广东省普宁市第一中学高二数学上学期期中试题文

2015—2016学年度第一学期期中考高二级
数学（文科）
一、 选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，
有且只有一项是符合要求的．) 1、已知集合2{2,0,2},{|20}A B x x x =-=--=,则A
B =（ ）
A. ∅
B. {}2
C. {0}
D. {2}- 2、“1-<x ”是“02
>+x x ”的（ ）
Ａ．充分而不必要条件 Ｂ．必要而不充分条件 Ｃ．充分必要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件 3 、
131i
i
+=-（ ） A 12i + B. 12i -+ C. 12i - D. 12i --
4 、设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,8374,2S a a ==-,则9a = （ ）
A ．6-
B ．4-
C ．2-
D ．2
5 ．已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是
（ ）
A ．108cm 3
B ．100 cm 3
C ．92cm 3
D ．84cm 3
6 ．若变量y x ,满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≥≤+012y x y x ,则y x z +=2的最大值和最小值分别为
（ ）
A ．4和3
B ．4和2
C ．3和2
D ．2和0
7、若直线y kx k =-交抛物线2
y 4x =于A,B 两点，且线段AB 中点到y 轴的距离为3，则
AB =( )
A 、12
B 、10
C 、8
D 、 6
8 ．阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,如果输入某个正整数n 后,输出的)20,10(∈S ,
那么n 的值为
（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
9、设函数()sin(2)6
f x x π
=+
，则下列结论正确的是（ ）
A 、()f x 的图象关于直线x 3
π
=对称
B 、()f x 的图象关于点(
,0)6
π
对称
C 、()f x 的最小正周期为π，且在[0,]12
π
上为增函数
D 、把()f x 的图象向右平移
12
π
个单位，得到一个偶函数的图象 10、设()f x 与g()x 是定义在同一区间[,]a b 上的两个函数，若函数()g(x)y f x =-在x [,]a b ∈上有两个不同的零点，则称()f x 与g()x 在区间[,]a b 上是“关联函数” ，区间[,]
a b 成为“关联区间”。

若2
()34f x x x =-+与g()2x m x =+在[0,3]上是“关联函数”，则m 的
取值范围为（ ） A 、 9(,2]4-
- B 、 (1,0]- C 、 (,2]-∞- D 、 9
(,]4
-+∞ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
11 ．如图,在平行四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点O ,AB AD AO λ+=,则λ=_____________.
12、在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，“若2
χ的观测值为6．635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系”这句话的意思：
①是指“在100个吸烟的人中，必有99个人患肺病 ②是指“有1%的可能性认为推理出现错误”；
③是指“某人吸烟，那么他有99%的可能性患有肺病”；
④是指“某人吸烟，如果他患有肺病，那么99%是因为吸烟”。

其中正确的解释是
13、已知2()2(0,0)f x mx nx n m =+->>的图象与X 轴交与(2,0)，则
12
m n
+ 的最小值为________
14、给出下列四个结论：
①命题“2,0"x R x x ∃∈->的否定是“2,0x R x x ∀∈-≤”； ②“若22,am bm <则a b <”的逆命题为真； ③函数()sin f x x x =-（x R ∈）有3个零点； ④对于任意实数x ，有()(),()(),f x f x g x g x -=--= 且x>0时,()0,()0,f x g x ''>>则x<0时()().f x g x ''> 其中正确结论的序号是 .（填上所有正确结论的序号）
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. (本小题满分12分)
已知),2
(
ππ
α∈，且sin
cos
2
2
3
α
α
+=
. （Ⅰ）求αcos 的值； （Ⅱ）若53)sin(-
=+βα，)2
,0(π
β∈，求βsin 的值.
16．(本小题满分12分)
某人有3枚钥匙，其中只有一枚房门钥匙，但忘记了开房门的是哪一枚，于是，他逐枚不重复地试开，问：
(Ⅰ)恰好第三次打开房门锁的概率是多少? (Ⅱ)两次内打开房门的概率是多少?
17．(本小题满分14分)
长方体1111ABCD A BC D -中，1AA ，
2AB BC ==，O 是底面对角线的交点。

(Ⅰ) 求证：11//B D 平面1BC D ； (Ⅱ) 求证：1AO ⊥平面1BC D ； (Ⅲ)求三棱锥11A DBC -的体积。

18、(本小题满分14分)
设S n 表示数列{}n a 的前n 项和.
(Ⅰ) 若{}n a 为等差数列, 推导S n 的计算公式;
(Ⅱ) 若11,0a q =≠, 且对所有正整数n , 有11n
n q S q
-=-. 判断{}n a 是否为等比数列.
19．（本小题满分14分）
如图，已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b
y a x C 的离心率22=e ，左、右焦点分别为1F 、2F ，
点)3,2(P 满足：2F 在线段1PF 的中垂线上．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程;
（Ⅱ）若斜率为k 的直线l 与x 轴、椭圆C 顺次相交于点)0,2(A 、M 、N ，且
A MF F NF 212∠=∠，求k 的取值范围．
20．（本题满分14分）
已知函数c bx ax x x f +++=2
3)(图像上一点),1(m M 处的切线方程为02=-y ，其中
c b a ,,为常数.
（Ⅰ）函数)(x f 是否存在单调减区间？若存在，则求出单调减区间（用a 表示）； （Ⅱ）若1=x 不是函数)(x f 的极值点，求证：函数)(x f 的图像关于点M 对称.
班级 姓名 座号 试室号_______ _ ◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆装◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆订◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆线◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆
2015-2016学年度第一学期期中考试 高二级（文科）数学试题答题卷
登分表
一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分，把答案填写下面表格里)
二、填空题： (本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在相应题号横线上)
11. ； 12. ； 13. ； 14. .
三、解答题：(本大题共6小题，共80分， 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 15. （本小题满分12分）
17. （本小题满分14分）
19. （本小题满分14分）
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2015—2016学年度第一学期期中考高二级
数学答案（文科）
二、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分．
B A B A B B
C B C A
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 12 2 12、_____②_______ 13、 8 . . 14、 ①④
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. (本小题满分12分)
解：（Ⅰ）因为sin cos 2
2
α
α
+=
， 所以412sin cos
2
23α
α
+=
，1
sin 3
α=. …………………………（2分） 因为(
,)2
π
απ∈，
所以cos 3
α===-
. ……………………（6分） （Ⅱ）因为(
,),(0,)22π
παπβ∈∈，所以3(,)22
ππ
αβ+∈ 又3sin()5αβ+=-
，得4
cos()5
αβ+=-. …………………………（9分） []sin sin ()βαβα=+-
sin()cos cos()sin αβααβα=+⋅-+⋅
341
()(()5353=-⋅---⋅
4
15
=
. ………………………………………………（12分）
17．(本小题满分12分)
解：设：用a 、b 、c 分别表示3枚钥匙，其中a 是房门钥匙，则这个随机事件可看作是三枚钥匙的一个排序，它包含了：abc 、acb 、bac 、cab 、bca 、cba 共6个基本事件；………………………………4分
(Ⅰ)设：用A 表示事件“恰好第三次打开房门锁”，则事件A 包括bca 、cba 共两个基本事件：……………………………………………………………………6分
21
()63
P A =
= …………………………………………………………………………8分 (Ⅱ)设：用B 表示事件“两次内打开房门锁”，则事件B 包含：abc 、acb 、bac 、cab
共4个基本事件：42
()63
P B ==………………………………………………………10分
答：恰好第三次打开房门锁的概率是13，两次内打开的概率是2
3
． ……………12分
18．(本小题满分14分)
(本小题满分14分)
(Ⅰ) 证明：依题意：11//B D BD ，且11B D 在平面1BC D 外．……………………2分 ∴11//B D 平面1BC D …………………………………………………………………4分 (Ⅱ) 证明：连结1OC
∵BD AC ⊥ 1AA BD ⊥ ∴BD ⊥平面11ACC A …………5分 又∵O 在AC 上，∴1AO 在平面11ACC A 上 ∴1AO BD ⊥…………………………6分
∵2AB BC == ∴11AC AC ==
∴OA =
∴1
Rt AAO ∆中，12AO ==………………………………………7分
同理：12OC =
∵11AOC ∆中，2221111AO OC AC +=
∴11AO OC ⊥………………………………………………………………………8分 ∴1AO ⊥平面1BC D ……………………………………………………………10分 (Ⅲ)解：∵1AO ⊥平面1BC D ∴所求体积1111
32
V AO BD OC =
⋅⋅⋅⋅……………………………………………12分
11
22323
=⋅⋅⋅=………………………………………
19、(本小题满分14分)
【答案】解:(Ⅰ) 设公差为d,则d n a a n )1(1-+= …………………1分
)()()()(2111121121121a a a a a a a a S a a a a S a a a a S n n n n n n n n
n n n ++++++++=⇒⎩⎨⎧++++=++++=---- …………………4分
)2
1(2)()(2111d n a n a a n S a a n S n n n n -+=+=
⇒+=⇒. …………………6分 (Ⅱ) 1,01
1≠≠=q q a 由题知，. …………………8分
n n n n n n n n n n q q q q q q q q S S a q q S N n =--=-----=-=⇒--=∈∀++++11111111
111*
， …………………11分
*21111N n q a n q
n a n n n n ∈=⇒⎩⎨⎧≥==--，. …………………13分
所以,}{n a 数列是首项11=a ,公比1≠q 的等比数列. …………………14分
20．（本小题满分14分）
（Ⅰ）解法一：椭圆C 的离心率2
2=e ， 得2
2=a c ，其中22b a c -=…………1分 椭圆C 的左、右焦点分别为),0,(1c F -、)0,(2c F ， ………2分 又点2F 在线段1PF 的中垂线上，221PF F F =∴，222)2()3()2(c c -+=∴ ………3分 解得1,2,12
2===b a c ， ………5分 ∴椭圆C 的方程为12
22
=+y x ． …………6分
解法二：椭圆C 的离心率22=e ，得2
2=a c ，其中22b a c -=…………1分 椭圆C 的左、右焦点分别为),0,(1c F -、)0,(2c F ， ………2分 设线段1PF 的中点为D ，),0,(1c F - )3,2(P ，)2
3,22(c D -∴， 又线段1PF 的中垂线过点2F ，121-=⋅∴D F PF k k ， ………………3分 即⇒-=--⋅+12
223
23c c c 1,2,122===b a c ， ………………5分 ∴椭圆方程为12
22
=+y x ………………6分 （Ⅱ）由题意，直线l 的方程为)2(-=x k y ，且0≠k ， ………………7分 联立⎪⎩⎪⎨⎧=+-=12
)2(22y x x k y ，得0288)21(2222=-+-+k x k x k ， 由0)21(82>-=∆k ，得2
222<<-k ,且0≠k ………8分 设),(),,(2211y x N y x M ，则有2
221218k k x x +=+，,21282221k k x x +-= （*） A MF F NF 212∠=∠ ，且由题意 ︒≠∠902A NF ，
022=+∴NF MF k k ， 又),0,1(2F ………………10分 0112211=-+-∴x y x y ，即01
)2(1)2(2211=--+--x x k x x k ， ………………11分 0)1111(
221=-+--∴x x ，整理得04)(322121=++-x x x x ， 将（*）代入得，-+-2221416k k 0421242
2=++k k ， ………………12分
知上式恒成立，故直线l 的斜率k 的取值范围是)2
2,0()0,22(⋃-
． …………14分 21．（本题满分14分） 解：（Ⅰ）c bx ax x x f +++=23)(，b ax x x f ++='23)(2， ………………1分 由题意，知2=m ，,21)1(=+++=c b a f 023)1(=++='b a f ，
即.4,32+=--=a c a b ……………………2分 ).3
21)(1(3)32(23)(2a x x a ax x x f ++-=+-+=' …………………3分 ① 当3-=a 时，0)1(3)(2≥-='x x f ，函数)(x f 在区间),(+∞-∞上单调增加， 不存在单调减区间； ……………………5分 ② 当3->a 时，121<--a ，有
∴当3->a 时，函数)(x f 存在单调减区间，为;1,321⎥⎦⎤⎢⎣
⎡--a ……………7分 ③ 当3-<a 时， 121>--a ，有
∴当3-<a 时，函数)(x f 存在单调减区间，为;321,1⎥⎦⎤⎢⎣
⎡--a …………9分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知：若1=x 不是函数)(x f 的极值点，则3-=a ，
,1,3==c b .2)1(133)(323+-=++-=x x x x x f …………………10分 设点),(00y x P 是函数)(x f 的图像上任意一点，则2)1()(3000+-==x x f y ，
点),(00y x P 关于点)2,1(M 的对称点为)4,2(00y x Q --， ,4222)1(2)12()2(0030300y y x x x f -=+-=+--=+--=-
（或 002030020300200302000203004)133(43331
363121261281
)2(3)2(3)2()2(y x x x x x x x x x x x x x x x x f -=++--=+-+-=+-+-+--+-=+-+---=- ）
∴点)4,2(00y x Q --在函数)(x f 的图像上.
由点P 的任意性知函数)(x f 的图像关于点M 对称. …………………14分。