15第4章剪切流动的分散 环境水力学 教学课件

物质质量可表示为：
M AubcbdA
( 4-1-14)
也可采用费克定律的形式，将 M 表示为
M AKCa x
( 4-1-15)
联立上两式，得K值的根本计算式：
KAC1a/xAubcbdA
( 4-1-16)
以下将进一步研究上式中的cb分别在圆管均匀流、二度明渠均 匀流和天然河流中的计算式，从而得到各自的 K 值计算式。
偏离流速：
ubuVum(12ar22)
( 4-2-10 )
将式(4-2-10)代入式
cb r
D 1 r C x ，a得0 rr：u bdr
c r b u D m C x r a0 r (1 2 a r 2 2 ) rd u D m r C x a (4 r 4 r a 3 2 )
将上式的结果代入式 cb(r)0 rcrbd得r ：cb0
他两项相比，是可以忽略的，于是上式简化为：
ubCa
D (rcb) r r r
( 4-2-5 )
ubCa
D (rcb) r r r
第二节 圆管均匀流的纵向分散
上式的物理意义，圆管层流的扩散有两个因素在起作用: 断面上纵向流速分布的不均匀而使示踪物质有纵向分散； 径向浓度梯度的存在而导致示踪物质径向的分子扩散。
上式满足边界条件：当r=a 〔a为圆管半径〕, ¶cb/¶r=0。 再将上式积分，得：
cbr0rcrbcb0
D 1 C x a 0 r(1 r0 rrb u d)d r rcb0
式中：cb(0)值可由cb(r)的平均值为零的条件求得。
( 4-2-7 )
第二节 圆管均匀流的纵向分散
根据式 KAC1a/x,对Au圆bc管bd水A流有分散系数：
任一点的瞬时流速 u 可表达为：
uuuVubu ( 4-1-2 )
瞬时浓度c 可表达为： cccC acbc ( 4-1-3 )
b
图4-2 紊流流速分布
式中: V为断面平均流速，u为脉动流速；
ub为某点时均流速与断面平均流速的差值（简称偏离流 速），即 ub uV ； Ca为断面平均浓度，c 为脉动浓度； cb为某点时均浓度与断面平均浓度的差值（简称偏离浓 度），即 cb cCa。
在扩散初期，纵向分散的作用比径向分子扩散的作用大得多； 继后随着纵向浓度梯度的减少而使纵向分散的作用渐渐减弱， 但因为纵向分散维持着径向的浓度梯度，从而使径向的分子 扩散作用能够始终保持。这样当扩散经历足够长的时间之后，
的值近似为cb零/，这两种作用近似于平衡。
第二节 圆管均匀流的纵向分散
对式
ubCa
❖ 在绝大多数剪切紊流中，流场中任意点的时均流速比脉动 流速绝对值至少大一个数量级。因此，剪切分散远大于紊 流扩散。
❖ 由于分散只是一种特殊情况的随流扩散，所以在原那么 上可以通过随流扩散方程或随流紊动扩散方程求解。前 人在这方面已做过许多研究，但只有一些简单的情况才 能得到解析解。
❖ 人们为了简化问题，常将三维剪切流动简化为一维流动 或二维流动，分别使用假想的断面平均值和垂线平均值 来表达一维和二维状况，对其中由于时均流速不均匀所 产生的分散那么采用经验方法进行处，从而建立以断面 平均值表达的一维扩散方程或以垂直平均值表达的二维 扩散方程，到达易于求解析解和数值解的目的。
在单位时间内通过过水断面（x +dx）的单位面积的污 染物质质量的时均值为： uc (uc)dx
x
在dt 时段内流入与流出该微分流段的污染物质质量之差为：
A udcA (A d ud tc A xA udcA )d d t x xA udcAdxd
图4-1 一维纵向分散
第一节 一维纵向剪切流动的分散
( 4-2-11 )
c b ( r ) u D m C x a 0 r ( 4 r 4 r a 3 2 ) d c b r ( 0 ) u D m C x a ( r 8 2 1 r a 4 2 ) 6 c b ( 0 )
( 4-2-12 )
第二节 圆管均匀流的纵向分散
圆管均匀流在层流状态下的纵向分散系数：
( 4-1-11 )
一维纵向分散方程
将Ex和Kl 合并为一个系数K ，因为Ex值远小于Kl，便有： KExKl Kl
式中：K称为综合扩散系数，但更多的仍然称为纵向分散系数。
式(4-1-11)可写为：
第一节 一维纵向剪切流动的分散
C a V C a1(A K C a)
t
x A x x
( 4-1-12 )
当过水断面为常数〔均匀流〕，上式简化为：
Ca VCa
t
x
K2xC2a
( 4-1-13)
一维纵向分散方程的常用形式
对于层流： 除没有脉动值之外，其他分析方法均与上述相同；
Ex 应改换为分子扩散系数D，有：K=D+Kl≈Kl；
式(4-1-12)和式(4-1-13)仍然适用。
第一节 一维纵向剪切流动的分散
第一节 一维纵向剪切流的分散
应用物质守恒定律来建立一维纵向分散方程。 在图4-1所示的一维流动中取一微分流段 dx 进行分析， 设过水断面的面积为A， u 和 c分布为断面上任一点的瞬时 流速和瞬时浓度。
图4-1 一维纵向分散
第一节 一维纵向剪切流动的分散
在单位时间内通过过水断面x的单位面积的污染物质质 量的时均值为：uc
Ca
＜bucb＞0
第二节 圆管均匀流的纵向分散
将
Ca
＜bu代cb＞ 回式:0
c b C a u b c b u b C a D r r(r c r b )
有：
c b u b c bu b c b u b C a D r r(r c r b )
第2项与第3项之差比第4项小很多， 忽略第2、3项
A 1AudcA(Vub)(Cacb)u'c' VC aubcb u'c'
代入 (CatA)xAudcA
( 4-1-5 )
第一节 一维纵向剪切流动的分散
得：
＜＞ u ＜＞ (C a tA ) xAa V A (C b c b u c )
将上式展开有：
＜ ＞ ＜ u＞ A C t a C a A t C a ( A x ) A V C x a V x [ A (b c b u c )]
用圆柱坐标表示的随流扩散方程:
c t r c r r c x x c D [ 1 r r ( r c r ) r 1 2 2 2 c x 2 2 c ]
r (r,θ, x)
θ
o
x
图4-4 圆坐标示意图
第二节 圆管均匀流的纵向分散
用圆柱坐标表示的随流扩散方程:
uuuVubu cccCacbc
第一节 一维纵向剪切流动的分散
u ( V c u b u ) C a ( c b c ) ( V u b ) C a ( c b ) u c
( 4-1-4 )
再将ucc 对断面A平均，并以符号＜…＞表示取断面平均值，即：
1 AA()dA
便有＜u＞= ＜c＞ =＜ub＞=＜cb＞=0 ，以及：
第四章 剪切流动的分散
在第三章中，当求随流扩散方程和随流紊动扩散方程的解析 解时，为了能容易得解答，都假定时均流速是均匀分布的。
然而，在实际的水流中，由于固体边界的滞水作用，导致时 均流速不均匀，从而有流速梯度的剪切力。
❖ 剪切流动：具有流速梯度的流动。
❖ 分散：由于剪切流动中时均流速分布不均匀而导致的 随流扩散，也称为离散或弥散〔Dispersion〕。
0 根据一维非恒定流连续方程：
( 4-1-6 )
A(AV)
t
x
( 4-1-7 )
＜＞ u＜＞ C ta V C x a A 1 x [A ( b c bu c )]
第一节 一维纵向剪切流动的分散
＜＞ u＜＞ C ta V C x a A 1 x [A ( b c b u c )]( 4-1-8 )
c t r c r r c x x c D [ 1 r r ( r c r ) r 1 2 2 2 c x 2 2 c ]
对本问题有 r 0 ； ；c/因为0纵向分子扩散项
D2c比/x纵2
向随流项 小x得c多/x，故可忽略纵向分子扩散项，于是原方程
简化为:
D进行(第r一cb次) 积分，
r r r
将 / 写 成 得/：x
D 1 C x a0 rrb u d r 0 r r(r c r b) r c r b
cb r
1 Ca Drx
0 rru bdr
( 4-2-6 )
第二节 圆管均匀流的纵向分散
cb r
1 Ca Drx
0 rru bdr
( 4-2-6 )
图4-1 一维纵向分散
如果所考虑的污染物质是示踪物质，在dt时段内上述的质 量差值应与微分流段内示踪物质的增量相等，即：
xAud cAd x t(C daA t )d dx t
式中：Ca为断面平均浓度。
上式可简化为：
(CatA)xAudc A
( 4-1-1 )
第一节 一维纵向剪切流动的分散
对于紊流：
c bu b C aD r r(r c r b)
( 4-2-4 )
第二节 圆管均匀流的纵向分散
c bu b C aD r r(r c r b)
( 4-2-4 )
当扩散（即使是瞬时源）经历足够长的时间之后， 从动坐标
看，cb随时间 的变化很慢，可以近似认为 cb /与上式其
Ka2C2a/x0 aubcbrdr
( 4-2-8 )
例4-2 圆管层流的流速分布为：
u(r)
um(1
r2 a2
)
( 4-2-9 )
式中： um是断面中点的流速〔即最大流速〕，求 K 值。
解：断面平均流速：
VA 1A ud 2 A a u 2 m 0 a(1a r2 2)rdu r2 m
第二节 圆管均匀流的纵向分散
由于时均流速和时均 浓度在断面上分布不 均匀而导致的分散
由于紊流的脉动 而导致的扩散
为了使方程中只包含一个未知函数Ca，需要对这两项采用经 验模式进行处理。
第一节 一维纵向剪切流动的分散
参照紊动扩散的模式，可令：
uc Ex Cxa
式中：Ex为纵向紊动扩散系数。 参照上式，也可令：
ubcb
Kl
Ca x
Ka2C2a/x0aubcbrdr
cb(r)u D m C xa(r8 21ra 46 2)cb(0) ubuVum(12ar22)
a
ubcb(0)rdr
0
a
r r3
0
umcb
(0)( 2
a2
)dr
cucD(rc) t x r r r
( 4-2-1 )
以 u(r) ub (r) V 和c(r) cb (r) Ca 代入上式，有：
t(c b C a ) (u b V ) x (c b C a ) D r r(r c r b )
第二节 圆管均匀流的纵向分散
取坐标变换： x Vt, t，亦即：
一维纵向分散方程 CaVCa K2Ca
t
x
x2
一维随流扩散方程
c t
uc x
Dx22c
一维纵向分散方程与一维随流扩散方程在数学形式上是相 同的，所以一维随流扩散方程的解析解可用于一维纵向分
散方程，关键是如何确定纵向分散系数K值 。
第一节 一维纵向剪切流动的分散
由于纵向分散作用，在单位时间内通过过水断面积 A 的示踪
第二节 圆管均匀流的纵向分散
图4-3 圆坐标示意图来自设M(x, y, z)为空间的一点，该点 在XOY面上的投影为P，P点的 极坐标为(r,θ)，那么r、θ、z三 个数称作M点的柱面坐标。
点M的直角坐标与柱面坐标之间 有关系式为：
x r cos y r sin z z
第二节 圆管均匀流的纵向分散
t(c b C a ) (u b V ) x (c b C a ) D r r(r c r b )
( 4-2-2 )
V t
x
c b C a u b c b u b C a D r r(r c r b ) ( 4-2-3 )
对上式取断面平均，＜cb＞= ＜ub＞= 0，有：
( 4-1-9 ) ( 4-1-10 )
式中： Kl 为纵向剪切分散系数。
＜＞ u＜＞ C ta V C x a A 1 x [A ( b c b u c )]
第一节 一维纵向剪切流动的分散
将式(4-1-9)和式(4-1-10)代入式(4-1-8)，得：
C ta V C x aA 1 x A E xK l C x a