2019-2020学年重庆市高一下学期期末联合检测数学试题(解析版)

2019-2020学年重庆市高一下学期期末联合检测数学试题
一、单选题
1．直线10ax y -+=与320x y ++=垂直，则实数a =（ ） A ．3- B ．13
-
C ．
13
D ．3
【答案】C
【解析】由直线10ax y -+=与320x y ++=垂直，可得()3110a ⨯+-⨯=，即求a 的值. 【详解】
直线10ax y -+=与320x y ++=垂直，
()3110a ∴⨯+-⨯=，
13
a ∴=
. 故选：C . 【点睛】
本题考查两条直线的位置关系，属于基础题.
2．已知向量(1,2)a →
=，(2,2)b →=，则||a b →→
+=（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7
【答案】B
【解析】利用向量的加法、模的坐标运算计算即可. 【详解】
(1,2)a →
=，(2,2)b →
=，
∴(3,4)a b →
→
+=，
||5a b →→
∴+==，
故选：B 【点睛】
本题主要考查了向量的加法、模的坐标运算，属于容易题.
3．某学校采购了10000只口罩，其中蓝色､粉色､白色的比例为5:3:2，若采用分层抽样的方法，取出500只分发给高一年级学生使用，则抽到白色口罩的只数为（ ）
A ．300
B ．250
C ．200
D ．100
【答案】D
【解析】根据口罩的比例可求得选项. 【详解】
由题意可知蓝色口罩有5
10000500010
⨯=（只）， 粉色口罩有3
10000300010⨯
=（只）， 白色口罩有2
10000200010
⨯=（只）， 则抽到白色口罩的只数为500
200010010000
⨯=（只），
故选：D. 【点睛】
本题考查分层抽样方法，关键在于根据各比例进行抽样，属于基础题.
4．已知甲､乙两组数据的茎叶图如图所示，则甲组数据的众数与乙组数据的中位数分别是（ ）
A ．52，65
B ．52，66
C ．73，65
D ．73，66
【答案】C
【解析】由茎叶图中的数据，再结合众数、中位数的概念，即可求解. 【详解】
解：根据茎叶图中的数据知：
甲组数据的众数是73；乙组数据的中位数是1
(6664)652
+=. 故选：C 【点睛】
本题考查了茎叶图、众数、中位数的应用问题，考查理解辨析能力. 5．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2114a a +=，则12S =（ ） A ．12 B ．24
C ．36
D ．40
【答案】B
【解析】利用等差数列的性质可求12S . 【详解】
因为{}n a 为等差数列，故()112
12211126242
a a S a a +=⨯=+=， 故选：B. 【点睛】
一般地，如果{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，则有性质：
（1）若,,,*,m n p q N m n p q ∈+=+，则m n p q a a a a +=+；
（2）()
1,1,2,
,2
k n k n n a a S k n +-+=
= 且()2121n n S n a -=- ；
（3）2
n S An Bn =+且n S n ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
为等差数列； （4）232,,,
n n n n n S S S S S -- 为等差数列.
6．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，cos sin a C c A =，则C =（ ）
A ．
4
π
B ．
2
π C ．
23
π D ．
34
π 【答案】A
【解析】利用正弦定理将边转化为角得到cos sin C C =，再由角C 的范围可得选项. 【详解】
因为cos sin a C c A =，
所以由正弦定理得sin cos sin sin A C C A =，所以cos sin C C =，即tan 1C =， 又因为C 为ABC 的内角， 所以4
C
π
．
故选：A ． 【点睛】
本题主要考查正弦定理和同角三角函数间的关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
7．从单词“book ”的四个字母中任取2个，则取到的2个字母不相同的概率为（ ） A ．
13
B ．
12
C ．
23
D ．
34
【答案】D
【解析】从四个字母中取2个，列举出所有的基本事件，即得所求的概率. 【详解】
从四个字母中取2个，所有的基本事件为：,,,bo bk oo ok ，共有4个； 其中“取到的2个字母不相同”含有,,bo bk ok 3个，
故所求概率为34
. 故选：D. 【点睛】
本题考查古典概型，属于基础题.
8．已知各项均为正数的等比数列{}n a 中，22a =，54323a a a =+，则6a =（ ） A ．2 B ．54
C ．162
D ．243
【答案】C
【解析】设等比数列{}n a 的公比为q (0)q >，由题意可得14321
112
23a q a q a q a q =⎧⎨=+⎩，解
方程后代入等比数列通项公式n m
n m a a q -=，即可求解.
【详解】
解：设等比数列{}n a 的公比为q (0)q >， 由题意可得14321112
23a q a q a q a q
=⎧⎨
=+⎩， 解得3q =，
462162a a q ∴==.
故选：C 【点睛】
本题考查等比数列的通项公式的应用，考查运算求解能力与方程思想，属于基础题.
9．已知变量,x y 满足不等式组22003x y x y y +-≥⎧⎪
-≤⎨⎪≤⎩
，则2z x y =-的最大值为（ ）
A ．3-
B ．23
-
C ．1
D ．2
【答案】B
【解析】画出不等式组表示的区域，将目标函数2z x y =-转化为22
x z
y =
-，表示斜率为
1
2截距为2
z -平行直线系，当截距最小时，z 取最大值，由图即可求解. 【详解】
解：画出不等式组表示的区域，如图中阴影部分所示：
故将目标函数2z x y =-转化为22
x z
y =
-， 表示斜率为
1
2截距为2
z -平行直线系， 所以当截距最小时，z 取最大值， 由图可知，使得直线22x z
y =
-经过可行域且截距最小时的解为22,33C ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 此时242
333
max z =-=-. 故选：B 【点睛】
本题考查了线性规划的应用，注意将目标函数化成斜截式，从而由截距的最值确定目标函数的最值.
10．中国是发现､研究和运用勾股定理最古老的国家之一，最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽，他创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如图所示的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，已知四个直角三角形的两条直角边的长度之比为
1
2
，若向大正方形中随机投入一点，则该点落入小正方形的概率为（）
A．
1
25
B．
1
9
C．
1
5
D．
1
3
【答案】C
【解析】由已知的线段的长度比，得出两正方形的面积，运用概率公式可得选项.
【详解】
设直角三角形的两直角边分别为1和222
125
+=
5
所以小正方形的边长为211
-=，面积为1，大正方形的面积为2
5)5
=.
所以飞镖落在小正方形内的概率为
1
5
.
故选：C.
【点睛】
本题考查几何概型，关键在于由长度的关系得出大正方形和小正方形的面积，属于中档题.
11．在ABC中，角,,
A B C的对边分别为,,
a b c，若222
2
a b c
+，则角C的最大值为（）
A．
2
π
B．
3
π
C．
4
π
D．
6
π
【答案】B
【解析】根据余弦定理及条件，利用基本不等式可求出余弦的最小值，即可得到C的最大值.
【详解】
222
cos
2
a b c
C
ab
+-
=，222
2
a b c
+
()
2222
22
1
21
2
cos
2442
a b a b a b ab
C
ab ab ab
+-++
∴==，当且仅当
a b
=时等号成立，
02
C π
<<
，
∴C 的最大值为
3
π
，此时ABC 为等边三角形. 故选：B 【点睛】
本题主要考查了余弦定理，基本不等式，余弦函数的单调性，属于中档题.
12．已知P 为ABC 在平面内的一点，2,||4BP PC AP ==，若点Q 在线段AP 上运动，则(2)QA QB QC ⋅+的最小值为（ ） A ．92- B ．12-
C ．32-
D ．4-
【答案】B
【解析】由已知条件和向量的线性关系表示32QP QB QC =+，代入得
(2)QA QB QC ⋅+3||||QA QP =-⋅，由向量的长度可得最值.
【详解】
2BP PC =，()
++2+2+QP QB BP QB PC QB PQ QC ∴===，12
33
QP QB QC ∴=+，
32QP QB QC ∴=+，
(2)3QA QB QC QA QP ∴⋅+=⋅=3||||QA QP -⋅，
设||[0,4]QA m =∈，则
()2
2(2)3(4)312321212QA QB QC m m m m m ⋅+=--=--=-≥-（当
[]20,4m =∈时取等号）.
所以(2)QA QB QC ⋅+的最小值为12-. 故选：B .
【点睛】
本题考查向量间的线性关系，向量的数量积运算及最值的求解，关键在于运用已知向量
表示待求的向量，属于中档题.
二、填空题
13．已知ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，2a =，4
B π
=，1cos 3
A =
，则b =_____. 【答案】
32
【解析】先求出sin A ，然后用正弦定理求得b ． 【详解】
在ABC
中，sin 3A ===， 由正弦定理sin sin a b A B
=
得2sin
sin 3sin 2a B b A π
===．
故答案为：32
． 【点睛】
本题考查正弦定理，掌握正弦定理是解题关键．
14．已知单位向量,a b 满足|2|2a b -=，则a 与b 的夹角的余弦值为_____. 【答案】
14
【解析】将|2|2a b -=两边平方后可得a b ⋅，从而可求夹角的余弦值. 【详解】
由|2|2a b -=可得22444a a b b -⋅+=，
因为,a b 为单位向量，故1411cos ,414b a -⨯⨯⨯+⨯=， 故,1
cos 4
a b =， 故答案为：14
【点睛】
向量的数量积有两个应用：（1）计算长度或模长，通过用a a a =
来求；（2）计算
角，cos ,a b a b a b
⋅=
.特别地，两个非零向量,a b 垂直的等价条件是0a b ⋅=.
15．已知0x >，0y >，且18
2x y
+=，则2x y +的最小值为_____. 【答案】9
【解析】将2x y +变形后利用基本不等式可求其最小值 【详解】
1816162(2)(2)2810218x y x y x y x y y x ⎛⎫+=++=++++= ⎪⎝⎭
，
29x y ∴+≥，等号成立时3
2
x =
，6y =. 故答案为：9. 【点睛】
应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果原代数式中没有积为定值或和为定值，则需要对给定的代数变形以产生和为定值或积为定值的局部结构.求最值时要关注取等条件的验证.
16．已知数列{}n a 的通项公式为231n
n a n =-+，将数列{}n a 中的奇数项按原顺序依
次排列得到新数列{}n b ，则数列{}n b 的前n 项和为_____. 【答案】
2224333
n n n ⋅-+- 【解析】首先写出n b ，然后用分组求和法求和． 【详解】
由题知21
2112
3(21)14642
n n
n n b a n n --==--+=⋅-+， 所以其前n 项和为
211146144624464222n n S n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=⨯-⨯++⨯-⨯++
+⨯-⨯+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
21
(444)6(12)42
n n n =+++-⨯++
++
()241411226(1)443214233
n
n n n n n n -=⨯-⨯++=⋅-+--． 故答案为：222
4333
n n n ⋅-+-． 【点睛】
本题考查分组求和法，当一个数列是由等差数列和等比数列相加减所得，则其前n 项和可用分组求和法，分组为等差数列的和和等比数列的和，分别应用公式计算可得．
三、解答题
17．已知ABC 中，点(1,3),(2,1),(1,0)A B C -. （1）求直线AB 的方程； （2）求ABC 的面积.
【答案】（1）250x y +-=；（2）
7
2
. 【解析】（1）求出直线AB 斜率，由点斜式写出直线方程并整理一般式； （2）求出C 到直线AB 的距离，即三角形的高，再求出边AB 的长，可得面积． 【详解】
（1）直线AB 的斜率为
13
221
-=--， 直线AB 的方程为：12(2)y x -=--，即250x y +-=； （2）点C 到直线AB 的距离
d =
=
||AB ==
故ABC 的面积17||22
S AB d =⋅=. 【点睛】
本题考查求直线方程，求三角形面积，直线方程有多种形式，可根据已知条件用各种形式写出直线方程，只是最后一般都要化为一般式或斜截式． 18．已知函数2()(21)1,f x x a x a a R =-+++∈. （1）当1a =时，求不等式()0f x 的解集；
（2）若关于x 的不等式()0f x 的解集为R ，求a 的取值范围.
【答案】（1）[1,2]；（2）⎡⎢⎣⎦
. 【解析】（1）将1a =代入，解二次不等式的解集即可； （2）令0∆≤即可； 【详解】
解：（1）当1a =时，2320x x -+，(1)(2)0x x --，故解集为[1,2]；
（2）由题知22
(21)4(1)430a a a ∆=+-+=-，解得a ⎡∈⎢⎣⎦
. 【点睛】
本题考查二次不等式的解法及二次不等式的恒成立问题，较简单.一般地，二次不等式
2
0ax bx c ++≥恒成立时，利用2
40a b ac >⎧⎨∆=-≤⎩
求解. 19．己知向量(1,2)a =-，||25b =. （1）若b a λ=，其中0λ<，求b 的坐标； （2）若a 与b 的夹角为
23
π
，求()(2)a b a b -⋅+的值. 【答案】（1）(2,4)-；（2）5-.
【解析】（1）由向量模的坐标表示求出λ，可得b 的坐标； （2）根据向量数量积的运算律及数量积的定义计算． 【详解】
（1）由题知(,2)b λλ=-，2||(|b λλ=+==2λ=-，
故(2,4)b =-；
（2）21(a =+-= ∴
222221()(2)22||||cos
105220532a b a b a a b b a a b b π⎛⎫
-⋅+=-⋅-=-⋅-=-⋅--=- ⎪⎝⎭
. 【点睛】
本题考查向量模的坐标表示，考查向量数量积的运算律，掌握数量积的运算律是解题关键．
20．自我国爆发新冠肺炎疫情以来，各地医疗单位都加紧了医疗用品的生产，某医疗器械厂统计了口罩生产车间每名工人的生产速度，将所得数据分成五组并绘制出如图所示的频率分布直方图.已知前四组的频率成等差数列，第五组与第二组的频率相等.
（1）估计口罩生产车间工人生产速度的中位数；
（2）为了解该车间工人的生产速度是否与他们的工作经验有关，现从车间所有工人中随机抽样调查了5名工人的生产速度以及他们的工龄(参加工作的年限)，数据如下表： 工龄x (单位：年)
6 8 12 10 14 生产速度y (单位：件/小时) 40
55
60
60
65
根据上述数据求每名工人的生产速度y 关于他的工龄x 的回归方程ˆˆˆy
bx a =+，并据此估计该车间某位有18年工龄的工人的生产速度.
回归方程ˆˆˆy
bx a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()
()
1
2
1
ˆn
i
i
i n
i i x x y y b
x x ==--=-∑∑，ˆˆa
y bx =-. 【答案】（1）4559
；（2）回归直线为1157
ˆ42y x =+，有18年工龄的工人的生产速度为
78件/小时.
【解析】（1）设前4组的频率分别为1234,,,a a a a ，公差为d ，由题设可求各组频率为
0.06,0.16,0.26,0.36,0.16 ，前3组的频率之和为0.48，设中位数为x ，则x 介于50,60之间且0.50.48
50100.36
x -=+
⨯，故可求中位数.
（2）利用公式可求线性回归方程，从而可估计18年工龄的工人的生产速度. 【详解】
（1）设前4组的频率分别为1234,,,a a a a ，公差为d ，由题知
210.016100.16a a d =+=⨯=
故123414610.016100.84a a a a a d +++=+=-⨯=，
联立解得10.06a =，0.1d =，
故各组频率分别为：0.06,0.16,0.26,0.36,0.16. 又1230.48a a a ++=，
∴中位数为40.50.48455
50109
a -+
⨯=. （2）10x
=，56y =，
()()
()
1
2
1
ˆn
i
i
i n
i
i x x y y b
x x ==--=-∑∑
22222
(610)(4056)(810)(5556)(1210)(6056)(1010)(6056)(1410)(6556)(610)(810)(1210)(1010)(1410)--+--+--+--+--=
-+-+-+-+-114
=
. 故1157ˆˆ561042a
y bx =-=-⋅=，回归直线为1157
ˆ42
y x =+，
当18x =时，ˆ78y
=，估计该车间某位有18年工龄的工人的生产速度为78件/小时. 【点睛】
本题考查频率分布直方图的应用以及线性回归方程的计算与应用，利用前者求中位数，实际上就是求诸矩形面积的等分线所对应的值，本题属于中档题.
21．在ABC 中，10AC =，CD 平分ACB ∠交AB 于点D ，已知2CD =
，
4
BDC π
∠=
.
（1）求AD ； （2）求
BD
BC
. 【答案】（1）2；（210.
【解析】（1）由题意结合余弦定理可得22
2
3
2cos 4
AD CD AD CD AC π+-⋅⋅=，解方程即可得解；
（2）由题意分别在ADC 、BDC 中使用正弦定理，可得
sin sin sin sin BD DCB DCA AD
BC BDC ADC AC
∠∠===∠∠，即可得解. 【详解】 （1）由4
BDC π
∠=
可得34
ADC π∠=
， 在ADC 中，由余弦定理可得2
2
2
3
2cos 4
AD CD AD CD AC π+-⋅⋅=, 即2280AD AD +-=，解得2AD =或4AD =-（舍去）， 所以2AD =；
（2）在ADC
中，由正弦定理可得
sin sin DCA AD ADC AC ∠===
∠因为CD 平分ACB ∠，4
BDC π
∠=
，
所以sin sin DCA DCB ∠=∠，sin sin ADC BDC ∠=∠， 所以在BDC
中，由正弦定理可得sin sin sin sin BD DCB DCA BC BDC ADC ∠∠===
∠∠. 【点睛】
本题考查了余弦定理解三角形及正弦定理边角互化的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.
22．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，833723,a a S a -==. （1）求n a 及n S ； （2）设1
1
n n n b a a +=
，数列{}n b 的前n 项和为n T ，是否存在正整数(,)m n m n <，使得5
3
T ，,m n T T 成等比数列？若存在，求出所有满足条件的,m n ；否则，请说明理由. 【答案】（1）21n a n =+，22n S n n =+；（2）存在，满足条件的,m n 只有一组636m n =⎧⎨=⎩
. 【解析】（1）设公差为d ，则可得关于1,a d 的方程组，求出其解后可得通项公式. （2）利用裂项相消法可求n T ，从而可得关于,m n 的不定方程，用m 表示n 后根据m n <可得m 的范围，结合m 为正整数得到m 的取值，逐个讨论后可得,m n 的值.
【详解】
（1）设公差为d ，则()1111722332
362a d a d a d a d ⎧+-+=⎪
⎨⋅+=+⎪⎩
， 解得13a =，2d =，
1(1)21n a a n d n ∴=+-=+，21(1)
22
n n n S na d n n -=+
=+； （2）1111(21)(23)22123n b n n n n ⎛⎫
=
=- ⎪++++⎝⎭
，
111111
12355721233(23)n n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=
-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
， 又151
39T =，由题得2219(23)93(23)m n m n =⋅++，即22
3(23)23m n m n =++， 2
2
2
694129m n m m n mn n ∴+=++，即2
2
91292m n m m
=+-(*) 由题知22
91292m m m m >+-且*
m N ∈，故2
2129202390
m m m m ⎧+->⎨-->⎩， 故37m <<，
故只需考虑456m ,,=，4m =时14425n =
，5m =时225
19
n =，6m =时36n =， 又*n N ∈，故满足条件的,m n 只有一组：6
36
m n =⎧⎨=⎩.
【点睛】
本题考查等差数列通项、裂项相消法求和以及不定方程的正整数解的求法，一般地，数列求和需观察通项的特征，而不定方程的整数问题可通过构建不等式或不等式组来确定解的情况，本题属于较难题.。