高中数学重点知识研究:等差数列前n项和的最值探究-小姚数学

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a1 a2 a3 ak 0 ak 1 ,则: Smin Sk (ak 0) 或 Smin Sk Sk 1 (ak 0) ;
若 d 0,a1 0 时,存在 k N , a1 a2 a3 ak 0 ak 1 ,则:
Smax Sk (ak 0) 或 Smax Sk Sk 1 (ak 0) ;
所以 a3 35, a4 33 ,故 a1 39, d 2 ,
所以 an a3 n 3 d 35 n 32 41 2n ,
2
学高为师,身正为范
小姚数学专题研究系列
Sn
na1
nn 1
2
d
39n
nn
1
n 40
n

法 1: Sn n40 n n 202 400 ,故使得 Sn 达到最大值的 n 是 20 .
其图象是过原点的抛物线上一种“自变量等距离”的孤立的点.若 Sp Sq p, q N*, p q ,
则 Spq 0.
【变式 3】已知等差数列{an} 的首项 a1 0 ,设 Sn 为{an} 的前 n 项和,且 S6 S11 , 则 Sn 取得最小值时, n ____________.
四、方法的灵活选取
【例 4】已知an 为等差数列,a1 a3 a5 105, a2 a4 a6 99 ,以 Sn 表示 an 的前 n
项和,则使得 Sn 达到最大值的 n 是

【解析】由于 an 为等差数列, a1 a5 2a3 , a2 a6 2a4 ,
又 a1 a3 a5 105, a2 a4 a6 99 ,
一、二次函数法
【例
1】已知等差数列
5,
4
2 7
,3
4 7
,
的前
n
项和为
Sn
,求使得
Sn
最大的序号
n
的值.
【解析】由题意知,等差数列 5, 4 2 ,3 4 , 的公差为 5 ,
77
7
所以
Sn
na1
n n 1
2
d
5n
5n
n 1
14
75n 5n2 14
5 14
n
15 2
2
1125 56
.
15 于是,当 n 取与 2 最接近的整数即 7 或 8 时, Sn 取最大值.
S15
a1
a15 2
15
225 .
三、图象法
【例 3】等差数列 an 中,a1 0,p q,S p Sq ,当 n 取何值时,Sn 达到最大值?
【解析】 Sn
na1
n
n 1
2
d
d 2
n
1 2
a1 d
2
d 2
1 2
a1 d
2
是关于
n
的二次函
数且过原点,如图所示.
因为 S p S q ,所以 d 0 ;
所以 d 0 ,又 a4 a5 0 , a4a5 0 ,所以 a4 0, a5 0 , 所以 a1 a2 a3 a4 0 a5 a6
故 S4 最大,即 n 4 时,数列 {an} 其前 n 项和 Sn 取得最大值.
【点评】公差不为零的等差数列{an}, 若 d 0,a1 0 时, 存在 k N * ,
【点评】等差数列 an 的前 n 项和 Sn 的最值问题求解的方法有二次函数法、邻项异号
法、图象法.
【变式 5】等差数列 S n 中,前 n 项和为 Sn , S12 0,S13 0 ,当 n
36

于是,当 n 6 时, Sn 取最小值.
二、邻项异号法
【例 2】若数列{an} 是等差数列,首项 a1 0 ,a4 a5 0 ,a4a5 0 ,则使得前 n 项 和 Sn 取得最大值的正整数 n 是 _____.
【解析】若 d 0 ,因为 a1 0 ,则{an} 满足 an 0, a4 a5 0 ,与题意不符,
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等差数列前 n 项和 Sn 的最值问题的探究
等差数列是一种特殊的基本数列模型,常用 Sn 表示其的前 n 项和,如何求解 Sn 的最值 问题是高中数学的一个重要的知识点,体现了“数”的函数与方程的思想,也渗透了“形”
的数形结合的思想,是提升学生思维素养的重要途径.
法 2: an 41 2n ,当 n 20 时, an 0 ;当 n 21时, an 0 .故使得 Sn 达到最大值 的 n 是 20 .
法 3: Sn n 40 n ,显然有 S1 S39 ,而 Sn n 40 n 的图象是抛物线上的孤立
的点集,根据抛物线的对称性, Sn 达到最大值的 n 是 20 .
1 2
a1 d
的自然数
n
有时有一个,有时有
两个.
【变式 1】已知等差数列 11, 9, 7, 5, 3,的前 n 项和为 Sn ,求使得 Sn 最小的序号 n 的
值.
答案:6【解析】由题意知,等差数列 11, 9, 7, 5, 3, 的公差为 2,
所以
Sn
na1
n n 1
2
d
11n
n
n
1
n
62
【点评】数列可以视为特殊的的函数,等差数列的前 n 项和
Sn
na1
n
n
2
1

2
d 2
1 2
a1 d
2
可以看作项数
n
的二次函数,因
此可以借助于二次函数的最值来求解数列的前 n 项和 Sn 的最值.若 d 0 ,当 n 取最接近
1 2
a1 d
的自然数时,
Sn
达到最值,但,最接近
Sn
所以当 n
pq 2
时,Sn 达到最大值,但,n N ,
(1)若
p q 为偶数,当 n
pq 2
时,Sn 达到最
大值;
Sp Sq Op
q pq n
(2)若
p q 为奇数,当 n
p
q 2
1
时,
Sn

到最大值.
【点评】等差数列 an 的前 n 项和 Sn 视为关于自变量 n 的二次函数,其定义域为 N* ,
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【变式 2】已知等差数列{an} 的通项公式为 an 2n 31,若其前 n 项和为 Sn ,则 Sn 的
最小值为_______.
答案: 225 【解析】当 n 15 时, an 0 ;当 n 16 时, an 0 .
故当
n
15 时,
Sn
取得最小值,且
答案:8

9【解析】借助二次函数图象,S6
S11 ,即点 (6, S6 ) 与 (11, S11)
关于 n
17 2
对称,则 Sn 当取得最小值时, n 8 或 9. 【变式 4】等差数列{an} 中,设{an} 的前 n 项和为 Sn ,且 S10 S20 ,则 S30 的值为_____.
答案:0.
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