应用线性回归模型校准液压千斤顶

应用线性回归模型校准液压千斤顶
【摘要】本文先介绍了最小二乘法的定义和最小二乘法在线性回归模型中的表示方法。

然后再介绍了最小二乘法的相关公式。

最后利用已经校准的液压千斤顶来检测井盖的破坏荷载是否满足规范要求。

一、最小二乘法与线性回归模型
1、最小二乘法的定义
在实际工作中，常常会遇到这样的问题：给出两个变量x，y的n组试验数据，怎么才能从中找出变量x、y的函数关系式呢？然后利用这个函数关系式对x与y之间的除了试验数据之外的其它对应情况作出某种判断。

这样的问题一般可以分为两类：一类是对x与y之间所存在的对应规律一无所知，这时要从试验数据中找出符合实际情况的函数关系式是很困难的，这类问题为黑箱问题；另一类是通过问题作出分析，然后再建立数学模型或者通过整理归纳试验数据，得出x与y之间符合某种类型的函数关系式，其中有m个待定参数，这些参数的值可以通过n组试验数据来确定，这类问题称为灰箱问题。

解决灰箱问题的方法通常会利用到“最小二乘法”。

2、最小二乘法在线性回归模型中的表示方法
上面我们已经说明了最小二乘法的数据全部来自于试验取得。

在建立一元线性回归方程中，虽然有很多种不同的方法来求样本回归函数，但是在回归分析中最常用的方法就是最小二乘法。

如果变量x与y有精确的线性关系比如说y=kx+b，那么观测值
与回归值是相等的。

然而在实际工作中诸多变量的关系不一定都是如此，由于受到许多随机因素的干扰使得物与物之间没有那么明确的一一对应关系。

那么我们就需要通过数学的方法来来使之对应。

首先通过试验取得数据，其次把数据描绘出来。

然后拟合一条跟已知的函数图像最为接近的曲线，这样就可以相对地将他们之间的关系表示出来了。

在处理诸如此类的事件中常常应用到最小二乘法。

3、最小二乘法的适用范围
（1）本文所讨论的最小二乘法仅且只适用于一元线性函数，比如y=bx+a。

（2）不适用于非线性函数和多元线性函数。

二、最小二乘法的公式
为了定量地给出y=bx+a与实验数据之间线性关系的符合程度，可以用Pearson（皮尔逊）相关系数R来衡量。

它的表达式为：相关系数R值在0< | R |≤1中，R值越接近于1，则x与y的线性关系越好。

当R接近于0时，则实测数据点分散为非线性。

所以我们必须找出一种方法来鉴别数据是否能使用拟合，判断的方法是| R |< 时，实测数据是非线性的。

称为相关系数R的起码值与实测次数n有关，如下表一所示。

在进行一元线性拟合之前应先求出R值，在与比较。

若| R |> 时，则x和y具有线性关系，可求回归方程；否则不满足要求，需要采用其他类型的函数关系式。

三、在建筑工程检测中的应用实例
工程实例：某道路工程需要检测井盖的承载力是否符合规范要求。

3.1试验仪器设备
（1）电液式万能试验机：最大量程600kN。

（2）一台电脑：与电液式万能试验机连接对试验数据进行同步采集。

（3）千斤顶和油压表：①千斤顶，最大顶推重量50吨。

②油压表，最大压力值100MPa。

（4）井盖
（5）反力架
3.2试验过程
（1）对千斤顶进行校准
①电液式万能试验机校准零点。

②千斤顶油缸升起少许。

③用千斤顶顶推电液式万能试验机横梁。

千斤顶逐渐加压，从0MPa、10 MPa…70 MPa。

这时与电液式万能试验机相连的电脑将自动采集压力值0kN、52kN…425kN。

（如图一）。

④利用最小二乘法建立线性回归方程。

通过对上述实测数据进行整理并计算，从而建立线性回归方程来确定油压表上某一读数值所对应的压力值。

（2）将井盖放在反力架上。

（3）将校准后的千斤顶置于井盖上边。

然后用千斤顶对井盖施加荷载，直到井盖破坏，记录破坏荷载
值，用线性回归方程换算成压力值，将其与规范进行比较得出结论。

3.3试验数据与计算过程
（1）油压表值与电液式万能试验机实测压力值
油压表值（MPa）： 10，20，30， 38， 46， 54， 62， 70
实测压力值（kN）：52， 113，178，227，274，324，372，425 （2）得出实测散点图（见散点图一）
（3）运用最小二乘法公式（1-1式、1-2式）进行计算。

设：油压表值为x，电液式万能试验机压力值为y，n=8；
=6.186；a= -b =-9.548
由y=bx+a得，y=6.186x-9.548 （1-3式）
需要对函数y=6.186x-9.548 是否符合一元线性拟合进行判定。

查“表一：相关系数起码值”，当n=8时 =0.834
通过计算Pearson（皮尔逊）相关系数R得
=0.999> =0.834
则x与y之间具有一元线性关系，所以可以采用最小二乘法确定线性回归方程。

（4）将油压表值带入（1-3式）得出与之相对应的计算压力值油压表值（MPa）：
10， 20， 30， 38， 46， 54， 62， 70
计算压力值（kN）：52.312，114.172，176.032，225.52，275.008，327.496，373.984，423.472
（5）得出计算散点图（见散点图二）
（6）将实测散点值与计算散点值进行比较（见散点图三）
由此可见经过计算得出的散点值几乎与实测散点值重合，那么我们就可以断定油压表值与压力值之间满足y=6.186x-9.548的函数关系式。

从而得出液压千斤顶校准方程为y=6.186x-9.548。

四、结论
（1）通过建筑工程检测实例充分证明了此种方法简单易行，试验结果稳定可靠，在实际工作中具有广泛的使用价值。

（2）在这个工程案例中体现了应用数学与建筑工程之间的完美结合。

参考文献
1、《高等数学》，同济大学数学系编，高等教育出版社出版。

2、检查井GB/T 23858-2009。