2025数学大一轮复习讲义人教版 第八章 圆锥曲线中常见结论及应用

M5 是 AB 的六等分点，分别过这五点作斜率为 k(k≠0)的一组平行线，交椭 圆 C 于 P1，P2，…，P10，则直线 AP1，AP2，…，AP10，这 10 条直线的斜 率乘积为
A.－116
√B.－312
1 C.64
1 D.1 024
由椭圆的性质可得 kAP1·kBP1＝kAP2·kBP2
跟踪训练 3 点 P 为直线 l：y＝14x＋1 上一动点，过 P 作双曲线x42－y2＝ 1 的切线 PA，PB，切点分别为 A，B，则直线 AB 过定点__(－__1_，__－__1_)__.
设P(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 PA，PB 的方程分别为x41x－y1y＝1，x42x－y2y＝1， 因为点 P 在两条直线上，所以x14x0－y1y0＝1，x24x0－y2y0＝1. 这表明，点 A，B 都在直线x40x－y0y＝1 上， 即直线 AB 的方程为x40x－y0y＝1.
所以 yA＝2
6，所以
S△OAB＝12|OF|·|yA－yB|＝8
3
3 .
思维升华
焦半径公式和焦点弦面积公式容易混淆，用时要注意使用的条件； 数形结合求解时，焦点弦的倾斜角可以为锐角、直角或钝角，不能 一律当成锐角而漏解.
跟踪训练4 (1)斜率为 3 的直线经过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F且与
A.2
B.4
C.6
√D.12
由 e＝12，得ac＝12，即 a＝2c.
①
设△F1PF2的内切圆的半径为r，
因为△F1PF2的内切圆的面积为3π，
所以 πr2＝3π，解得 r＝ 3(舍负)，
在△F1PF2中，根据椭圆的定义及焦点三角形的面积公式， 知 S△F1PF2 ＝b2tan ∠F21PF2＝12r(2a＋2c)，
课时精练
一、单项选择题
1.(2023·太原模拟)过抛物线 x2＝8y 的焦点 F 的直线交抛物线于 M，N 两点，
若M→F＝λF→N，|MN|＝9，则 λ 的值为
1 A.3
1 B.2
C.13或 3
√D.12或 2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
在抛物线中，由焦点弦的性质可得|M1F|＋|N1F|＝2p＝12， |MF|＋|NF|＝9，
第八章
§8.10 圆锥曲线中常见结论及应用
重点解读
椭圆、双曲线、抛物线是高中数学的重要内容之一，知识的综合性 较强，因而解题时需要运用多种基础知识，采用多种数学手段，熟 记各种定义、基本公式、法则固然很重要，但要做到迅速、准确地 解题，还要掌握一些常用结论，正确灵活地运用这些结论，一些复 杂的问题便能迎刃而解.
思维升华
周角定理：已知点 P 为椭圆(或双曲线)上异于顶点的任一点，A，B 为长轴 (或实轴)端点，则椭圆中 kPA·kPB＝－ba22，双曲线中 kPA·kPB＝ba22. 周角定理的推广：已知 A，B 两点为椭圆(或双曲线)上关于原点对称的两点， 点 P 为椭圆(或双曲线)上异于 A，B 的任一点，则椭圆中 kPA·kPB＝－ba22， 双曲线中 kPA·kPB＝ba22.
又|AB|＝si2np2α，∴si2np2α＝94p⇒sin α＝232，
又 S△OAB＝ 32|AB|，∴2spin2 α＝ 32|AB|，
即 p2 ＝ 42
32·94p⇒p＝2，∴|AB|＝92.
3
(2)已知抛物线方程为y2＝2px(p>0)，O为坐标原点，过抛物线焦点F的直 线交抛物线于A，B两点，A，B的纵坐标之积为－8，且|AF|＝3|BF|，则 △OAB的面积是
双曲线中 S△PF1F2 ＝
b2 θ.
tan 2
跟踪训练 1 如图，F1，F2 是椭圆 C1：x42＋y2＝1 与双曲线 C2 的公共焦点， A，B 分别是 C1，C2 在第二、四象限的公共点.若四边形 AF1BF2 为矩形， 则 C2 的离心率是
A. 2
B. 3
3 C.2
√D.
6 2
设双曲线 C2 的方程为ax222－by222＝1(a2>0，b2>0)， 则有 a22＋b22＝c22＝c21＝4－1＝3.
面积为 8a2，则 C 的离心率是
A. 3 √B. 5
C.3
D.5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
如图，由对称性知MN与F1F2互相平分， ∴四边形MF2NF1为平行四边形， ∵|F1F2|＝|MN|， ∴四边形MF2NF1为矩形，∴ S△NF1F2 ＝4a2， 又 S△NF1F2 ＝ b2π＝4a2，即 b2＝4a2，
所以 S＝x11y1＝x221x＋1y1y21＝2xy11＋yx11≥2
2xy11·xy11＝ 2，
当且仅当2xy11＝yx11，即 x1＝1，y1＝ 22时等号成立，
所以△OCD 面积的最小值为 2.
思维升华
(1)已知点 P(x0，y0)为椭圆(或双曲线)上任一点，则过点 P 与圆锥曲线相切 的切线方程为椭圆中xa02x＋yb02y＝1，双曲线中xa02x－yb02y＝1. (2)若点 P(x0，y0)是椭圆(或双曲线)外一点，过 点 P(x0，y0)作椭圆(或双曲线)的两条切线，切 点分别为 A，B，则切点弦 AB 的直线方程是 椭圆中xa02x＋yb02y＝1，双曲线中xa02x－yb02y＝1.
抛物线相交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>y2)两点，则
(1)焦半径|AF|＝x1＋p2＝1－cpos
， α
|BF|＝x2＋p2＝1＋cpos
， α
(2)焦点弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝si2np2α， (3)S△OAB＝2spin2 α(O 为坐标原点)， (4)x1x2＝p42，y1y2＝－p2， (5)|A1F|＋|B1F|＝2p，
(6)以AB为直径的圆与准线相切，以FA为直径的圆与y轴相切.
例 4 (1)已知 A，B 是过抛物线 y2＝2px(p>0)焦点 F 的直线与抛物线的
交点，O 是坐标原点，且满足A→B＝3F→B，S△OAB＝ 32|AB|，则|AB|的值为
√A.92
B.29
C.4
D.2
如图，不妨令直线 AB 的倾斜角为 α，α∈0，π2， ∵A→B＝3F→B， ∴F为AB的三等分点， 令|BF|＝t，则|AF|＝2t， 由|B1F|＋|A1F|＝2p，得1t ＋21t＝2p⇒t＝34p， ∴|AB|＝3t＝94p，
题型一 椭圆、双曲线的常用结论及其应用
命题点1 焦点三角形 例 1 (2023·临川模拟)已知椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)，其左、右焦点分别
为 F1，F2，其离心率π3，
已知△F1PF2 的内切圆的面积为 3π，则该椭圆的长轴长为
16 抛物线交于A，B两点，A在第一象限且|AF|＝4，则|AB|＝___3__.
直线l的倾斜角α＝60°， 由|AF|＝1－cpos α＝4， 得p＝4(1－cos α)＝2，
∴|AB|＝si2np2α＝43＝136. 4
(2)(2023·长沙模拟)已知抛物线C：y2＝16x，倾斜角为
π 6
的直线l过焦点F
＝－ba22＝－12.
由椭圆的对称性可得 kBP1＝k ，k AP10 ＝k BP10 AP1，k AP1·k AP10 ＝－12. 同理可得 k AP2·k AP9＝k AP3·k AP8＝k AP4·k AP7＝k AP5·k AP6＝－12. ∴直线 AP1，AP2，…，AP10 这 10 条直线的斜率乘积为－125＝－312.
解得||MNFF||＝＝36， 或||MNFF||＝＝63，， 所以 λ＝2 或12.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2.已知双曲线 C：ax22－by22＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为 F1，F2，直线
l：y＝kx(k≠0)与 C 交于 M，N 两点，且|F1F2|＝|MN|，四边形 MF1NF2 的
tan 4 ∴c2－a2＝4a2，即 c2＝5a2，即 e＝ac＝ 5.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
3.已知F是抛物线C：y2＝4x的焦点，过点F作两条相互垂直的直线l1，l2， 直线l1与C相交于A，B两点，直线l2与C相交于D，E两点，则|AB|＋|DE| 的最小值为
√A.16
B.14
设椭圆C1中，a1＝2，b1＝1， 又四边形AF1BF2为矩形， 所以△AF1F2 的面积为 b21tan 45°＝tanb422 5°， 即 b22＝b21＝1.
所以 a22＝c22－b22＝3－1＝2. 故双曲线 C2 的离心率 e＝ac22＝
32＝
6 2.
命题点2 周角定理 例 2 已知椭圆 C：x22＋y2＝1 的左、右两个顶点分别为 A，B，点 M1，M2，…，
即 33b2＝ 3(a＋c)，
②
又a2＝b2＋c2，
③
联立①②③得 c＝3，a＝6，b＝3 3，
所以该椭圆的长轴长为2a＝2×6＝12.
思维升华
焦点三角形的面积公式：P为椭圆(或双曲线)上异于长(或实)轴端点的
一点，F1，F2为其左、右焦点且∠F1PF2＝θ， 则椭圆中 S△PF1F2 ＝b2·tan θ2，
A.4 2
1 B.4
43 C. 3
√D.8 3 3
不妨令A(xA，yA)在第一象限，B(xB，yB)在第四象限，
则 yAyB＝－p2＝－8，所以 p＝2 2.
又因为|AF|＝3|BF|，所以yyAB＝3，
即|yA|＝3|yB|，代入yAyB＝－8， 可得 3y2B＝8，由于 B 在第四象限，则 yB＝－236，
又 y0＝x40＋1，代入整理得x40(x－y)－(y＋1)＝0， 令x－－yy＋＝10，＝0， 解得xy＝＝－－11，， 即直线AB过定点(－1，－1).
题型二 抛物线的常用结论及其应用
与抛物线的焦点弦有关的二级结论
若倾斜角为 αα≠0，π2的直线 l 经过抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点，且与
跟踪训练 2 已知直线 l：y＝kx 与椭圆 E：ax22＋by22＝1(a>b>0)交于 A，B
两点，M 是椭圆上异于 A，B 的一点.若椭圆 E 的离心率的取值范围是
33，
22，则直线
MA，MB
斜率之积的取值范围是
A.－
22，－12
B.－12，－14
C.－
23，－
2
2
√D.－23，－12
任意一点，过 B 作 C1 的切线 l，l 分别与 x 轴和 y 轴的正半轴交于 C，D
两点，则△OCD 面积的最小值为
A.1
B. 3
√C. 2
D.2
设B(x1，y1)(x1>0，y1>0)， 由题意得，过点 B 的切线 l 的方程为x21x＋y1y＝1， 令 y＝0，可得 Cx21，0，令 x＝0，可得 D0，y11， 所以△OCD 的面积 S＝12·x21·y11＝x11y1， 又点 B 在椭圆上，所以x221＋y21＝1，
交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，则△ABO的面积为__6_4___.
依题意，抛物线y2＝16x，p＝8. 又 l 的倾斜角 α＝π6. 所以 S△OAB＝2spin2 α＝ 82 π＝64.
2sin 6
(3)(2023·“四省八校”联考)已知抛物线y2＝4x，过焦点F的直线与抛物 线交于A，B两点，则2|AF|＋|BF|的最小值为__3_＋__2__2__.
由椭圆中的结论，可得 kMA·kMB＝－ba22，
由椭圆的离心率的取值范围是
33，
22，
即
3 3 <e<
22⇔
3c 3 <a<
22⇔13<ac2<12，
所以13<a2－a2 b2<12⇒－23<－ba22<－12，
即－23<kMA·kMB<－12.
命题点3 切线、切点弦方程 例 3 椭圆 C1：x22＋y2＝1，O 为坐标原点，点 B 为 C1 在第一象限中的
C.12
D.10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
如图，设直线 l1 的倾斜角为 θ，θ∈0，π2， 则直线 l2 的倾斜角为π2＋θ， 由抛物线的焦点弦弦长公式知 |AB|＝si2np2θ＝sin42θ，|DE|＝sin22π2p＋θ＝co4s2θ， ∴|AB|＋|DE|＝sin42θ＋co4s2θ＝sin2θ4cos2θ＝sin1262θ≥16， 当且仅当 sin 2θ＝1，即 θ＝4π时，等号成立，即|AB|＋|DE|的最小值为 16.
因为 p＝2，所以|A1F|＋|B1F|＝2p＝1， 所以2|AF|＋|BF| ＝(2|AF|＋|BF|)·|A1F|＋|B1F|＝3＋2|B|AFF||＋||BAFF||≥3＋2 2|B|AFF||·||BAFF||＝3＋2 2， 当且仅当|BF|＝ 2|AF|，即|AF|＝ 22＋1，|BF|＝ 2＋1 时，等号成立， 因此，2|AF|＋|BF|的最小值为 3＋2 2.