(优辅资源)江西省南昌市第二中学高三上学期第四次考试数学(理)试题Word版含答案

南昌二中2017～2018学年度上学期第四次考试
高三数学（理）试卷
一、选择题（每小题5分，共60分。

每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的选项填涂在答题卡上）
1．设全集U=R ， 集合{}
2log 2x x A =≤， ()()
{
}
310x x x B =-+≥，
则(C U B )⋂ A= （ ） A ．(],1-∞-
B ．(]
(),10,3-∞- C ．[)0,3
D ．()0,3
2．已知{a n }是公比为q 的等比数列，且a 1，a 3，a 2成等差数列，则q ＝( ) A.1或－
1
2 B.1 C.－
12
D.－2
3．给出下列四个命题：
①“若0x 为()=y f x 的极值点，则()0'0f x =”的逆命题为真命题； ②“平面向量a ,b 的夹角是钝角”的充分不必要条件是•0a b < ③若命题1:
01p x >-，则1:01
p x ⌝≤-； ④命题“x R ∃∈，使得210x x ++<”的否定是：“x R ∀∈均有210x x ++≥”. 其中不正确．．．
的个数是 （ ） A. 1 B. 2
C. 3
D. 4
4．已知()()tan ,1,1,2θ=-=-a b ，其中θ为锐角，若+a b 与a b -夹角为90，则
2
1
2sin cos cos θθθ
=+ （ ） A ． 1 B ． 1-
C ． 5
D ．
15
5．已知()21sin ,42f x x x π⎛⎫
=
++ ⎪⎝⎭
()f x '为()f x 的导函数，则()f x '的图像是（ ）
6．已知数列{}n a 的前n 项和为252+-=n n S n ,则数列{}
n a 的前10项和为 （ ）
A.56
B.58
C.62
D.60
7．定义运算
123
4
a a a a ＝a 1a 4－a 2a 3 , 将函数f (x )
sin cos x
x
的图象向左平移n(n>0)个单位，
所得图象对应的函数为偶函数，则n 的最小值为 ( ) A.
6π B.3
π
C.
56
π
D.
23
π 8．在△ABC 中，角、
、
所对的边长分别为,
,,且满足
，则
的最大值是 （ ）
A. 1
B.
C.
D. 3
9．设函数()31,12,1x x x f x x -<⎧=⎨≥⎩
，则满足()()()
2f a f f a =的实数a 的取值范围是（ ）
A.2,13⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
B.[]0,1
C.2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
D.[)1,+∞
10．已知点P 是△ABC 的中位线EF 上任意一点，且EF ∥BC ，实数x ,y 满足
PA +x PB +y PC =→
0，设△ABC 、 △PBC 、△PCA 、△PAB 的面积分别为S 、S 1、S 2、
S 3，记11S S λ=,22S
S λ=,33S S
λ=, 则λ2·λ3取最大值时，3x +y 的值为( ) A.
21
B.
2
3
C. 1
D. 2
11．已知函数kx x f =)(，)1(2ln 2)(2e x e
e x x g ≤≤+=，若)(x
f 与)(x
g 的图象上分别存在点N M ,关于直线e y =对称，则实数k 的取值范围是（ ） A ．]4
,2[2
e e --
B ．]2,2[e e
-
C ．]2,4[2e e -
D ．),4
[2+∞-e 12．已知数列{}n a 满足341=
a ，且()()*
+∈-=-N n a a a n n n 111，则122017
111a a a +
+的整数部分是 （ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
二、填空题（每小题5分，共20分，把答案填写在答题纸的相应位置上）
13．若1tan 2α=
，则cos(2)απ
2
+= . 14．设曲线cos y x =与x 轴、y 轴、直线6
x π
=
围成的封闭图形的面积为b ，若
2()2ln 2g x x bx kx =--在[1,)+∞上单调递减，则实数k 的取值范围是________.
15．对于正项数列{}n a ，定义n
n na a a a n
H +⋯+++=
32132为{}n a 的
“光”值，现知某数列的“光”值为2
2
+=n H n ，则数列{}n a 的通项公式为__________
16．把边长为1的正方形ABCD 如图放置，A 、D 别在x 轴、y 轴的非负半轴上滑动．则OB OC ⋅的最大值是 ．
三、解答题(本大题共70分=10分+12×5分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．（本小题10分）在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且8a b c ++=．
（1）若5
2,2
a b ==，求cos C 的值； （2）若2
2sin cos sin cos 2sin 22
B A
A B C +=，且ABC ∆的面积9sin 2S C =，求a 和
b 的值．
18．（本小题12分）设数列}{n a 的前n 项和为2
2n S n =，}{n b 为等比数列，且
112211)(b a a b b a =-=，．
（1）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式； （2）设n
n
n b a c =，求数列}{n c 的前n 项和n T ．
19．（本小题12分）已知向量()cos2,m x a =， (
)
,2n a x =+
，且函数
()5(,0)f x m n a R a =⋅-∈>.
（1）当函数()f x 在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最大值为3时，求a 的值；
（2）在（1）的条件下，若对任意的t R ∈，函数()y f x =，(]
,x t t b ∈+的图像与直线1y =-有且仅有两个不同的交点，试确定b 的值. 并求函数()y f x =在(]
0,b 上的单调递减区间.
20．（本小题12分）已知函数()0)f x x =
≥，其反函数为y=f -1(x )， 直线
y x =-+分别与函数y =f (x ),y = f -1
(x )的图象交于A n 、B n 两点（其中*∈N n ）;设
||n n n B A a =，n S 为数列}{n a 的前n 项和。

求证：(1)当2≥n 时，22
12
1
2n
n S S S n n n -=
-- (2) 当2≥n 时，)32(
2322n
S S S S n n +++> ．
21．（本小题12分）已知椭圆C ： 22
221(0)y x a b a b
+=>>的上下两个焦点分别为1F ， 2F ，
过点1F 与y 轴垂直的直线交椭圆C 于M 、N 两点， 2MNF ∆C 的离
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）已知O 为坐标原点，直线l ： y kx m =+与y 轴交于点P ，与椭圆C 交于A ，
B 两个不同的点，若存在实数λ，使得4OA OB OP λ+=，求m 的取值范围．
22．（本小题12分）已知函数1ln ()x
f x x +=
（1）若0a > 且函数()f x 在区间1,2a a ⎛⎫
+ ⎪⎝
⎭
上存在极值，求实数a 的取值范围； （2）如果当1x ≥时，不等式()1
k
f x x ≥+恒成立，求实数k 的取值范围； （3）求证()2
2
1!(1)n n n e
-+>+⋅⎡⎤⎣⎦()*
n N ∈
南昌二中2017～2018学年度上学期第四次考试
高三数学（理）试卷参考答案
一、DACAA DCCCD BC 3．C
【解析】对于命题①，由于00x =使得()2000f x x '==，但00x =不是函数()3
y f x x
==的极值点，故命题不正确；对于命题②，由于取()()1,2,1,2a b =-=-，虽有50a b ⋅=-<，但,a b 成平角，故不充分，则命题②不正确；对于命题③，由于101x >-，则其否定1
1
x ≤-显然不正确，故命题③也不正确；故应选答案C 。

5．A
【解析】()2211
sin cos 424
f x x x x x π⎛⎫=
++=+ ⎪⎝⎭，()1'sin 2f x x x =-，()1''cos 2f x x =
-，当03x π≤<，()1''cos 2f x x =-0<，则()1's i n 2
f x x x
=-在[0,
)
3
π
上为减函数，C 、D 两项排除，又因为函数()1
'sin 2
f x x x =-是奇函数，所以其图像关于原点对称。

故选Ａ。

7．C
【解析】由题意，f(x)
sin cos x
x
sin 2cos()6x x x π=-=+，图象向左平移n(n>0)个单位，即得到()2cos()6
f x x n π
=++为偶函数，则6
n k π
π+
=，又0n >，令1k =，
得n 的最小值为56
π
. 8．C 9．C
【解析】由函数的对应关系可知1)(≥a f .当1≥a 时,12≥a ,则0≥a ,故1≥a ；当1<a 时,113≥-a ,即32≥
a .综上所求实数a 的取值范围是3
2
≥a .故应选C. 考点：分段函数的对应关系及指数不等式一次不等式的解法的综合运用. 10．D
【解析】由条件可知
，
，
，那么
，等号
成立的条件为 ，说明点在线段的中点处，此时，
，所有x=y=2
1，
3x+y=2，故选D.
11．B 【解析】设(,)M t kt 为函数kx x f =)(上的一点,则(,)M t kt 关于直线e y =的对称点为(,2)N t e kt -在函数)1
(2ln 2)(2e x e
e x x g ≤≤+=上,所以
22ln 2e kt t e -=+,22ln 1()t k t e t e =-
≤≤,则22ln 2't k t -=,所以k 在1,e e ⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
上为减函数,在(
2,e e ⎤⎦上为增函数,所以当t e =时min 2ln 2e k e e
=-
=-,当1
t e =时max 1
2ln 21
e k e e
=-
=,
故2
2k e e
-
≤≤,选B. 12. C 【解析】由
()(
)*
+∈-=-N n a a a n n n 111
得
111111111
1
(1)111
n n n n n n n n a a a a a a a a ++=
=-⇒=-
-----， 因此
m 12232017201812018201811111
1
111
=31111
11
111
a a a a a a a a a =
-+-++
-
=
--
---------
又21123420182018445269161
1(1)0,1,1,12201,398165611
n n n a a a a a a a a a +=>⇒-=->=+=+=+>⇒>⇒<<-因此
23m <<，即m 的整数部分是2，选C ．
二、13．45-; 14. k ≥0； 15.
21
2n n a n +=； 16.2 15．21
2n n a n
+=
【解析】根据“光”值的定义n
n na a a a n
H +⋯+++=
32132，及22+=n H n
∴a 1+2a 2+ +na n = 2)2(+n n ① ∴a 1+2a 2+ +（n-1）a n-1=2
)
1)(1(+-n n ② ①-②得na n 2
122)1)(1(2)2(+=+--+=
n n n n n ，∴
212n
n a n += 16．2 【解析】设BAx ODA θ∠=∠=，则(cos sin ,sin )OB θθθ=+，
(cos ,sin cos )OC θθθ=+，所以OB OC ⋅=sin 212θ+≤．
17．（1）5
1
-
；（2）3a =，3b =. 解：（1）由题意可知78()2c a b =-+=．
由余弦定理得222
2
2
2
57
2()()122cos 525222
a b c C ab +-+-==
=-⨯⨯． （2）由2
2sin cos sin cos 2sin 22
B A
A B C +=可得 1cos 1cos sin sin 2sin 22
B A A B
C ++⋅
+⋅=， 化简得sin sin cos sin sin cos 4sin A A B B B A C +++=． 因为sin cos cos sin sin()sin A B A B A B C +=+=，
由正弦定理可知3a b c +=，又8a b c ++=，所以6a b +=． 由于19
sin sin 22
S ab C C =
==，所以9ab =，从而2690a a -+=，解得3a =， 所以3b =．
18．(1)a n =4n-2; b=2/4n-1; (2)
解：（1）：当111,2;n a S ===时
24)1(222221-=--=-=≥-n n n S S a n n n n 时，当，
19．（1）2a =;（2）2,63ππ⎡⎤⎢
⎥⎣⎦
.
解：（1）由已知得， ()52225f x m n acos x x a =⋅-=+-
22256asin x a π⎛
⎫=++- ⎪⎝
⎭
0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时， 712,,2,166662x sin x ππππ⎡⎤⎛⎫⎡⎤+∈+∈- ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦ 当0a >时， ()f x 的最大值为453a -=，所以2a =； 当0a <时， ()f x 的最大值为53a -=，故8a =（舍去） 综上：函数()f x 在0,
2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最大值为3时， 2a = （2）当2a =时， ()4216y f x sin x π⎛
⎫
==+
- ⎪⎝
⎭
， 由()y f x =的最小正周期为π可知， b 的值为π. 又由
3222,2
6
2
k x k k Z π
π
πππ+≤+
≤
+∈，可得，2,63k x k k Z ππ
ππ+≤≤
+∈， ∵[]0,x π∈，∴函数()y f x =在[]
0,π上的单调递减区间为2,63ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦. 20．
证明:（1） 联立⎪⎩⎪⎨⎧-=+=x
n y x y 21
2得交点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-n n n n A n 2212,221222，
由此得⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-+n n n n B n 2212,221222，
所以n n n n n n n n n B A a n n n 1
2212221222122212||2
22222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--++⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛+--== 11-=-
n n S n S 22
2112n
n S S S n n n +-=∴-，
∴当2≥n 时，22
12
12n
n S S S n n n -=
-- （2） 由（1）易知 2
12
22
1)
1(112---=
----n n S S S n n n ，……，222
1222122-=-S S S 累加得: )1
3121(1)32(
2222322
n
n S S S S n n +++-++++= 又 )1
3121(
12
22n +++- ])1(1321211[1-++⨯+⨯->n n )1113121211(1n n --++-+-
-= 01
>=n
)32(
23
22
n
S S S S n n +++> 21．（1）2
2
14y x +=；（2） {|21012}m m m m -<<-=<<或或. 解：（1）根据已知椭圆C 的焦距为2c ，当y c =时， 2
122b MN x x a =-=，
由题意2MNF ∆
的面积为21212||2b c
F F MN c MN a
==
=
由已知得c a =21b =，∴2
4a =，∴椭圆C 的标准方程为2214
y x +
=． （2）若0m =，则()0,0P ，由椭圆的对称性得AP PB =，即0OA OB +=， ∴0m =能使4OA OB OP λ+=成立． 若0m ≠，由4OA OB OP λ+=，得144
OP OA OB λ
=
+， 因为A ， B ， P 共线，所以14λ+=，解得3λ=．
设()11,A x kx m +， ()22,B x kx m +，由22,
{440,
y kx m x y =++-=
得()
2224240k x mkx m +++-=，
由已知得()()
222244440m k k m ∆=-+->，即2240k m -+>，
且12224
km
x x k -+=+， 212244m x x k -=+，
由3AP PB =，得123x x -=，即123x x =-，∴()2
1212340x x x x ++=， ∴
(
)
(
)222
2
22441204
4
m k m k k -+
=++，即2
2
2240m k
m k +--=．
当2
1m =时， 2
2
2
2
40m k m k +--=不成立，∴2
2
241
m k m -=-，
∵2240k m -+>，∴
2224401m
m m --+>-，即()
222
401m m m ->-， ∴214m <<，解得21m -<<-或12m <<．
综上所述， m 的取值范围为{|21012}m m m m -<<-=<<或或． 22．(1) 112a <<
解：（1）因为
1ln ()x
f x x +=
， x >0，则2
ln ()x f x x '=-， 当01x <<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<.
所以()f x 在（0，1）上单调递增；在(1,)+∞上单调递减，所以函数()f x 在1x =处取得极大值.
因为函数()f x 在区间1
(,)2
a a +（其中0a >）上存在极值， 所以1,
11,2
a a <⎧⎪
⎨+>⎪⎩ 解得112a <<.
（2）不等式(),1k f x x ≥+即为(1)(1ln ),x x k x
++≥ 记(1)(1ln )(),
x x g x x ++= 所以[]2
(1)(1ln )(1)(1ln )()x x x x x g x x
'++-++'=
2
ln x x x -=
令()ln h x x x =-，则1()1h x x
'=-，
1x ≥，()0,h x '∴≥()h x ∴在[1,)+∞上单调递增，
[]m i n ()(1)10h x h ∴==>，从而()0g x '>， 故()g x 在[1,)+∞上也单调递增，
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优质文档 所以[]min ()(1)2g x g ==，所以2k ≤ .
（3）由（2）知：2(),1f x x ≥+恒成立，即122ln 1111x x x x x
-≥=->-++， 令(1)x n n =+，则[]2ln (1)1(1)n n n n +>-
+， 所以 2ln(12)112⨯>-
⨯,2ln(23)123⨯>-⨯，2ln(34)134⨯>-⨯， … … ()[]()
1211ln +->+n n n n ，
叠加得：232111ln 123(1)21223
(1)n n n n n ⎡⎤⎡⎤⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯+>-++⋅⋅⋅+⎢⎥⎣⎦⨯⨯+⎣⎦ 112(1)2211
n n n n n =-->-+>-++ . 则2222123(1)n n n e -⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯+>，所以()221!(1)n n n e
-+>+⋅⎡⎤⎣⎦*()n N ∈。