二十四山相兼，二十四山兼向分金吉凶断

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配套精练
由韦达定理可得 y1＋y2＝4t，y1y2＝－4n.因为C→A＝y412＋1，y1－c，C→B＝y422＋1，y2－c， ∠ACB＝90°，所以C→A·C→B＝0，即y112y622＋y12＋4 y22＋1＋y1y2－c(y1＋y2)＋c2＝0，即 n2＋4t2 ＋2n＋1－4n－4tc＋c2＝0，即(n－1)2＋(2t－c)2＝0，所以 n＝1，所以直线 AB 过定点 (1，0).
研题型 能力养成 举题说法 1 (2023·石家庄一模)已知点 P(4，3)在双曲线 C：ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)上，过点
P 作 x 轴的平行线，分别交双曲线 C 的两条渐近线于 M，N 两点，且|PM|·|PN|＝4. (2) 若直线l：y＝kx＋m与双曲线C交于不同的两点A，B，设直线PA，PB的斜率分别 为k1，k2，从①②两个条件中选一个作为已知条件，求证：直线l过定点． ①k1＋k2＝1；②k1k2＝1. 【解答】若选①：设 A(x1，y1)，B(x2，y2).联立x42－y32＝1， 得(3－4k2)x2－8kmx－4m2
研题型 能力养成 举题说法
2 (2023·新高考Ⅱ卷)已知双曲线 C 的中心为坐标原点，左焦点为(－2 5，0)，离 心率为 5. (2) 记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点(－4，0)的直线与C的左支交于M，N两 点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P，求证：点P在定直线上．
【解答】由(1)可得 A1(－2，0)，A2(2，0).设 M(x1，y1)，N(x2，y2).显 然直线 MN 的斜率不为 0，所以设直线 MN 的方程为 x＝my－4， 且－12＜m＜12，与x42－1y62 ＝1 联立得(4m2－1)y2－32my＋48＝0，Δ ＝64(4m2＋3)＞0，则 y1＋y2＝4m322－m 1，y1y2＝4m428－1.
总结 提炼
手电筒模型：由圆锥曲线上的任一点P出发引两条弦，若两条弦所在的直线的斜率 和或斜率积是定值，则两条弦的另两个端点A，B的连线过定点．
研题型 能力养成 举题说法
目标 2 定直线问题
2 (2023·新高考Ⅱ卷)已知双曲线 C 的中心为坐标原点，左焦点为(－2 5，0)，离 心率为 5. (1) 求C的方程； 【解答】设双曲线 C 的方程为ax22－by22＝1(a＞0，b＞0).由焦点坐标可知 c＝2 5.由 e＝ ac＝ 5，可得 a＝2，则 b＝ c2－a2＝4，故双曲线 C 的方程为x42－1y62 ＝1.
研题型 能力养成 举题说法
直线 MA1 的方程为 y＝x1y＋1 2(x＋2)，直线 NA2 的方程为 y＝x2y－2 2(x－2)，联立直线 MA1
与直线
NA2
的
方
程
可
得
x＋2 x－2
＝
y2(x1＋2) y1(x2－2)
＝
y2(my1－2) y1(my2－6)
＝
my1y2－2(y1＋y2)＋2y1 my1y2－6y1
配套精练
配套精练
A组 夯基精练
1．(2023·扬州期初)已知AB为抛物线G：y2＝2px(p＞0)的弦，点C在抛物线的准线l
上．当AB过抛物线焦点F且长度为8时，AB中点M到y轴的距离为3. (1) 求抛物线G的方程；
|AB|＝x1＋x2＋p＝8， 【解答】设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由题意得x1＋2 x2＝3，
研题型 能力养成 随堂内化
随堂内化
1．(2023·梅州一模)已知动圆 M 经过定点 F1(－ 3，0)，且与圆 F2：(x－ 3)2＋y2＝
16 内切． (1) 求动圆圆心 M 的轨迹 C 的方程．
【解答】设动圆的半径为 r.由题意得圆 F2 的圆心为 F2( 3，0)，半径 R＝4，所以|MF1| ＝r，|MF2|＝R－r，则|MF1|＋|MF2|＝4＞2 3＝|F1F2|，所以圆心 M 的轨迹 C 是以 F1， F2 为焦点，长轴长为 4 的椭圆．因此轨迹 C 的方程为x42＋y2＝1.
④×⑤得y3＋
23y4－
23＝－34(x3＋
3)(x4－
3)⑥.
③－⑥得 3(y3－y4)＝－323(x3－x4)，进而 kMN＝yx33－－yx44＝－32.所以直线 MN 的斜率为
定值－32.
总结 提炼
定值问题的常见类型及解题求某线段长度为定值． 利用各种公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．
研题型 能力养成 随堂内化
【解答】①设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，T(4，m).由题可知 A(－2，0)，B(2，0)，如图，则 kAP＝x1y＋1 2，kAQ＝kAT＝4－m－(－02)＝m6 ，而 kBP＝kBT＝x1y－1 2＝m2 ，于是 m＝x12－y12，所以 kAP·kAQ＝x1y＋1 2×m6 ＝x1y＋1 2×3(x1y－1 2)＝3(x21y－21 4). 又x421＋y21＝1，所以 y21＝14(4－x21)，所以 kAP·kAQ＝143((4x12－－x421))＝ －112，为定值．
(1) 求双曲线C的方程；
【解答】因为点 P(4，3)在双曲线上，所以1a62－b92＝1.过点 P 作 x 轴的平行线 y＝3，与
y＝±bax 相交于 M，N 两点，不妨取 M3ba，3，则 N－3ba，3，所以4－3ba×4＋3ba ＝16－9ba22＝a21a62 －b92＝a2＝4，所以 a＝2. 代入1a62－b92＝1，解得 b＝ 3，所以双曲线 C 的方程为x42－y32＝1.
y＝kx＋m，
－12＝0，所以 3－4k2≠0，Δ＝(－8km)2－4(3－4k2)(－4m2－12)＞0，即 m2＋3－4k2＞ 0，x1＋x2＝3－8km4k2，x1x2＝－34－m24－k212(*).
研题型 能力养成 举题说法
因为 k1＋k2＝1，所以yx11－ －34＋yx22－ －34＝1，所以(x2－4)(kx1＋m－3)＋(x1－4)(kx2＋m－3) ＝(x1－4)(x2－4)，整理可得(2k－1)x1x2＋(m－4k＋1)(x1＋x2)－8(m－1)＝0，将(*)式代 入并整理得 m2＋2km－8k2－6k－6m＋9＝0，即(m－2k－3)(m＋4k－3)＝0，解得 m＝ 2k＋3 或 m＝－4k＋3. 当m＝2k＋3时，y＝kx＋m＝kx＋2k＋3＝k(x＋2)＋3，则直线l过定点(－2，3)；当m＝ －4k＋3时，y＝kx＋m＝kx－4k＋3＝k(x－4)＋3，则直线l过定点P(4，3)，不合题意， 舍去． 综上可得，直线l过定点(－2，3).
研题型 能力养成 随堂内化
x＝ty＋n， ②设直线 PQ 的方程为 x＝ty＋n.由x42＋y2＝1， 得(t2＋4)y2＋2tny＋n2－4＝0，所以
y1＋y2＝－t22＋tn4， y1y2＝nt22＋－44． 由①可知，kAP·kAQ＝－112，即x1y＋1 2·x2y＋2 2＝(ty1＋n＋2y)1y(t2y2＋n＋2)＝－112，化简得 4n2＋n21－6n4＋16＝－112，解得 n＝1 或 n＝－2(舍去)，所以直线 PQ 的方程为 x＝ty＋1， 因此直线 PQ 经过定点(1，0).
＝
m·4m4m28－×14－m4228－·41m3－22－m6y11＋2y1＝44－mm41822－－6mm11＋－26yy11＝－13. 由xx＋ －22＝－13，可得 x＝－1，即 xP＝－1，据此可得点 P 在定直线 x＝－1 上.
总结 提炼
要证明定点在定直线上，往往定直线为坐标轴的平行线，所以可以尝试转化为求动 点的横坐标或纵坐标为定值．
研题型 能力养成 举题说法
【解答】由yx4＝2＋12y3x2，＝1，
得 A
3， 23，B－
3，－ 23.设 C(x1，y1)，D(x2，y2)，则
y1－ kCA·kCB＝x1－
233×yx11＋ ＋
233＝xy1122－－334＝3－x123－4x12－ 3 34＝－34.
同理 kDA·kDB＝－34.设 M(x3，y3)，N(x4，y4)，则由直线 AC 过点 M 得 y3－ 23＝kAC(x3－
研题型 能力养成 举题说法
目标 3 定值问题
3 (2023·武汉武昌三模)已知椭圆 C：ax22＋by22＝1(a＞b＞0)过点 P1，32，左焦点为
F1(－1，0).
(1) 求椭圆C的方程；
【解答】由已知得a12＋49b2＝1， a2－b2＝1，
解得 a2＝4，b2＝3.故椭圆 C 的方程为x42＋y32＝1.
研题型 能力养成 随堂内化
1．(2023·梅州一模)已知动圆 M 经过定点 F1(－ 3，0)，且与圆 F2：(x－ 3)2＋y2＝
16 内切． (2) 设轨迹 C 与 x 轴从左到右的交点分别为 A，B，点 P 为轨迹 C 上异于 A，B 的动 点，设 PB 交直线 x＝4 于点 T，连接 AT 交轨迹 C 于点 Q，直线 AP，AQ 的斜率分别 为 kAP，kAQ. ①求证：kAP·kAQ 为定值； ②证明直线 PQ 经过 x 轴上的定点，并求出该定点的坐标．
研题型 能力养成 举题说法
若选②：设 A(x1，y1)，B(x2，y2).联立x42－y32＝1， 得(3－4k2)x2－8kmx－4m2－12＝ y＝kx＋m，
0，所以 3－4k2≠0，Δ＝(－8km)2－4(3－4k2)(－4m2－12)＞0，即 m2＋3－4k2＞0，x1＋ x2＝3－8km4k2，x1x2＝－34－m24－k212(*). 由 k1k2＝1，得yx11－ －34·yx22－ －34＝1，即(kx1＋m)(kx2＋m()x－1－3[4()k(xx12＋－m4))＋(kx2＋m)]＋9＝1，整
理可得k2x1x2＋(kxm1x－2－3k4)((xx11＋＋xx22))＋＋1m62－6m＋9＝1. 将(*)式代入并整理可得 7m2＋32km＋16k2－18m－9＝0，即(7m＋4k＋3)(m＋4k－3)＝
0，解得 m＝－4k＋7 3或 m＝－4k＋3.
研题型 能力养成 举题说法
当 m＝－4k＋7 3时，y＝kx＋m＝kx－4k＋7 3＝kx－47－37，则直线 l 过定点47，－37；当 m＝－4k＋3 时，y＝kx＋m＝kx－4k＋3＝k(x－4)＋3，则直线 l 过定点 P(4，3)，不合 题意，舍去． 综上可得，直线 l 过定点47，－37.
3)①. 由直线 BC 过点 N 得 y4＋ 23＝kBC(x4＋ 3)②.
①×②得y3－
23y4＋
23＝－34(x3－
3)(x4＋
3)③.
研题型 能力养成 举题说法
同理，由直线 BD 过点 M 得 y3＋ 23＝kBD(x3＋ 3)④. 由直线 AD 过点 N 得 y4－ 23＝kAD(x4－ 3)⑤.
解得 p＝2，所
以抛物线 G 的方程为 y2＝4x.
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配套精练
1．(2023·扬州期初)已知AB为抛物线G：y2＝2px(p＞0)的弦，点C在抛物线的准线l
上．当AB过抛物线焦点F且长度为8时，AB中点M到y轴的距离为3. (2) 若∠ACB为直角，求证：直线AB过定点． 【解答】直线 AB 过定点(1，0).证明如下：设 C(－1，c)，Ay421，y1，By422，y2，直线 AB 的方程为 x＝ty＋n，将 x＝ty＋n 代入 y2＝4x 得 y2－4ty－4n＝0，由 Δ＞0，得 t2＋ n＞0.
圆锥曲线中的定值与定点问题
研题型 能力养成
研题型 能力养成 举题说法
目标 1 定点问题
举题说法
1 (2023·石家庄一模)已知点 P(4，3)在双曲线 C：ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)上，过点
P 作 x 轴的平行线，分别交双曲线 C 的两条渐近线于 M，N 两点，且|PM|·|PN|＝4.
研题型 能力养成 举题说法
3 (2023·武汉武昌三模)已知椭圆 C：ax22＋by22＝1(a＞b＞0)过点 P1，32，左焦点为 F1(－1，0). (2) 如图，设直线 l：y＝12x 与椭圆 C 交于 A，B 两点，点 M 为椭圆 C 外一点，直线 AM，BM 分别与椭圆 C 交于点 C，D(异于点 A，B)，直线 AD，BC 交于点 N，求证： 直线 MN 的斜率为定值．