 则 从 P 到 P 所
经 过 的 角 t， 上 升 的 高 度 为
Q vP ， t即 质 点 的 运 动 方 程 为 ： x
即 ( x x ) 2 ( y y ) 2 ( z z ) 2 R ， 化 简 得 ：
( x x ) 2 ( y y ) 2 ( z z ) 2 R 2 。 ①
当 x y z 0时 ， 即 球 心 在 原 点 的 球 面 方 程 为 x2y2z2R 2。 ②
z
o
2
设 空 间 曲 L 线 的 一 般 方 程 为 G F((x x,,yy,,zz)) 0 0， 消去z
得方程，1(x,y)0 它表示母线平行于 z轴的 柱面
z 1 ( 0 x ,y ) 0 就 是 曲 L 在 x 线 面 oy 投 影 上 曲 线 的 的
同 样 ， 从 曲 L 的 线方 分 别 消 程 x 与 去 中 y， 得 到 柱 面 方 程 2 (y ,z) 0与 3 (x ,z) 0， 则
(xt)2y2(zt)21 (1) 2(xt)22y2(zt)22 (2)
2 ( 1 ) ( 2 ) 得 ( z t ) 2 0 ， 即 t z ，
(xt)2y2(zt)21 (1)
zt
( 3)
(3)代入 (1),消去 t,
得 所 求 柱 面 方 程 为 ( x z ) 2 y 2 1 。
§ 7 . 4 空 间 曲 面 和 空 间 曲 线
本 节 以 两 种 方 式 来 讨 论 空 间 曲 面 ： （ 1 ） 已 知 曲 面 的 形 状 ， 建 立 这 曲 面 的 方 程 ； （ 2 ） 已 知 一 个 三 元 方 程 ， 研 究 这 方 程 的 图 形 。
7 . 4 . 1
空 间 中 与 一 定 点 等 距 离 的 点 的 轨 迹 叫 球 面 。 求 球 心 在 点 M ( x , y , z ) ， 半 径 为 R 的 球 面 方 程 。 设 M ( x , y , z ) 为 球 面 上 的 任 一 点 ， 则 有 M M R ，
z
例 7 ． 求 球 面 x 2 y 2 z 2 3 与
旋 转 抛 物 面 x 2 y 2 2 z的 交 线
L 在 x面 o 上 的 y 投 影 曲 线 方 程 。 o
y
x
解 ： 交 线 L 为 x x 2 2 y y 2 2 z 2 2 z 3 ( 2 ( 1 ) )
特 殊 地 ， 以 曲 L 为 线 准 线 ， 母 线 平z轴 行 柱 面 的 于 称 为 空 间 曲 L 关 线 于 x o 面 的 y 投 影 柱 面 ， 此 投 影 柱 面 与 x面 o 的 交 y 线 称 为 曲 L 在 x 线 o 面 上 y 的 投 影 曲 线 。
同 样 可 以 定 义 曲 L 关 于 y 线 面 o 、 x 面 z 的 o 投 影 z 柱 面 和 投 影 曲 线 。
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（ 2 ） z 2 2 x ， 母 线 平 y 轴 抛 物 柱 面 行 。
（ 3 ） x 1 y ，母 线 平 z 轴 双 曲 柱 面 行 。
（ 4 ） z 2 y 2 1 .母 线 平 x 轴 行 双 曲 柱 面 的 。 于
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注意
方程
平面解析几何中 空间解析几何中
x2 平行于y轴的直线平 行 于yo面 z的 平 面
例 6 ． 设 质 点 在 圆 柱 面 x 2 y 2 r 2 上 以 均 匀 的 角 速 绕 z轴 ， 旋 同 时 又 转 以 均 匀 的 线v 速 向 平 行 度 于 z轴
方 向 上 升 。 运 动 开 始 ， 即 t 0 时 ， 质 点 z
在 P ( r , 0 0 ) 处 ， 求 , 质 点 的 运 动 方 程 。
C ： F z ( x 0 , . y ) 0 ,为 准 线 ， 平L行 o M(于 x,y,z)y
z轴的 L 为 母 线 直 的 柱 面 线 方 程 。 x C
M(x,y,0)
设 M (x ,y,z)为 柱 面 上 任 一 点 ， 过 M 点 作 平 z 行 轴
的 直 线 ， 交 x 面 于 o 点 M ( y x , y ,， 0 由 柱 面 ) 定 义 可 知 点
圆心在(0,0)，
x2y2 4
以 z 轴 为 中 心 轴 的 圆 柱 面
半径为2的圆
yx1 斜率为1的直线 平 行 于 z轴 的 平 面
例 3 ． 求 母 线 平 行 于 向 量 a i k ， 准 线 为
2 x x 2 2 2 y y 2 2 z z 2 2 1 2的 柱 面 方 程 。 M0
变量 t 的 函数来表示，即
x x ( t ) y y ( t ) z z ( t )
②
当 t取定， 一 由 方 程 个 组 ② 就 值 得 到 曲 时 线 上 一 点
的 坐 标 ， 通 t的 过 ， 变 可 以 得 到 动 曲 线 上 所 有 的 点 ，
方 程 组 ② 称 为 曲 线 L 的 参 数 方 程 ， t为 参 数 。
故 曲 L 在 线 y面 oz投 上 影 曲 线 是 的 一 段 抛 物 线 ： z28y64(0y8). x0
若 在 曲 线 L 的 方 程 中 ， 出 现 有 一 个 缺 z项 的 方 程 时 ， 则 此 方 程 所 表 示 的 曲 面 正 巧 是 经 过 曲 线 L 且 母 线 平 行 于 z轴 的 柱 面 ， 它 就 是 曲 线 L 关 于 xo面 y 的 投 影 柱 面 ， 这 样 就 可 省 略 消 去 z的 过 程 。
已 知 空 间 曲 线 L 和 ， 平面 从 L 上 各 点 向 平 作 垂 线 面 ， 垂 足 所 构 成 的 曲 L 1 称 为 曲 线 L1 线 L 在 平 上 的 投 影 面 曲 线 。
准 线 为 曲 线 L 而 母 线 垂 直 于 平 的 柱 面 面 称 为 空 间 曲 线 L 关 于 平 的 投 面 影 柱 面 。 投 影 曲 L 1 就 是 线 投 影 柱 面 与 平 的 交 线 。 面
2 ( x y , z 0 ) 0 与 3 ( x y ,z 0 ) 0 分 别 是 曲 L 在 线
y 面 o x 面 z 上 o 的 和 投 影 z 曲 线 的 方 程 。
如图:投影曲线的研究过程.
空间曲线
投影柱面
投影曲线
例 7．求球面 x2 y2 z2 3 与 z=1的交线 L 在 xoy 面上的投影曲线方程。
①
方程组①称为空间曲线的一般方程。
例
4．方程组
(
x2 y2 x a )2
2
z2 y2
a 2 ( z 0) a2 (a0)
4
表示上半球面和圆柱面的交线L。
z
a
L
o
a
x
ay
例
5．方程组
x
x2 y2R2 2 y2z2R2
z
表示圆柱面与球面的交线，它是 xoy
平面上的一个圆。
注 意 ： 表 示 空 间 曲 线 的 方 程 组 不 是 唯 一 的 。
方 程 a y 2 2 b x 2 2 1 表 示 双 曲 柱 面 。 x o y
z
z
y
o
x
o
y
x
例 2 ． 指 出 下 列 方 程 在 空 间 直 角 坐 标 系 中 分 别 表 示 什 么 图 形 ？
（ 1 ） x 2 y 2 1 ， 母 线 平 z 轴 行 椭 圆 柱 的 面 于 。
M
解：M 设(x, y,z)为柱面上任意一点
沿母,M 线 对应准线M 上 0(x0一 ,y0,点 z0)
而 L 的 方 程 为 x x y y z z ， 其 参 数 方 程 为 1 01
x x t x x t
y
y
y y 代 入 准 线 方 程 ， 得
z z t z z t
y
x
例 1 . 指 出 方 程 x 2 y 2 z 2 2 x 4 y 6 z 5 0 表 示 何 种 曲 面 。
解 ： x 2 2 x 1 y 2 4 y 4 z 2 6 z 9 5 1 4 9 ， ( x 1 ) 2 ( y 2 ) 2 ( z 3 ) 2 3 2 ，
M 必C 上 在 ， 故 有 F ( 准 x ,y ) 0 。 由 线 于 点 M 与 M 有 相 同 的 横 坐 标 和 纵 坐 标 ， 故 点 M 的 坐 也 必 满 足 标 方 程 F ( x , y ) 0 。
反 之 ， 若 空 间 一 点 M ( x ,y ,z ) 满 足 方 程 F ( x ,y ) 0 ， 则 过 点 M (x ,y,z)且 与 z轴 平必 行 通 过 准 的 线 C 上 直 的 点 M ( x , y , 0 ) ， 即 点 M ( x , y , z ) 在 过 点 M ( x , y , 0 ) 的 母 线 上 ， 于 是 点 M ( x ,y ,z )必 在 柱 面 上 ， 故 方 程 F ( x ,y ) 0 表 示 平 行 于 z轴 的 。柱 面
( 1 ) － ( 2 ) 得 z 2 2 z 3 0 ， ( z 3 ) z 1 ( ) 0 ，
z 3 （ 舍 去 ） ， z 1 。
交 线 L 也 可 表 示 为 ： x 2 y 2 z 2 3 ， 消 去 z ， z 1
得 交 线 L 关 于 x 面 的 投 影 柱 o 面 方 程 ： x 2 y y 2 2 。
oy
例 如 x 2 y 2 z 2 R 2或 x 2 y 2 R 2 z 0 z 0
x
也 表 示 同 一 个 圆 ， 一 般 地 ， 用 两 个 方 程
的 组 合 代 替 方 程 之 一 ， 仍 表 示 同 一 曲 线 。
空 间 曲 线 L 上 动 点 M 的 坐 标 x ,y ,z 也 可 以 用 另 一 个
投 影 曲 线 的 方 程 。 解 ： 曲 L 在 x 面 线 o 的 投 影 y 曲 上 线 方 程 为 x 2 y 2 8 y 。
z 0 从L 曲 的线 方x 程 ， 得 中 L 曲 关 消 y 线 于 o 面 去 z 的
投 影 柱 面 方 程 ： z 2 8 y 6 ， 4