高考数学解答题专项训练

赣马高级中学解答题专题训练6
1．已知数列｛a n ｝满足1
11,3n n a a -==1(2)n a n -+≥。

求数列｛a n ｝的通项公式。

2．已知数列{a n }满足a 1=1,且a n+1 =3n a +2,求n a 。

3．已知数列{a n }中，a 1=1，且a n+1=3a n +2n-1(n=1,2,…),求数列{a n }的通项公式。

4．已知数列｛a n ｝满足111,3n n a a a -==1
3(2),n n -+≥求a n 。

5．已知数列1{}1,n a a =满足 n a =132(2).n
n a n -+≥求a n 。

6．观察下列三角形数表
1 -----------第一行
2 2 -----------第二行
3
4 3 -----------第三行 4 7 7 4 -----------第四行
5 11 14 11 5
… … … …
… … … … …
假设第n 行的第二个数为(2,N )n a n n *
≥∈，
（Ⅰ）依次写出第六行的所有6个数字；（Ⅱ）归纳出1n n a a +与的关系式并求出n a 的通项公式；
7．附加题：设数列{}n a 的前n 项和为n S ，对一切*
n N ∈，点,n S n n
⎛⎫
⎪
⎝
⎭
都在函数()2n a f x x x =+ 的图象上． 求123,,a a a 的值，猜想n a 的表达式，并用数学归纳法证明；
赣马高级中学解答题专题训练7
数列（二） 命题：张宜体 审核：王怀学
1．已知等差数列}{n a 的前n 项和为S n ，且2
6
2-+=n n S n （*N n ∈），求数列}{n a 的通项公式a n ；
2．已知数列{a n }，满足a 1=1，a n =a 1+2a 2+3a 3+…+(n －1)a n －1(n ≥2)，则{a n }的通项。

练习：在数列{a n }中，若a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n ，求333
12n a a a +++…=
3．已知数列}2{1n n a ⋅-的前n 项和96n S n =-．求数列｛n a ｝的通项公式；
4．已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，当2n ≥时，点111(
,)n n S S -在()2f x x =+的图像上, 且112
S =．
（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）设1
2
)5()(,)1(2+++=-=n n n n b n b n f a n b 求的最大值及相应的n 值.
练习1：已知{}n a 是一个等差数列，且21a =，55a =-．
（Ⅰ）求{}n a 的通项n a ； （Ⅱ）求{}n a 前n 项和S n 的最大值．
练习2：设4
7
10
310()22222()n f n n N +=+++++∈，则()f n =
赣马高级中学解答题专题训练8
数列（三） 命题：张宜体 审核：王怀学
1．设等比数列}{n a 的公比为q , 前n 项和为n S , 若12,,n n n S S S ++成等差数列, 求q 的值.
2．数列{a n }的前n 项和记为S n ，()111,211n n a a S n +==+≥。

（I ）求{a n }的通项公式;
（II ）等差数列{b n }的各项为正，其前n 项和为T n ，且315T =，又112233,,a b a b a b +++成等比数列，求T n
3．数列{}n a 的前n 项和为*
11,1,2()n n n S a a S n N +==∈。

（1）求数列{}n a 的通项n a ；（2）求数列{}n na 的前n 项和n T 。

4．在数列{}n a 中，11a =，22a =，且11(1)n n n a q a qa +-=+-（2,0n q ≥≠）．
（Ⅰ）设1n n n b a a +=-（*n N ∈），证明{}n b 是等比数列；
（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅲ）附加题：若3a 是6a 与9a 的等差中项，求q 的值，并证明：对任意的*
n N ∈，n a 是3n a +与6n a +的等差中项．
5． 已知{}n a 是公差为d 的等差数列，它的前n 项和为n S ,4224S S =+,1n
n n
a b a +=
． （1）求公差d 的值；（2）若15
2
a =-，求数列{}n
b 中的最大项和最小项的值； （3）附加题：若对任意的*n N ∈，都有8n b b ≤成立，求1a 的取值范围．
赣马高级中学解答题专题训练9
数列（三） 命题：张宜体 审核：王怀学
1．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，其中0n a ≠，1a 为常数，且1a -、n S 、1n a +成等差数列．
（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）附加题：设1n n b S =-，问：是否存在1a ，使数列{}n b 为等比数列？若存在，求出1a 的值； 若不存在，请说明理由．
2．设数列{}{},n n a b 满足1122336,4,3a b a b a b ======，若{}1n n a a +-是等差数列，{}1n n b b +-是
等比数列.（1）分别求出数列{}{},n n a b 的通项公式； （2）求数列{}n a 中最小项及最小项值；
（3）附加题：是否存在*
k N ∈，使10,
2k k a b ⎛⎫
-∈ ⎪⎝⎭
，若存在，求满足条件的所有k 值；若不存在，请说明理由.
3．已知递增数列{}n a 满足：11a =，122n n n a a a ++=+ ()
*
n N ∈，且1a 、2a 、4a 成等比数列。

（I ）求数列{}n a 的通项公式n a ；
（II ）附加题：若数列{}n b 满足：()2
1123,1n n n b b n b b +=--+≥， ()
*n N ∈。

①用数学归纳法证明：n n b a ≥；②记123
111
13333n n T b b b b =
++++
++++，证明：1
2
n T <。

赣马高级中学解答题专题训练6答案
1．已知数列｛a n ｝满足1
11,3n n a a -==1(2)n a n -+≥。

求数列｛a n ｝的通项公式。

解析：由已知得：故,31
1--=-n n n a a 112()()n n n n n a a a a a ---=-+-+
211()a a a +-+
=1
2
3331n n --++++31.2n -=∴2
13-=n n a . 2．已知数列{a n }满足a 1=1,且a n+1 =3n a +2,求n a 。

解析：设13()n n a t a t ++=+，则132n n a a t +=+，1t =，
113(1)n n a a ++=+{1}n a ∴+为等比数列，1111(1)323n n n a a --+=+=⋅，1231n n a -=⋅-
3．已知数列{a n }中，a 1=1，且a n+1=3a n +2n-1(n=1,2,…),求数列{a n }的通项公式。

解析：设1(1)3(n n a p n q a ++++=)pn q ++，1322n n a a pn q p +=++-，解得，1,0p q ==。

容易得到，数列{a n }的通项公式n a 1
23
n -=•n -。

4．已知数列｛a n ｝满足111,3n n a a a -==1
3(2),n n -+≥求a n 。

解： 1
133(2),n n n a a n --=+≥两边同时除以13n -，得
1121,33n n n n a a ---=+数列1
{}3n
n a -是以1为首项、1为公差
的等差数列，
1
1(1)13
n n a n n -=+-⨯=,所以，1
3n n a n -= 5．已知数列1{}1,n a a =满足 n a =132(2).n
n a n -+≥求a n 。

解析：设1132(3)n n n n a a λλ--+=+。

解得3λ=-。

所以，1132(3)n n
n n a a +--=-。

数列1{3}n n a +-是首项
为8-公比为2的等比数列。

因此，1
1382n n n a +--=-⨯，所以n a =1232n n ++-。

6．观察下列三角形数表
1 -----------第一行
2 2 -----------第二行
3
4 3 -----------第三行 4 7 7 4 -----------第四行
5 11 14 11 5
… … … …
… … … … …
假设第n 行的第二个数为(2,N )n a n n *
≥∈，
（Ⅰ）依次写出第六行的所有6个数字；
（Ⅱ）归纳出1n n a a +与的关系式并求出n a 的通项公式；
解：（1）第六行的所有6个数字分别是6，16，25，25，16，6；（2）依题意)2(1≥+=+n n a a n n ，22=a
)(......)()(134232--++-+-+=n n n a a a a a a a a (2)(1)
223......(1)22
n n n -+=++++-=+
，
所以)2(12
1
212≥+-=
n n n a n 7．附加题：设数列{}n a 的前n 项和为n S ，对一切*
n N ∈，点,n S n n
⎛
⎫
⎪
⎝
⎭
都在函数()2n a f x x x =+ 的图象上． 求123,,a a a 的值，猜想n a 的表达式，并用数学归纳法证明；
解：因为点,n S n n
⎛
⎫
⎪
⎝
⎭
在函数()2n a f x x x =+的图象上， 故
2n n S a n n n =+，所以21
2
n n S n a =+． 令1n =，得111
12
a a =+，所以12a =；
令2n =，得1221
42
a a a +=+，所以24a =；
令3n =，得12331
92
a a a a ++=+，所以36a =．
由此猜想：2n a n =．用数学归纳法证明如下： ① 当1n =时，有上面的求解知，猜想成立． ② 假设 (1)n k k =≥时猜想成立，即2k a k =成立，
则当1n k =+时，注意到2
1
2
n n S n a =+
*()n N ∈， 故2111(1)2k k S k a ++=++，2
12
k k S k a =+．
两式相减，得1111
2122
k k k a k a a ++=++-，所以142k k a k a +=+-．
由归纳假设得，2k a k =，
故1424222(1)k k a k a k k k +=+-=+-=+． 这说明1n k =+时，猜想也成立．
由①②知，对一切*
n N ∈，2n a n =成立 ．
赣马高级中学解答题专题训练7答案
1．已知等差数列}{n a 的前n 项和为S n ，且2
6
2-+=n n S n （*N n ∈），求数列}{n a 的通项公式a n ；
解：由题意，当n=1时，a 1=S 1=－2 当2≥n 时，有
.26
)1()1(26221
n n n n n S S a n n n =--+---+=-=- ∴⎩⎨⎧≥=-=)2(
)1(2n n n a n
2．已知数列{a n }，满足a 1=1，a n =a 1+2a 2+3a 3+…+(n －1)a n －1(n ≥2)，则{a n }的通项。

解析：12323n a a a a =+++
1(1) ,n n a -+-(n ≥2)，1123223(2) ,n n a a a a n a --=+++
+-（n ≥3）两式相减，
得1 ,n n a n a -=⨯推广12(1) ,n n a n a --=-⨯32,3 ,a a =⨯当n=2时, a 2=a 1(1)(2)
n a n n n =-
-
2!32
n a =。

练习：在数列{a n }中，若a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n ，求33312n a a a +++…=8
7(8n －1＋6)
3．已知数列}2{1n n a ⋅-的前n 项和96n S n =-．求数列｛n a ｝的通项公式； 解： 1n =时，011123,3a S a ⋅==∴=; 当1
12
3
2,26,2n n n n n n n a S S a ----≥⋅=-=-∴=
时． 2
3(1)3
(2)
2n n n a n -=⎧⎪
∴=⎨-≥⎪⎩通项公式
4．已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，当2n ≥时，点111(
,)n n S S -在()2f x x =+的图像上, 且11
2
S =． （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）设1
2
)5()(,)1(2+++=
-=n n n n b n b n f a n b 求的最大值及相应的n 值.
解： （Ⅰ）∵点111(
,)n n S S -在()2f x x =+的图像上, )2(2111
≥=-∴-n S S n n 111{
}2n S S ∴=数列是首项为公差为2的等差数列)1(221-+=∴n S n n
S n 21=∴ 当)
1(21
)1(2121,21--=--=
-=≥-n n n n S S a n n n n 时 当2111===n S a n 时⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-==)2()
1(21)1(2
1
n n n n a n
（Ⅱ）由已知得n
a n
b n b n n 1
)1(2)1(,2,01=
-=≥=知由时 9151
4
111
1)5(21)5()(1
2
≤
+++
+=+⋅
++=
+=
++n n n n n b n b n f n n 。

当且仅当n=1时，9
1)(取最大值n f 。

练习1：已知{}n a 是一个等差数列，且21a =，55a =-．（Ⅰ）求{}n a 的通项n a ； （Ⅱ）求{}n a 前n 项和S n 的最大值．解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，由已知条件，111
45
a d a d +=⎧⎨
+=-⎩，解出13a =，2d =-．
所以1(1)25n a a n d n =+-=-+．（Ⅱ）21(1)
42
n n n S na d n n -=+
=-+24(2)n =--．所以2n =时，n S 取到最大值4．练习2：设4710310()22222()n f n n N +=++++
+∈，则()f n =
4
2(81)7
n +-； 赣马高级中学解答题专题训练8答案
1．解: 若1q =, 则111(1)(2)2n a n a na +++=, 10,232a n n ≠∴+=, 不合要求;
若1q ≠, 则
12111(1)(1)2(1)111n n n a a a
q q q q q q
++-+-=⋅----, 122n n n q q q ++∴+=, 220, 2.q q q ∴+-=∴=-综上, 2q =-.
2． 数列{a n }的前n 项和记为S n ，()111,211n n a a S n +==+≥（I ）求{a n }的通项公式;
（II ）等差数列{b n }的各项为正，其前n 项和为T n ，且315T =，又112233,,a b a b a b +++成等比数列，求T n （I ）由121n n a S +=+可得()1212n n a S n -=+≥， 两式相减得()112,32n n n n n a a a a a n ++-==≥ 又21213a S =+= ∴213a a =，故{a n }是首项为1，公比为3得等比数列 ∴13n n a -=.
（II ）设{b n }的公差为d ，由315T =得，可得12315b b b ++=，可得25b =，故可设135,5b d b d =-=+
又1231,3,9a a a ===由题意可得()()()2
515953d d -+++=+解得10,221-==d d ∵等差数列{b n }的各项为正，∴0d >，∴2d = …∴()213222
n n n T n n n -=+
⨯=+
3．数列{}n a 的前n 项和为*
11,1,2()n n n S a a S n N +==∈。

（1）求数列{}n a 的通项n a ；（2）求数列{}
n na 的前n 项和n T 。

解：（1）n n S a 21=+ ， *),2(21N n n S a n n ∈≥=∴-*),2(2)(211N n n a S S a a n n n n n ∈≥=-=-∴-+，即
*),2(31N n n a a n n ∈≥=+ ∴数列{}n a 从第2项起构成以3为公比的等比数列， 又
222112===a S a ∴*),2(322N n n a n n ∈≥⨯=-
又11=a 不符合上式，所以，数列{}n a 的通项
n a ⎩⎨⎧≥⨯==-2
,321,12n n n （*)N n ∈（2）n T =2323232)1(324323221--⨯⨯+⨯⨯-++⨯⨯+⨯⨯+⨯+n n n n
又3n T =12
3
2
3232)1(3243233223--⨯⨯+⨯⨯-++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+n n n n
两式相减得2-n T =12
2
32)3
33(22--⨯-++++n n n 2
1
3)21(1+⨯-=∴-n n n T
4．解：（Ⅰ）证明：由题设11(1)n n n a q a qa +-=+-（2n ≥），得11()n n n n a a q a a +--=-，即1n n b qb -=，
2n ≥．又1211b a a =-=，0q ≠，所以{}n b 是首项为1，公比为q 的等比数列．
（Ⅱ）解法：由（Ⅰ）211a a -=，32a a q -=，……，2
1n n a a q --=，（2n ≥）．
将以上各式相加，得211n n a a q q --++
+=（2n ≥）．
所以当2n ≥时，1
1,,.
1,111n n q q q a n q
-≠=⎧-+
⎪=-⎨⎪⎩
上式对1n =显然成立．
（Ⅲ）解：由（Ⅱ），当1q =时，显然3a 不是6a 与9a 的等差中项，故1q ≠．
由3693a a a a -=-可得5228q q q q -=-，由0q ≠得36
11q q -=-， ① 整理得323()20q q +-=，解得32q =-或3
1q =（舍去）
．于是q =
另一方面，21133
(1)11n n n n n q q q a a q q q +--+--==---，151
66(1)11n n n n n q q q a a q q q
-+-+--==---．
由①可得36n n n n a a a a ++-=-，*n N ∈．所以对任意的*
n N ∈，n a 是3n a +与6n a +的等差中项．
5．解：（1）∵4224S S =+，∴1134
42(2)42
a d a d ⨯+=++，解得1d =； （2）∵15
2a =-，∴数列{}n a 的通项公式为17(1)2n a a n n =+-=-，∴111172
n n b a n =+=+
- ∵函数1
()172
f x x =+
-
在7,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭和7,2⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭上分别是单调减函数，∴3211b b b <<<当4n ≥时，41n b b <≤ ∴数列{}n b 中的最大项是43b =，最小项是31b =- （2）由11n n b a =+
得1111n b n a =++-又函数11()11
f x x a =++-在()1,1a -∞-和()11,a -+∞上分别是单调减函数，且11x a <-时1y <；11x a >-时1y >.∵对任意的*n N ∈，都有8n b b ≤，∴1718a <-< ∴
176a -<<-∴1a 的取值范围是(7,6)--
赣马高级中学解答题专题训练9答案
1．解：（Ⅰ）依题意，得112n n S a a +=-．于是，当2n ≥时，有11
11
22n n n n S a a S a a +-=-⎧⎨=-⎩．
两式相减，得13n n a a +=（2n ≥）． 又因为211123a S a a =+=，0n a ≠，所以数列{}n a 是首项为1a 、公比为3的等比数列．
因此，113n n a a -=⋅（n *∈N ）；
（Ⅱ）因为111(13)1131322n n n a S a a -==⋅--，所以1111
11322
n n n b S a a =-=+-⋅．
要使{}n b 为等比数列，当且仅当11
102
a +=，即12a =-．
2．设数列{}{},n n a b 满足1122336,4,3a b a b a b ======，若{}1n n a a +-是等差数列，{}1n n b b +-是
等比数列.
（1）分别求出数列{}{},n n a b 的通项公式；（2）求数列{}n a 中最小项及最小项的值；
（3）是否存在*
k N ∈，使10,
2k k a b ⎛⎫
-∈ ⎪⎝⎭
，若存在，求满足条件的所有k 值；若不存在，请说明理由. 解：（1）21322,1a a a a -=--=-由{}1n n a a +-成等差数列知其公差为1，
故()12113n n a a n n +-=-+-⋅=- 21322,1,b b b b -=--=-由{}1n n b b +-等比数列知，其公比为
1
2
，故1
1122n n n b b -+⎛⎫
-=-⋅ ⎪⎝⎭
11223211()()()()n n n n n n n a a a a a a a a a a -----=-+-+-+⋅⋅⋅+-+=
()()()12(1)212n n n ---⋅-+⋅+6=232282n n n -+-+=2718
2
n n -+
11223211()()()()n n n n n n n b b b b b b b b b b -----=-+-+-+⋅⋅⋅+-+＝2121()2112
n -⎛⎫
-- ⎪
⎝
⎭-+6=2+42n -
(2)由(1)题知,n a =2718
2
n n -+ ,所以当3n =或4n =时，n a 取最小项，其值为3
（3）假设k 存在，使k k a b -=27182n n -+-2-42n -=2
7142n n -+-42n
-10,2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
则0<27142n n -+-42n -12
< 即252
7132714n n n n n --+<<-+
∵2
2
713714n n n n -+-+与是相邻整数 ∴52
n Z -∉，这与52n Z -∈矛盾，所以满足条件的k 不存在
3．已知递增数列{}n a 满足：11a =，122n n n a a a ++=+ ()
*n N ∈，且1a 、2a 、4a 成等比数列。

（I ）求数列{}n a 的通项公式n a ；
（II ）若数列{}n b 满足：()2
1123,1n n n b b n b b +=--+≥， (
)*
n N
∈。

①用数学归纳法证明：n n b a ≥；
②记123
111
13333n n T b b b b =
++++
++++，证明：1
2
n T <。

解：（I ）122n n n a a a ++=+，∴数列{}n a 为等差数列，设公差为d ()0d >。

1a 、2a 、4a 成等比数列，
∴()()2
2
214=11131a a a d d d ⨯⇒+=⨯+⇒= ()0d >(*).n a n n N ∴==
（II ）①即证n b n ≥ ()*n N ∈，用数学归纳法证明如下：（1）当1n =时，11b ≥，原不等式成立；
（2）假设n k =时原不等式成立，即k b k ≥ ()*k N ∈，那么当1n k =+时，
()()()21232323231k k k k k k k b b k b b b k b k k b k +=--+=-++≥-++=+>+
∴当1n k =+时原不等式也成立 由（1）（2）可知n b n ≥ ()*n N ∈
②证明：由
()()2
1232323n n n n n n b b n b b b n b +=--+=-++≥+，而30n b +>，∴
13
23
n n b b ++≥+∴134b +≥，
21323b b +≥+，32323b b +≥+，433
23
b b +≥+，，
13
23
n n b b -+≥+∴132n n b ++≥
()
*n N ∈，
∴
1
11
032
n n b +<
≤+∴
2341
123111
1111
1333
3222
2n n n T b b b b +=
++++
≤++++++++∴
11111
1142122212
n n n T +⎛⎫- ⎪⎝⎭≤=-<-
∴12n T < ()*n N ∈。