7.2.2定理与证明课件北师大版八年级数学上册

此外，数与式的运算律和运算法则、等式的有关性质，以及反映大小关 系的有关性质都可以作为证明的依据. 例如，如果 a = b，b = c，那么 a = c，这一性质也可以作为证明的依据， 称为“等量代换”. 又如，如果 a > b，b > c，那么 a > c，这一性质同 样可以作为证明的依据.
思考 公理与定理的区别是什么？
8.一村庄积极响应国家“燃气设备村村通”的政策号召，修建天然气管
道，在规划天然气管道路线时，尽量让户与户之间的管道走直线，节省修
建费用，这样做所依据的基本事实是 两点之间线段最短
.
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9. 在证明过程中，不能用来作为推理依据的是( D )
A. 公理 C. 定义
B. 定理 D. 命题
10. 小明在证明“同角的余角相等”时，给出了如下推理过程：
1. 两点确定一条直线. 2. 两点之间线段最短. 3. 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 4. 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 5. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行. 6. 两边及其夹角对应相等的两个三角形全等． 7. 两角及其夹边对应相等的两个三角形全等． 8. 三边对应相等的两个三角形全等．
第10题图
11.根据题意，把下列推理所依据的命题写出来，并指出其是公理还是定 理. (1)在△ABC和△A'B'C'中，AB＝A'B'，∠A＝∠A'，∠C＝∠C'，则 △ABC≌△A'B'C'； 解：依据：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等， 是定理； (2)如果a＝b，b＝c，那么a＝c； 解：依据：等量代换，是公理； (3)三角形的任意两边之和大于第三边. 解：依据：两点之间线段最短，是公理.
定理是经过受逻辑限制的证明为真的陈述. 公理是指依据人类理性的不 证自明的基本事实，经过人类长期反复实践的考验，不需要再加证明的 基本命题. 总结：公理是不需要认证的，是大家公认的， 你能分别举例说出 可以直接拿来用的. 定理是需要证明它是对的， 公理和定理吗？ 才可以拿来用的.
从以上这些基本的事实出发，就可以证明已经探索过的结论了. 例如：以下三个定理就是可证明的.
新知学习
其实，在数学发展史上，数学家们也遇到过 类似的问题. 公元前 3 世纪，人们已经积累了大量知识， 在此基础上，古希腊数学家欧几里得 ( 公元前 300 前后 ) 编写了一本书，书名叫《原本》.
欧几里得
为了说明每一结论的正确性，他在编写这本书时进行了大胆创新，挑选 了一部分数学名词和一部分公认的真命题作为证实其他命题的起始依据， 其中的数学名词称为原名，公认的真命题称为公理，除了公理外，其他 命题的真假都需要通过演绎推理的方法进行判断.
B
C
6. 下面关于公理和定理的说法正确的是( C ) A. 公理是真命题，但定理不是 B. 公理就是定理，定理也是公理 C. 公理和定理都可以作为推理论证的依据 D. 公理和定理都应经过证明后才能使用
7. 下列命题中，属于定理的是( D ) A. 有理数一定是整数 B. 同位角相等，两直线平行 C. 一个角的余角不等于它本身 D. 等角的补角相等
公认的真命题称为公理. 除了公理外，其他命题的真假都需要通过演绎 推理的方法进行判断. 演绎推理的过程称为证明，经过证明的真命题称为定理. 每个定理都只 能用公理、定义和已经证明为真的命题来证明.
在初中阶段，我们需要学总共 9 条公理，目前我们已经学习了其中的 8 条，下面是我们已学过的公理汇总.
演绎推理的过程称为证明，经过证明的 真命题称为定理，每个定理都只能用公 理、定义和已经证明为真的命题来证明. 而证明所需要的定义、公理和其他定理 都编写在要证明的这个定理的前面. 《原本》问世之前，世界上还没有一本 数学书籍像《原本》这样编排，因此， 《原本》是一部具有划时代意义的著作.
几何原本
归纳
B
∴∠AOC 与∠BOD 都是∠AOD 的补角 (补角的定义).
∴∠AOC =∠BOD (同角的补角相等).
由上面的例题，我们可以得到定理：
对顶角相等.
例2 已知：b∥c， a⊥b ．
求证：a⊥c．
证明： ∵ a⊥b (已知) ∴ ∠1 = 90° (垂直的定义) 又 b ∥ c (已知) ∴ ∠2 =∠1 = 90° (两直线平行，同位角相等) ∴ a ⊥ c (垂直的定义).
5. 请你完成定理“三角形的任意两边之和大于第三边”的证明. 已知：如图，△ABC. 求证：AB + BC > AC，BC + CA > AB，CA + AB > BC.
证明：∵AC 是以点 A、点 C 为端点的线段，
A
∴AB + BC > AC (两点之间线段最短).
同理 BC + AC > AB，CA + AB > BC.
b
c
1
2
a
课堂小结
公理、定理和证明的关系
条件 原名、公理
推理的过 程叫证明
经过证明的真命 题叫定理
推理
证实其他命题 的正确性
随堂练习
1.“两点之间，线段最短”这个语句是 ( B )
A. 定理
B. 公理
C. 定义
D. 只是命题
2.“同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”这个语句是 ( )
A. 定理
12. 如图，现给出三个关系式：①∠1＝∠2，②∠B＝∠D，③CB＝CD. 请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出一个真命题，并加 以证明.
第12题图
解：如果∠1＝∠2，CB＝CD，那么∠B＝∠D. 第12题图
已知：如图，AO⊥BO，CO⊥DO. 求证：∠AOC＝∠BOD. 证明：∵AO⊥BO(已知)， ∴ # ＋∠COB＝90°(垂直的定义)， ∴∠AOC＝90°－∠COB( & )， 同理，∠BOD＝ * ， ∴∠AOC＝∠BOD( ☆ ).
第10题图
则下列说法错误的是( D ) A. # 代表∠AOC B. &代表等式的性质 C. *代表90°－∠COB D. ☆代表余角的定义
1. 同角 (等角) 的补角相等. 2. 同角 (等角) 的余角相等. 3. 三角形的任意两边之和大于第三边.
例1 已知：如图，直线 AB 与直线 CD 相交于点 O，∠AOC 与∠BOD
是对顶角.
求证：∠AOC =∠BOD.
A
D
证明：∵直线 AB 与直线 CD 相交于点 O(已知) C
O
∴∠AOB 和∠COD 都是平角 (平角的定义).
B. 公理
C. 定义
D. 只是命题
C
3. 下列命题中，属于定义的是 ( D ) A. 两点确定一条直线； B. 同角的余角相等； C. 互补的两个角是邻补角； D. 点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度.
4. 下列句子中，是定理的是 (B, C )，是公理的是 ( A ). A. 若 a = b，b = c，则 a = c； B. 对顶角相等 C. 全等三角形的对应边相等，对应角相等
7.2.2 定理与证明
学习目标
1. 知道什么是公理，什化思想，以及证明的出发点，通过具体事例
感受证明的基本步骤和书写格式. 难点
3. 经历实际情境，初步体会公理化思想和方法，了解本教材所采用的 公理．
新课引入
几位小朋友在交流“如何 证实一个命题是真命题” 时产生了困惑，我们一起 来看看吧 ~