2020年中考数学人教版专题复习：等式与方程

2020年中考数学人教版专题复习：等式与方程
一、学习目标：
1. 正确理解方程和一元一次方程的概念，会判断一个方程是不是一元一次方程；
2. 理解和掌握等式的两个基本性质，会利用等式的性质解简单的一元一次方程；
3. 能够找出实际问题中的相等关系，初步掌握列方程解应用题的方法.
二、重点、难点：
重点：一元一次方程的概念、利用等式的性质解简单的一元一次方程.
难点：分析实际问题中的数量关系，根据其中的相等关系列方程.
三、考点分析：
本讲内容是方程的入门知识，在中考中所占的比例较小，难度也比较低，多以选择题或填空题的形式出现，主要考查一元一次方程的概念和如何列一元一次方程解决实际问题，分值一般在3~5分.
知识梳理
1. 方程
（1）表示相等关系的式子叫做等式.
（2）含有未知数的等式叫做方程.方程必须具备两个条件：一是等式；二是含有未知数.
（3）方程和等式的关系：方程一定是等式，但等式不一定是方程.另外，含有字母的等式也不一定是方程，如a ＋b ＝b ＋a .
2. 一元一次方程
（1）如果一个方程只含有一个未知数，且未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程.任何一个一元一次方程变形后都可以化为ax ＋b ＝0（其中a ≠0，a 、b 为常数）的形式，我们就把ax ＋b ＝0（其中a ≠0，a 、b 为常数）叫做一元一次方程的标准形式，其中ax 叫一次项，a 叫一次项系数，b 叫常数项.
（2）识别一元一次方程时，应注意以下三点：①分母中不含未知数；②方程中只能含有一个未知数；③未知数的次数是1.
3. 方程的解和解方程
（1）方程的解：使方程中等号左右两边相等的未知数的值叫做这个方程的解.
（2）解方程：求方程的解的过程叫做解方程.
4. 等式的性质
（1）等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等.即：如果a ＝b ，那么a ±c ＝b ±c .
（2）等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.即：如果a ＝b ，
那么ac ＝bc ；如果a ＝b ，那么a c ＝b c （c ≠0）.
（3）除此之外，等式还具有：对称性（如果A ＝B ，则B ＝A ）和传递性（如果A ＝B ，B ＝C ，则A ＝C ）.
5. 列方程
根据数量关系列方程，即把文字语言叙述的问题转化为数学语言表达的式子.列方程的
一般步骤：①设字母表示未知数；②将其中一部分数量关系列式表示；③根据已知数和未知数的全部相等关系列出方程.
典型例题
知识点一：等式和方程的概念
例1：选择题.
（1）已知下列各式：①2x －5＝21；②3－2＝1；③x ＋y ；④12x －1＝x 2；⑤3x ＋y ＝6；
⑥5x 2＋3y 2＋4z 2＝0；⑦1x ＋1y ＝8；⑧x ＝0.其中是方程的个数是（ ）
A . 5个
B . 6个
C . 7个
D . 8个
（2）已知下列方程：①x ＋1＝3x ；②5x ＝8；③x 3＝4x ＋1；④x 2＋2x －3＝0；⑤x ＝1；⑥
3x ＋y ＝6.其中是一元一次方程的个数是（ ）
A . 2个
B . 3个
C . 4个
D . 5个
思路分析：
题意分析：本题考查方程和一元一次方程的定义.
解题思路：（1）含有未知数的等式是方程，满足要求的有①④⑤⑥⑦⑧.（2）含有一个未知数，且未知数的次数都是1，这样的方程是一元一次方程，满足要求的有②③⑤. 答案：（1）B ；（2）B .
解题后的思考：解答本题的关键是正确理解方程和一元一次方程的定义.此题容易把x ＋1＝3x 这样的方程误认为是一元一次方程，识别一元一次方程时应注意以下三点：①分母中不含未知数（一元一次方程是整式方程）；②方程中只能含有一个未知数；③未知数的次数是1，一次项的系数不为0.
例2：检验下列各数是不是方程3x －1＝2x ＋1的解.
（1）x ＝4；（2）x ＝2.
思路分析：
题意分析：本题考查对方程的解的理解，方程的解是一个结果，是具体的数值.
解题思路：把x 的值分别代入方程的左右两边，进行计算.如果两边相等，这个未知数的值就是这个方程的解；否则，就不是方程的解.
解答过程：（1）把x ＝4分别代入方程的左右两边，得：
左边＝3×4－1＝11；右边＝2×4＋1＝9，左边≠右边，
所以x ＝4不是方程3x －1＝2x ＋1的解.
（2）把x ＝2分别代入方程的左右两边，得：
左边＝3×2－1＝5；右边＝2×2＋1＝5，左边＝右边，
所以x ＝2是方程3x －1＝2x ＋1的解.
解题后的思考：一般地，要检验某个值是不是方程的解，可以用这个值代替未知数代入方程，看方程左右两边的值是否相等.相等就是方程的解，否则不是.
例3：已知x ＝5是方程2x ＋a ＝3－x 的解，求a 的值.
思路分析：
题意分析：a 是方程2x ＋a ＝3－x 中的一个未知数，a 的值应通过解方程来求得.
解题思路：既然x ＝5是方程的解，就说明可以用5来代替x ，也就是把原方程中的x 换成“5”，得2×5＋a ＝3－5，进而求得a 的值.
解答过程：由于x ＝5是方程2x ＋a ＝3－x 的解，
所以2×5＋a ＝3－5，即10＋a ＝－2，
解得a ＝－12.
解题后的思考：本题巧妙地考查了方程的解和解方程的区别.方程的解是一个结果，而解方程是一个数式变形求解的过程.
小结：知识点一中的例题主要考查区分概念，包括等式和方程、方程和一元一次方程、方程的解和解方程等内容.
知识点二：利用等式的性质解方程
例4：利用等式的性质，在括号内填上适当的数或式子，并说明变形的根据以及是怎样变形的.
（1）如果2x －3＝－5，则2x ＝__________，x ＝__________；
（2）如果5x ＋2＝2x －4，则3x ＝__________，x ＝__________；
（3）如果13x ＝2x －3，则－53x ＝__________，x ＝__________.
思路分析：
题意分析：本题考查等式的性质，等式左边的变形已经给出，要求填上对应的等式右边的变形结果.
解题思路：首先观察等式的左边是如何由上一步变形得到的，确定变形的依据，再对等式的右边进行相应的变形，得出结论.
解答过程：
（1）根据等式性质1，两边同时加上3，得2x ＝－2，再根据等式的性质2，两边同时除以2，得x ＝－1；
（2）根据等式性质1，两边同时减去2x ＋2，得3x ＝－6，再根据等式性质2，两边同时除以3，得x ＝－2；
（3）根据等式性质1，两边同时减去2x ，得－53x ＝－3，再根据等式性质2，两边同时
除以－53，得x ＝95.
解题后的思考：方程是等式，方程变形的理论依据是等式的性质.
例5：利用等式的性质解下列方程.
（1）x －4＝5；（2）－x 3＝3；（3）－x 2－3＝－5.
思路分析：
题意分析：本题考查等式性质的应用.
解题思路：（1）使x－4＝5转化为x＝a（常数）的形式，在方程两边同时加上4.（2）使方
程－x
3＝3转化为x＝a（常数）的形式，将方程左边x的系数化为1，因此在方程两边同时
乘以－3.（3）使方程－x
2－3＝5转化为x＝a（常数）的形式，在方程两边同时加上3，去掉方程左边的常数项，再在方程两边同时乘以－2，将方程左边x的系数化为1.
解答过程：
（1）方程两边同时加上4，得x－4＋4＝5＋4.于是x＝9.
（2）方程两边同时乘以－3，得－x
3×（－3）＝3×（－3）.于是x＝－9.
（3）方程两边同时加上3，得－x
2－3＋3＝5＋3.化简，得－x
2＝8.两边同时乘以－2，得x＝－16.
解题后的思考：用等式的性质解方程，就是使方程转化为x＝a（常数）的形式，要合理地选用等式的性质，不要用错，在变形中要特别注意“负号”.
小结：利用等式的性质解一元一次方程就是把方程变形为x＝a（常数）的形式，从而求得方程的解，在这一过程中，必须注意在等式“两边”同加（或同减、或同乘、或同除以）某个数（除数不能为0），不能只在一边进行.
知识点三：列方程
例6：某工厂3月份的产值比2月份增加10%，4月份的产值比3月份减少10%，则（）
A. 4月份的产值与2月份相等
B. 4月份的产值比2月份增加1
99
C. 4月份的产值比2月份减少1
99
D. 4月份的产值比2月份减少1
100
思路分析：
题意分析：本题要求分析数量关系，4月份的产值与2月份相比的变化情况.
解题思路：设2月份的产值为x，则3月份的产值为1.1x，4月份的产值为1.1x×0.9＝0.99x，
所以4月份的产值比2月份减少1
100
解答过程：D
解题后的思考：本题的数量关系较复杂，共有三个月份.如果把2月份的产值设为x，根据题意求出3月份的产值，再求4月份的产值，最后比较4月份和2月份的产值.
例7：根据下列问题，设未知数列方程.
（1）三个连续偶数的和是2010，那么中间一个偶数是多少？
（2）黄豆芽是人们喜爱的营养丰富的蔬菜，已知把黄豆生成豆芽后，质量可增加7倍，现在要得到30千克这样的豆芽，需要多少千克黄豆？
（3）一件商品按成本价提高40%后标价，再打8折（标价的80%）销售，售价是240元.这件商品的成本价是多少元？
（4）某同学在学校图书室借了一本300页的新书，要在一个月后（30天）归还，刚开始的10天平均每天读6页，那么后面的时间该同学平均每天至少读多少页才能按时看完这本书？
思路分析：
题意分析：本题要求设未知数、列出方程，不需求解.
解题思路：（1）两个连续偶数相差2，对于任意一个偶数x ，比它大的相邻偶数是x ＋2，比它小的相邻偶数是x －2；（2）题的相等关系是：黄豆的质量＋生芽增加的质量＝黄豆芽的质量；（3）题的相等关系是：打折后的售价＝实际售价240元；（4）题的相等关系是：前10天读书页数＋后20天读书页数＝总页数300页.
解答过程：
（1）设中间一个偶数是x ，那么另外两个偶数分别是x —2和x ＋2，根据题意列方程得：
（x －2）＋x ＋（x ＋2）＝2010．
（2）设要得到30千克豆芽，需要x 千克黄豆，根据题意得：
x ＋7x ＝30.
（3）设这件商品的成本价是x 元，则商品的标价是x （1＋40%）元，售价是x （1＋40%）·80%元.根据题意得：
x （1＋40%）·80%＝240.
（4）设后面的时间该同学平均每天至少读x 页，才能按时看完这本书.由题意得： 10×6＋（30－10）×x ＝300.
解题后的思考：列方程的关键是寻找相等关系，分析数量关系.相等关系是列方程的依据，也就是找出方程的左边和右边，而数量关系是指题目中的一些数量如何用已知数和未知数表示出来.
例8：有一位妇女在河边洗碗，由于碗数较多，过路的人问她家中来了多少客人.她不直接回答，倒是给过路的人出了一道难题：这些客人每两人共用一个饭碗，每三人共用一个汤碗，每四人共吃一碗肉，这样不多不少，加起来共65个碗，你知道有多少客人吗？ 思路分析：
题意分析：本题要求适当设出未知数，列方程并解方程，求出客人人数.
解题思路：设有x 位客人，饭碗有12x 个，汤碗有13x 个，肉碗有14x 个，相等关系为：饭碗＋
汤碗＋肉碗＝65.
解答过程：设有x 位客人，根据题意，得：
x ＋13x ＋14x ＝65，即1312x ＝65，
两边都除以1312，得x ＝60.
答：客人有60人.
解题后的思考：列方程解应用题的一般步骤是：①设未知数，②列方程，③解方程.
小结：寻找实际问题中的相等关系是列出方程的关键.在实际问题中，常用一些关键词语来表示问题中的相等关系，如“和、差、积、商、大、小、多、少、几倍、几分之几”等，审题时要抓关键词，并从中灵活地找出相等关系.
提分技巧
1.注意用对比的方法学习等式和方程、方程和一元一次方程等.
2.解方程的两种思想：①利用运算的意义，如解方程x＋2＝3，加数x等于和减去另一个加数，即x＝3－2，得x＝1；②利用等式的性质，如解方程x＋2＝3，两边同时减去2，等式仍成立，即x＋2－2＝3－2，得x＝1.。