文集(共8套69页)云南省2019中考数学总复习 提分专练汇总

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超级资源(共8套69页)云南省2019中考数学总
复习提分专练汇总
提分专练(一)实数混合运算与代数式的化简求值
|类型1| 实数的混合运算
1.[2017·盐城]计算:+-1-20170.
2.[2017·益阳]计算:|-4|-2cos60°+(-)0-(-3)2.
3.[2017·长沙]计算:|-3|+(π-2017)0-2sin30°+-1.
4.[2017·东营]计算:6cos45°+-1+(-1.73)0+|5-3|+42017×(-0.25)2017.
|类型2| 整式的化简求值
5.已知x-2y=-3,求(x+2)2-6x+4y(y-x+1)的值.
6.[2018·邵阳]先化简,再求值:(a-2b)(a+2b)-(a-2b)2+8b2,其中a=-2,b=.
|类型3| 分式的化简求值
7.[2017·泰安]先化简,再求值:2-÷,其中x=3,y=-4.
8.[2018·巴中]先化简1-·,再在1,2,3中选取一个适当的数代入求值.
9.[2018·烟台]先化简,再求值:1+÷,其中x满足x2-2x-5=0.
|类型4| 与二次根式有关的化简求值
10.[2017·湖州]计算:2×(1-)+.
11.[2017·邵阳]先化简·+,再在-3,-1,0,,2中选择一个合适的x值代入求值.
12.[2017·西宁]先化简,再求值:-m-n÷,其中m-n=.
13.[2017·凉山州]先化简,再求值:1-÷,其中a,b满足(a-)2+=0.
参考答案
1.[解析] 分别化简,-1,20170,然后再计算.
解:原式=2+2-1=3.
2.解:原式=4-2×+1-9=-5.
3.解:原式=3+1-1+3=6.
4.解:原式=6×+3+1+5-3+(-1)2017=3+3+1+5-3-1=8.
5.解:(x+2)2-6x+4y(y-x+1)
=x2+4x+4-6x+4y2-4xy+4y
=x2+4y2-2x+4-4xy+4y
=x2-4xy+4y2-(2x-4y)+4
=(x-2y)2-2(x-2y)+4,
当x-2y=-3时,原式=(-3)2-2×(-3)+4=19.
6.解:原式=a2-4b2-(a2-4ab+4b2)+8b2=a2-4b2-a2+4ab-4b2+8b2=4ab.
当a=-2,b=时,原式=4ab=4×(-2)×=-4.
7.解:2-÷=2-·=2-=.
当x=3,y=-4时,原式===3.
8.解:原式=·=,选x=2代入得原式==-2.
9.解:1+÷=÷=·=x(x-2)=x2-2x.
∵x2-2x-5=0,∴x2-2x=5,∴原式=5.
10.[解析] 实数的混合运算,先乘除后加减,然后进行二次根式的化简,最后合并同类二次根式.
解:原式=2-2+2=2.
11.解:原式=·+=+=x,
当x=-1时,原式=-1.(或当x=时,原式=) 12.解:原式=÷m2
=-÷m2
=×
=
=-.
当m-n=时,原式=-=-.
13.解:1-÷
=1-·
=1-
=
=-.
∵a,b满足(a-)2+=0,
∴a-=0,b+1=0,
∴a=,b=-1,
当a=,b=-1时,原式=-=.
提分专练(二)解方程(组)与解不等式(组)
|类型1| 解二元一次方程组
1.解方程组:
2.已知关于x,y的方程组的解满足x>0,y>0,求实数a的取值范围.
|类型2| 解一元二次方程
3.[2018·兰州]解方程:3x2-2x-2=0.
4.先化简,再求值:(x-1)÷-1,其中x为方程x2+3x+2=0的根.
5.当x满足条件时,求出方程x2-2x-4=0的根.
|类型3| 解分式方程
6.[2018·柳州]解方程:=.
7.[2018·南宁]解分式方程:-1=.
8.[2017·泰州]解分式方程:+=1.
|类型4| 解一元一次不等式(组)
9.[2018·桂林]解不等式<x+1,并把它的解集在数轴上表示出来.
10.[2018·天津]解不等式组
请结合题意填空,完成本题的解答.
(1)解不等式①,得.
(2)解不等式②,得.
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来.
图T2-1
(4)原不等式组的解集为.
11.[2017·北京]解不等式组:
12.[2018·黄冈]求满足不等式组的所有整数解.
参考答案1.解:①+②得4x=4,
∴x=1.
将x=1代入①,得y=2.
∴原方程组的解为
2.解:
①×3,得15x+6y=33a+54,③
②×2,得4x-6y=24a-16,④
③+④,得19x=57a+38,
解得x=3a+2.
把x=3a+2代入①,得5(3a+2)+2y=11a+18,
解得y=-2a+4,
∴原方程组的解是
∵x>0,y>0,
∴
由⑤得a>-,
由⑥得a<2,
∴a的取值范围是-<a<2.
3.解:解法一:移项,得3x2-2x=2,
配方,得3x-2=,
解得x1=,x2=.
解法二:因为a=3,b=-2,c=-2,
所以Δ=(-2)2-4×3×(-2)=4+24=28.
所以x=,所以x1=,x2=.
4.解:原式=(x-1)÷=(x-1)·=-x-1.
由x2+3x+2=0,得x1=-1,x2=-2.
当x=-1时,原分式无意义,所以x=-1舍去.
当x=-2时,原式=1.
5.解:由
解得2<x<4.
解方程x2-2x-4=0,得x1=1+,x2=1-.
∵2<<3,
∴3<1+<4,符合题意;-2<1-<-1,不符合题意,舍去.
∴x=1+.
6.解:去分母,得2(x-2)=x,
去括号、移项、合并同类项,得:x=4.
检验:当x=4时,x(x-2)=4×2=8≠0,
故x=4是原分式方程的根.
7.解:方程两边同乘3(x-1),得3x-3(x-1)=2x,
解得x=1.5.
检验:当x=1.5时,3(x-1)≠0,
∴原分式方程的解为x=1.5.
8.解:去分母,得(x+1)2-4=x2-1,
去括号,得x2+2x+1-4=x2-1,
移项、合并同类项,得2x=2,
系数化为1,得x=1.
经检验,x=1是分式方程的增根,故原分式方程无解.
9.解:去分母,得5x-1<3(x+1),去括号,得5x-1<3x+3,解得x<2,它的解集在数轴上表示如下图:
10.解:(1)x≥-2
(2)x≤1
(3)如图所示.
(4)-2≤x≤1
11.解:
由①得:x<3,由②得:x<2,
∴不等式组的解集为x<2.
12.解:解x-3(x-2)≤8,得x≥-1;解x-1<3-x,得x<2.所以不等式组的解集为-1≤x<2,其中所有的整数解为-1,0,1.
提分专练(五)与全等三角形有关的中档计算题与证明题
|类型1| 全等三角形与等腰三角形的结合问题1.如图T5-1,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,CE ⊥AB,AE=CE.
求证:(1)△AEF≌△CEB;
(2)AF=2CD.
图T5-1
2.[2017·苏州]如图T5-2,∠A=∠B,AE=BE,点D在AC边上,∠1=∠2,AE和BD相交于点O.
(1)求证:△AEC≌△BED;
(2)若∠1=42°,求∠BDE的度数.
图T5-2
3.[2017·呼和浩特]如图T5-3,等腰三角形ABC中,BD,CE分别是两腰上的中线.
(1)求证:BD=CE;
(2)设BD与CE相交于点O,点M,N分别为线段BO和CO的中点.当△ABC的重心到顶点A的距离与底边长相等时,判断四边形DEMN的形状,无需说明理由.
图T5-3
4.如图T5-4,△ACB和△DCE均为等腰三角形,点A,D,E在同一直线上,连接BE.若∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°.
(1)求证:AD=BE;
(2)求∠AEB的度数.
图T5-4
|类型2| 全等三角形与直角三角形的结合问题
5.如图T5-5,在△ABC中,AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为D,E,AD,CE交于点H,请你添加一个适当条件,使△AEH≌△CEB.
图T5-5
6.如图T5-6,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,交CB于点D,过点D作DE⊥AB于点E.
(1)求证:△ACD≌△AED;
(2)若∠B=30°,CD=1,求BD的长.
图T5-6
|类型3| 全等三角形与等腰直角三角形的结合问题
7.已知:如图T5-7,△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ECD=90°,D为AB边上一点.
(1)求证:△ACE≌△BCD;
(2)求证:2CD2=AD2+DB2.
图T5-7
8.如图T5-8,在△ABC和△BCD中,∠BAC=∠BCD=90°,AB=AC,CB=CD.延长CA至点E,使AE=AC;延长CB至点F,使BF=BC.连接AD,AF,DF,EF,延长DB交EF于点N.
(1)求证:AD=AF;
(2)求证:BD=EF.
图T5-8
参考答案
1.证明:(1)∵AD⊥BC,CE⊥AB,
∴∠BCE+∠B=90°,∠FAE+∠B=90°,
∴∠FAE=∠BCE.
在△AEF和△CEB中,
∴△AEF≌△CEB(ASA).
(2)∵AB=AC,AD⊥BC,
∴BC=2CD.
∵△AEF≌△CEB,
∴AF=BC,∴AF=2CD.
2.[解析] (1)用ASA证明两三角形全等;(2)利用全等三角形的性质得出EC=ED,∠C=∠BDE,再利用等腰三角形的性质:等边对等角,即可求出∠C的度数,进而得到∠BDE的度数.
解:(1)证明:∵AE和BD相交于点O,
∴∠AOD=∠BOE.
在△AOD和△BOE中,∠A=∠B,
∴∠BEO=∠2.
又∵∠1=∠2,
∴∠1=∠BEO,
∴∠AEC=∠BED.
在△AEC和△BED中,
∴△AEC≌△BED(ASA).
(2)∵△AEC≌△BED,
∴EC=ED,∠C=∠BDE.
在△EDC中,
∵EC=ED,∠1=42°,
∴∠C=∠EDC=69°,
∴∠BDE=∠C=69°.
3.解:(1)证明:∵AB,AC为等腰三角形的两腰,
∴AB=AC.
∵BD,CE分别是两腰上的中线,
∴AE=AD.
在△AEC与△ADB中,
∴△AEC≌△ADB,
∴BD=CE.
(2)四边形DEMN为正方形.
4.解:(1)证明:∵∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°,∴AC=BC,DC=EC,
∠ACB=∠DCE=180°-2×50°=80°.
∵∠ACB=∠ACD+∠DCB,∠DCE=∠DCB+∠BCE,
∴∠ACD=∠BCE.
在△ACD和△BCE中,
∴△ACD≌△BCE(SAS),
∴AD=BE.
(2)∵△ACD≌△BCE,
∴∠ADC=∠BEC.
∵点A,D,E在同一直线上,且∠CDE=50°,
∴∠ADC=180°-∠CDE=130°,
∴∠BEC=130°.
∵∠BEC=∠CED+∠AEB,且∠CED=50°,
∴∠AEB=∠BEC-∠CED=130°-50°=80°.
5.AE=EC(答案不唯一)[解析] 根据垂直关系,可以判断△AEH与△CEB有两对对应角相等,所以只需要找它们的一对对应边相等就可以了.
∵AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为D,E,
∴∠BEC=∠AEC=∠HDC=90°,
在Rt△AEH中,∠EAH=90°-∠AHE,
在Rt△CDH中,∠DCH=90°-∠DHC,
又∠AHE=∠DHC,
∴∠EAH=∠BCE.
所以根据AAS可添加AH=CB或EH=EB;
根据ASA可添加AE=CE.
故答案为AH=CB或EH=EB或AE=CE等.
6.解:(1)证明:∵AD平分∠CAB,
∴∠CAD=∠EAD.
∵DE⊥AB,∠C=90°,
∴∠ACD=∠AED=90°.
又∵AD=AD,
∴△ACD≌△AED.
(2)∵△ACD≌△AED,
∴DE=CD=1.
∵∠B=30°,∠DEB=90°,
∴BD=2DE=2.
7.证明:(1)∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形,
∴AC=BC,CD=CE,
∵∠ACB=∠DCE=90°,
∴∠ACE+∠ACD=∠BCD+∠ACD,
∴∠ACE=∠BCD,
在△ACE和△BCD中,
∴△ACE≌△BCD(SAS).
(2)∵△ACB是等腰直角三角形,
∴∠B=∠BAC=45°.
∵△ACE≌△BCD,
∴∠B=∠CAE=45°.
∴∠DAE=∠CAE+∠BAC=45°+45°=90°,∴AD2+AE2=DE2.
由(1)知AE=DB,
∴AD2+DB2=DE2,
又DE2=2CD2,∴2CD2=AD2+DB2.
8.证明:(1)∵AB=AC,∠BAC=90°,
∴∠ABC=∠ACB=45°,∴∠ABF=135°.∵∠BCD=90°,
∴∠ACD=135°.
∴∠ABF=∠ACD,
∵CB=CD,CB=BF,∴BF=CD.
在△ABF和△ACD中,
∴△ABF≌△ACD(SAS),∴AD=AF.
(2)由(1)知,AF=AD,△ABF≌△ACD,
∴∠FAB=∠DAC.
∵∠BAC=90°,∴∠EAB=∠BAC=90°,
∴∠EAF=∠BAD.
在△AEF和△ABD中,
∴△AEF≌△ABD(SAS),∴BD=EF.
提分专练(六)以矩形、菱形、正方形为背景的中档计算题与证明题
|类型1| 以矩形为背景的问题
1.[2018·连云港]如图T6-1,矩形ABCD中,E是AD的中点,延长CE,BA交于点F,连接AC,DF.
(1)求证:四边形ACDF是平行四边形;
(2)当CF平分∠BCD时,写出BC与CD的数量关系,并说明理由.
图T6-1
2.[2017·日照]如图T6-2,已知BA=AE=DC,AD=EC,CE⊥AE,垂足为E.
(1)求证:△DCA≌△EAC;
(2)只需添加一个条件,即,可使四边形ABCD为矩形.请加以证明.
图T6-2
3.已知:如图T6-3,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,AE∥BC,CE⊥AE,垂足为E.
(1)求证:△ABD≌△CAE.
(2)连接DE,线段DE与AB之间有怎样的位置和数量关系?请证明你的结论.
图T6-3
|类型2| 以菱形为背景的问题
4.[2017·北京]如图T6-4,在四边形ABCD中,BD为一条对角线,AD∥BC,AD=2BC,∠ABD=90°,E为AD的中点,连接BE.
(1)求证:四边形BCDE为菱形;
(2)连接AC,若AC平分∠BAD,BC=1,求AC的长.
图T6-4
5.已知:如图T6-5,在▱ABCD中,E,F分别是边AD,BC上的点,且AE=CF,直线EF分别交BA的延长线、DC的延长线于点G,H,交BD于点O.
(1)求证:△ABE≌△CDF.
(2)连接DG,若DG=BG,则四边形BEDF是什么特殊四边形?请说明理由.
图T6-5
|类型3| 以正方形为背景的问题
6.[2018·盐城]在正方形ABCD中,对角线BD所在的直线上有两点E,F,满足BE=DF,连接AE,AF,CE,CF,如图T6-6所示.
(1)求证:△ABE≌△ADF;
(2)试判断四边形AECF的形状,并说明理由.
图T6-6
7.如图T6-7,已知正方形ABCD中,BC=3,点E,F分别是CB,CD延长线上的点,DF=BE,连接AE,AF,过点A作AH⊥ED于点H.
(1)求证:△ADF≌△ABE;
(2)若BE=1,求tan∠AED的值.
图T6-7
8.[2018·聊城]如图T6-8,正方形ABCD中,E是BC上的一点,连接AE,过点B作BH⊥AE,垂足为点H,延长BH交CD于点F,连接AF.
(1)求证:AE=BF;
(2)若正方形边长是5,BE=2,求AF的长.
图T6-8
参考答案
1.解:(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴AB∥CD,∴∠FAE=∠CDE,
∵E是AD的中点,∴AE=DE,
又∵∠FEA=∠CED,∴△FAE≌△CDE,∴CD=FA,
又∵CD∥AF,∴四边形ACDF是平行四边形.
(2)BC=2CD.理由:
∵CF平分∠BCD,
∴∠DCE=45°,
∵∠CDE=90°,
∴△CDE是等腰直角三角形,
∴CD=DE,
∵E是AD的中点,∴AD=2CD,
∵AD=BC,∴BC=2CD.
2.解:(1)证明:在△DCA和△EAC中,
∴△DCA≌△EAC(SSS).
(2)添加AD=BC,可使四边形ABCD为矩形(添加的条件不唯一).证明如下: ∵AB=DC,AD=BC,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∵CE⊥AE,
∴∠E=90°,
由(1)得:△DCA≌△EAC,
∴∠D=∠E=90°,
∴四边形ABCD为矩形.
3.解:(1)证明:∵AB=AC,AD是BC边上的中线,
∴AD⊥BC,BD=CD.
∵AE∥BC,CE⊥AE,
∴∠DCE=90°,
∴四边形ADCE是矩形,
∴AD=CE.
在Rt△ABD与Rt△CAE中,
∴Rt△ABD≌Rt△CAE.
(2)DE∥AB,DE=AB.证明如下:
如图所示,
由(1)知四边形ADCE是矩形,
∴AE=CD=BD,又AE∥BD,
∴四边形ABDE是平行四边形,
∴DE∥AB,DE=AB.
4.解:(1)证明:∵E为AD的中点,AD=2BC,
∴BC=ED,
∵AD∥BC,∴四边形BCDE是平行四边形,
∵∠ABD=90°,AE=DE,
∴BE=ED,∴四边形BCDE是菱形.
(2)∵AD∥BC,AC平分∠BAD,
∴∠BAC=∠DAC=∠BCA,
∴BA=BC=1,
∵AD=2BC=2,∴sin∠ADB=,
∴∠ADB=30°,∴∠DAC=30°,∠ADC=60°.
∴∠ACD=90°.
在Rt△ACD中,AD=2,CD=1,∴AC=.
5.解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB=CD,∠BAE=∠DCF,
在△ABE和△CDF中,
∴△ABE≌△CDF(SAS).
(2)四边形BEDF是菱形.理由如下:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AD=BC,
∵AE=CF,∴DE=BF,
∴四边形BEDF是平行四边形,∴OB=OD, ∵DG=BG,∴EF⊥BD,
∴四边形BEDF是菱形.
6.解:(1)证明:∵四边形ABCD是正方形, ∴∠ABD=45°,∠ADB=45°,AB=AD.
∴∠ABE=∠ADF=135°.
又∵BE=DF,∴△ABE≌△ADF(SAS).
(2)四边形AECF是菱形.
理由:连接AC交BD于点O,图略.
则AC⊥BD,OA=OC,OB=OD.
又∵BE=DF,∴OE=OF,
∴四边形AECF是菱形.
7.解:(1)证明:正方形ABCD中,
AD=AB,∠ADC=∠ABC=90°,
∴∠ADF=∠ABE=90°.
在△ADF与△ABE中,
∵AD=AB,∠ADF=∠ABE,DF=BE,
∴△ADF≌△ABE.
(2)在Rt△ABE中,∵AB=BC=3,BE=1,
∴AE=,ED==5,
∵S△AED=AD×BA=ED×AH,
∴AH===1.8.
∴在Rt△AHE中,EH==2.6,
∴tan∠AED===.
8.解:(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC,∠ABC=∠C=90°,
∵BH⊥AE,垂足为点H,
∴∠BAE+∠ABH=90°,
∵∠CBF+∠ABH=90°,
∴∠BAE=∠CBF.
在△ABE和△BCF中,
∴△ABE≌△BCF(ASA),∴AE=BF.
(2)∵△ABE≌△BCF,
∴CF=BE=2,
∵正方形的边长为5,
∴AD=CD=5,
∴DF=CD-CF=5-2=3.
在Rt△ADF中,
AF===.
提分专练(七)以圆为背景的综合计算与证明题
|类型1| 圆与切线有关的问题
1.[2017·南充]如图T7-1,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,以AC为直径作☉O交AB于点D,E 为BC的中点,连接DE并延长交AC的延长线于点F.
(1)求证:DE是☉O的切线;
(2)若CF=2,DF=4,求☉O直径的长.
图T7-1
2.[2018·沈阳]如图T7-2,BE是☉O的直径,点A和点D是☉O上的两点,过点A作☉O的切线交BE延长线于点C.
(1)若∠ADE=25°,求∠C的度数;
(2)若AB=AC,CE=2,求☉O半径的长.
图T7-2
|类型2| 圆与平行四边形结合的问题
3.如图T7-3,AB是半圆O的直径,点C,D为半圆O的三等分点,过点C作CE⊥AD,交AD的延长线于点E.
(1)求证:CE为半圆O的切线;
(2)判断四边形AOCD是否为菱形?并说明理由.
图T7-3
4.如图T7-4,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,点M是AC的中点,以AB为直径作☉O分别交AC,BM 于点D,E.
(1)求证:MD=ME;
(2)填空:①若AB=6,当AD=2DM时,DE= ;
②连接OD,OE,当∠A的度数为时,四边形ODME是菱形.
图T7-4
|类型3| 圆与三角函数结合的问题
5.[2017·咸宁]如图T7-5,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的☉O与边BC,AC分别交于D,E 两点,过点D作DF⊥AC,垂足为点F.
(1)求证:DF是☉O的切线;
(2)若AE=4,cos A=,求DF的长.
图T7-5
6.[2018·金华、丽水]如图T7-6,在Rt△ABC中,点O在斜边AB上,以O为圆心,OB为半径作圆,分别与BC,AB相交于点D,E,连接AD.已知∠CAD=∠B.
(1)求证:AD是☉O的切线;
(2)若BC=8,tan B=,求☉O的半径.
图T7-6
|类型4| 圆与相似三角形结合的问题
7.[2017·天门]如图T7-7,AB为☉O的直径,C为☉O上一点,AD与过点C的切线互相垂直,垂足为D,AD交☉O于点E,连接CE,CB,AC.
(1)求证:CE=CB;
(2)若AC=2,CE=,求AE的长.
图T7-7
8.如图T7-8,AB,BC,CD分别与☉O相切于点E,F,G,且AB∥CD,BO=6 cm,CO=8 cm.
(1)求证:BO⊥CO;
(2)求BE和CG的长.
图T7-8
参考答案
1.[解析] (1)连接OD,欲证DE是☉O的切线,需证OD⊥DE,即需证∠ODE=90°,而∠ACB=90°,连接CD,根据“等边对等角”可知∠EDC=∠ECD,∠ODC=∠OCD,进而得出∠ODE=90°,从而得证.
(2)在Rt△ODF中,利用勾股定理建立关于半径的方程求解.
解:(1)证明:连接OD,CD.
∵AC是☉O的直径,
∴∠ADC=90°.
∴∠BDC=90°.
又E为BC的中点,
∴DE=BC=CE.
∴∠EDC=∠ECD.
∵OD=OC,∴∠ODC=∠OCD.
∴∠EDC+∠ODC=∠ECD+∠OCD=∠ACB=90°.
∴∠ODE=90°.∴DE是☉O的切线.
(2)设☉O的半径为x.
在Rt△ODF中,OD2+DF2=OF2,
即x2+42=(x+2)2,解得x=3.
∴☉O的直径为6.
2.解:(1)如图,连接OA,
∵AC为☉O的切线,OA是☉O半径,
∴OA⊥AC.∴∠OAC=90°.
∵∠ADE=25°,
∴∠C=90°-∠AOE=90°-50°=40°.
(2)∵AB=AC,∴∠B=∠C.
∵∠AOC=2∠B,∴∠AOC=2∠C.
∵∠OAC=90°,
∴∠AOC+∠C=90°,3∠C=90°,∠C=30°.∴OA=OC.
设☉O的半径为r,∵CE=2,∴r=(r+2).
∴r=2.∴☉O的半径为2.
3.解:(1)证明:如图,连接OD,
∵点C,D为半圆O的三等分点,
∴∠AOD=∠COD=∠COB=60°.
∵OA=OD,∴△AOD为等边三角形,
∴∠DAO=60°,∴AE∥OC.
∵CE⊥AD,∴CE⊥OC,
∴CE为半圆O的切线.
(2)四边形AOCD为菱形.
理由:∵OD=OC,∠COD=60°,
∴△OCD为等边三角形,∴CD=CO.
同理:AD=AO.
∵AO=CO,∴AD=AO=CO=DC,
∴四边形AOCD为菱形.
4.解:(1)证明:在Rt△ABC中,
∵点M是AC的中点,∴MA=MB,∴∠A=∠MBA.∵四边形ABED是圆内接四边形,
又∠ADE+∠MDE=180°,∴∠MDE=∠MBA.
同理可证:∠MED=∠A,
∴∠MDE=∠MED,∴MD=ME.
(2)①2
[解析] 由MD=ME,MA=MB,得DE∥AB,
∴=,又AD=2DM,
∴=,∴=,∴DE=2.
②60°
[解析] 当∠A=60°时,△AOD是等边三角形,这时易证∠DOE=60°,△ODE和△MDE都是等边三角形,且全等,∴四边形ODME是菱形.
5.解:(1)证明:连接OD.
∵OB=OD,∴∠ODB=∠B.
又∵AB=AC,∴∠C=∠B,
∴∠ODB=∠C,
∴OD∥AC.
∵DF⊥AC,∴∠DFC=90°,
∴∠ODF=∠DFC=90°,
∴DF是☉O的切线.
(2)过点O作OG⊥AC,垂足为G.∴AG=AE=2.
∵cos A=,∴OA==5,
∴OG==.
∵∠ODF=∠DFG=∠OGF=90°,
∴四边形OGFD是矩形,∴DF=OG=.
6.解:(1)证明:连接OD.
∵OB=OD,∴∠3=∠B.
∵∠B=∠1,∴∠3=∠1.
在Rt△ACD中,∠1+∠2=90°,∴∠3+∠2=90°,∴∠4=180°-(∠2+∠3)=180°-90°=90°.
∴OD⊥AD.∴AD是☉O的切线.
(2)设☉O的半径为r.
在Rt△ABC中,AC=BC·tan B=8×=4,
∴AB===4.
∴OA=4-r.
在Rt△ACD中,tan∠1=tan B=,
∴CD=AC·tan∠1=4×=2,
∴AD2=AC2+CD2=42+22=20.
在Rt△ADO中,OA2=OD2+AD2,
∴(4-r)2=r2+20.解得r=.
故☉O的半径是.
7.解:(1)证明:连接OC,
∵CD为☉O的切线,∴OC⊥CD.
∵AD⊥CD,∴OC∥AD,∴∠1=∠3.
又∵OA=OC,∴∠2=∠3,
∴∠1=∠2,∴CE=CB.
(2)∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°.
∵AC=2,CB=CE=,
∴AB===5.
∵∠ADC=∠ACB=90°,∠1=∠2,
∴△ADC∽△ACB.
∴==,即==,
∴AD=4,DC=2.
在Rt△DCE中,DE===1,
∴AE=AD-ED=4-1=3.
8.解:(1)证明:∵AB∥CD,
∴∠ABC+∠BCD=180°.
∵AB,BC,CD分别与☉O相切于点E,F,G,
∴BO平分∠ABC,CO平分∠DCB,
∴∠OBC=∠ABC,∠OCB=∠DCB,
∴∠OBC+∠OCB=(∠ABC+∠DCB)=×180°=90°,∴∠BOC=90°,∴BO⊥CO.
(2)如图,连接OF,则OF⊥BC.
∴Rt△BOF∽Rt△BCO,∴=.
∵在Rt△BOC中,BO=6 cm,CO=8 cm,
∴BC==10(cm),
∴=,∴BF=3.6 cm.
∵AB,BC,CD分别与☉O相切,
∴BE=BF=3.6 cm,CG=CF.
∵CF=BC-BF=10-3.6=6.4(cm),
∴CG=CF=6.4 cm.
提分专练(八)统计与概率
|类型1| 统计图与概率的相关计算
1.[2018·达州]为调查达州市民上班时最常用的交通工具的情况,随机抽取了部分市民进行调查,要求被调查者从“A:自行车,B:电动车,C:公交车,D:家庭汽车,E:其他”五个选项中选择最常用的一项,将所有调查结果整理后绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图,请结合统计图回答下列问题.
(1)本次调查中,一共调查了名市民,扇形统计图中,B项对应的扇形圆心角是度,补全条形统计图;
(2)若甲、乙两人上班时从A,B,C,D四种交通工具中随机选择一种,请用列表法或画树状图的方法,求出甲、乙两人恰好选择同一种交通工具上班的概率.
图T8-1
2.[2018·泸州]为了解某中学学生课余生活情况,对喜爱看课外书、体育活动、看电视、社会实践四个方面的人数进行调查统计.现从该校随机抽取n名学生作为样本,采用问卷调查的方法收集数据(参与问卷调查的每名学生只能选择其中一项).并根据调查得到的数据绘制成了如图T8-2所示的两幅不完整的统计图.由图中提供的信息,解答下列问题:
(1)求n的值;
(2)若该校学生共有1200人,试估计该校喜爱看电视的学生人数;
(3)若调查到喜爱体育活动的4名学生中有3名男生和1名女生,现从这4名学生中任意抽取2名学生,求恰好抽到2名男生的概率.
图T8-2
|类型2| 统计表与概率的相关计算
3.[2018·枣庄]现今“微信运动”被越来越多的人关注和喜爱,某兴趣小组随机调查了我市50名教师某日“微信运动”中的步数情况,将数据进行统计整理,绘制了如下的统计图表(不完整):
步数频数频率
0≤x<4000 8 a
4000≤x<8000 15 0.3
8000≤x<12000 12 b
12000≤x<16000 c0.2
16000≤x<20000 3 0.06
20000≤x<24000 d0.04
图T8-3
根据以上信息,解答下列问题:
(1)写出a,b,c,d的值,并补全频数分布直方图.
(2)本市约有37800名教师,用调查的样本数据估计日行走步数超过12000步(包含12000步)的教师有多少名?
(3)若在50名被调查的教师中,选取日行走步数超过16000步(包含16000步)的两名教师与大家分享心得,求被选取的两名教师恰好都在20000步以上(包含20000步)的概率.
4.[2017·苏州]初一(1)班针对“你最喜爱的课外活动项目”对全班学生进行调查(每名学生分别选一个活动项目),并根据调查结果列出统计表,绘制成扇形统计图.
男、女生所选项目人数统计表
项目男生(人数) 女生(人数)
机器人7 9
3D打印m 4
航模 2 2
其他 5 n
图T8-4
根据以上信息解决下列问题:
(1)m= ,n= ;
(2)扇形统计图中机器人项目所对应扇形的圆心角度数为°;
(3)从选航模项目的4名学生中随机选取2名学生参加学校航模兴趣小组训练,请用列举法(画树状图或列表)求所选取的2名学生中恰好有1名男生、1名女生的概率.
参考答案
1.解:(1)2000;54,补全条形统计图如图:
(2)列表法:
乙
A B C D
甲
A (A,A) (A,B) (A,C) (A,D)
B (B,A) (B,B) (B,C) (B,D)
C (C,A) (C,B) (C,C) (C,D)
D (D,A) (D,B) (D,C) (D,D)
画树状图的方法:
从上面的表格(或树状图)可以看出,所有可能的结果共有16种,且每种结果出现的可能性相同,其中甲、乙两人恰好选择同一种交通工具上班的有4种,即(A,A),(B,B),(C,C),(D,D),
∴P(甲、乙两人恰好选择同一种交通工具上班)==.
2.解:(1)n=5÷10%=50(人).
(2)喜爱看电视的百分比:(50-15-20-5)÷50×100%=20%,
该校喜爱看电视的人数为1200×20%=240(人).
(3)设三名男生为男A,男B,男C,从这4名学生中任意抽取2名学生,所有可能的情况如下表:
男A 男B 男C 女
男A (男A,男B) (男A,男C) (男A,女)
男B (男B,男A) (男B,男C) (男B,女)
男C (男C,男A) (男C,男B) (男C,女)
女(女,男A) (女,男B) (女,男C)
由表可知,总共有12种可能的结果,每种结果的可能性都相同,其中,抽到两名男生的结果有
6种,所以P(抽到两名男生)==.
3.解:(1)a=0.16,b=0.24,c=10,d=2.
补全频数分布直方图如下图:
(2)×100%=30%,37800×30%=11340(人),即估计日行走步数超过12000步(包含12000步)的教师有11340名.
(3)设16000≤x<20000的三名教师分别为A,B,C,20000≤x<24000的两名教师分别为X,Y,列表如下:
A B C X Y
A BA CA XA YA
B AB CB XB YB
C AC BC XC YC
X AX BX CX YX
Y AY BY CY XY
从表中可知,选取日行走步数超过16000步(包括16000步)的两名教师与大家分享心得,共有20种情况,其中被选取的两名教师恰好都在20000步以上(包含20000步)的有2种情况,所
以=,即被选取的两名教师恰好都在20000步以上(包含20000步)的概率是.
4.解:(1)m=8,n=3;(2)144;
(3)将选航模项目的2名男生编上号码1,2,将2名女生编上号码3,4.用表格列出所有可能出现的结果:
1 2 3 4
1 (1,2) (1,3) (1,4)
2 (2,1) (2,3) (2,4)
3 (3,1) (3,2) (3,4)
4 (4,1) (4,2) (4,3)
由表格可知,共有12种可能出现的结果,并且它们都是等可能的,其中“1名男生、1名女生”有8种可能的结果.
∴P(所选取2名学生中恰有1名男生、1名女生)==.
提分专练(三)一次函数与反比例函数综合
1.[2018·济宁]如图T3-1,点A是反比例函数y=(x>0)图象上一点,直线y=kx+b过点A并且与两坐标轴分别交于点B,C.过点A作AD⊥x轴,垂足为D,连接DC,若△BOC的面积是4,则△DOC的面积是.
图T3-1
2.[2018·安顺]如图T3-2,已知直线y=k1x+b与x轴、y轴相交于P,Q两点,与y=的图象相交于A(-2,m),B(1,n)两点,连接OA,OB,给出下列结论:①k1k2<0;②m+n=0;③S△AOP=S△BOQ;④不等式k1x+b>的解集是x<-2或0<x<1,其中正确结论的序号是.
图T3-2
3.[2018·广州]一次函数y=ax+b和反比例函数y=在同一直角坐标系中的大致图象是。