河北省安平县安平中学高一数学寒假作业13实验班201903220291

河北安平中学高一年级数学学科寒假作业十三
2019年 2 月14 日
一、选择题
1．对两条不相交的空间直线a与b，必存在平面α，使得( )
A．a⊂α，b⊂α B．a⊂α，b∥αC．a∥α，b⊥α D．a⊂α，b⊥α
2．如图所示，点S在平面ABC外，SB⊥AC，SB＝AC＝2，E、F分别是SC和AB的中点，则EF 的长是( )
A．1 B． 2 C.
2
2
D．
1
2
3.如图所示，ABCD­A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是( )
A．A， M，O三点共线 B．A，M，O，A1不共面
C．A，M，C，O不共面 D．B，B1，O，M共面
4．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，有以下四个命题：
①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β.
其中正确的两个命题是( )
A．①② B．③④ C．②④D．①③
5.正四棱锥(顶点在底面的射影是底面正方形的中心)的体积为12,底面对角线的长为2,则侧面与底面所成的二面角为( )
A 30°
B 45°
C 60° D90°
6．已知互相垂直的平面α、β交于直线l.若直线m、n满足m∥α，n⊥β，则( ) A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n
7．如图，在正方体ABCD－A 1B1C1D1中，M、N分别为棱BC和棱CC1的中点，则异面直线
AC与MN所成的角为( )
A．30° B．45° (C)60°(D)90°
8．已知A，B，C，D是空间不共面的四个点，且AB⊥CD，AD⊥BC，则直线BD与AC( ) A．垂直 B．平行 C．相交D．位置关系不确定
二、填空题
9.如图,点P在正方体ABCD A1B1C1D1的面对角线BC1上运动,则下列四个命题:
①三棱锥A D1PC的体积不变;②A1P∥平面ACD1;
③DP⊥BC1;④平面PDB1⊥平面ACD1.
其中正确的命题的序号是.
10．已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱锥S－ABC的体积为9，则球O的表面积为____.
三、解答题
11.如图,在四棱锥P ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD为直角梯形,AB⊥AD,AB∥CD,CD=AD=2AB=2AP.
(1)求证:平面PCD⊥平面PAD;
(2)在侧棱PC上是否存在点E,使得BE∥平面PAD,若存在,确定点E位置;若不存
在,说明理由.
12．如图所示，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，PO ⊥底面ABCD ，底面边长为
a ，E 是PC 的中点．
(1)求证：PA ∥面BDE ；
(2)求证：面PAC ⊥面BDE ；
(3)若二面角E －BD －C 为30°，求四棱锥P －ABCD 的体积．
13．如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是CD ︵
上异于C ，D 的点.
(1)证明：平面AMD ⊥平面BMC ；
(2)在线段AM 上是否存在点P ，使得MC ∥平面PBD ？说明理由．
河北安平中学高一年级数学学科寒假作业十三答案
1.解析：已知两条不相交的空间直线a 和b ，可以在直线a 上任取一点A ，使得A ∉b .过A 作直线c ∥b ，则过a ，c 必存在平面α且使得a ⊂α，b ∥α.答案：B
2.解析：取SA 的中点H ，连接EH 、FH (图略)．因为SB ⊥AC ，则EH ⊥FH ，
在△EFH 中，应用勾股定理得EF ＝ 2.答案：B
3.解析：连接A 1C 1，AC ，则A 1C 1∥AC ，所以A ，C ，C 1，A 1四点共面，所以A 1C ⊂面ACC 1A 1.因为M ∈A 1C ，所以M ∈面ACC 1A 1，
又M ∈面AB 1D 1，所以M 在平面ACC 1A 1与平面AB 1D 1的交线上，同理O 在面ACC 1A 1与面AB 1D 1的交线上，所以A ，M ，O 三点共线，故选A.
4.解析：若α∥β，l ⊥α，则l ⊥β，又m ⊂β，所以l ⊥m ，故①正确；若α⊥β，l ⊥α，
m⊂β，则l与m可能异面，所以②不正确；若l∥m，l⊥α，则m⊥α，又m⊂β，则α⊥β，所以③正确；若l⊥α，l⊥m，m⊂β，则α与β可能相交，故④不正确．综上可知，选D.
5.解析:如图,在正四棱锥S ABCD中,SO⊥底面ABCD,E是BC边中点,则∠SEO即为侧面与底面所成的二面角的平面角.由题易得SO=3,OE=,tan∠SEO=,所以∠SEO=60°,故选C.
6.[解析] 选项A，只有当m∥β或m⊂β时，m∥l；选项B，只有当m⊥β时，m∥n；
选项C，由于l⊂β，∴n⊥l；选项D，只有当m∥β或m⊂β时，m⊥n，故选C．
7.[解析] 如图，连接A1C1、BC1、A1B．∵M、N分别为棱BC和棱CC1的中点∴MN∥BC1．又
A1C1∥AC∴∠A1C1B为异面直线AC与MN所成的角．
∵△A 1BC1为正三角形∴∠A1C1B＝60°.故选C．
8.[解析] 过点A作AO⊥平面BCD，垂足为O，连结BO
∵AB⊥CD，由三垂线定理可得BO⊥CD．同理DO⊥BC，∴O为△ABC的垂心所以
CO⊥BD，BD⊥AO，CO∩AO＝O，∴BD⊥平面ADC，所以BD⊥AC．故选A．
9解析:如图,对于①,容易证明AD1∥BC1,从而BC1∥平面AD1C,故BC1上任意一点到平
面AD1C的距离均相等,所以以P为顶点,平面AD1C为底面的三棱锥的体积不变,即三棱
锥A D1PC的体积不变,①正确;对于②,连接A1B,A1C1,容易证明A1C1 AC,由①知,AD1
∥BC1,所以平面BA1C1∥平面ACD1,从而由线面平行的定义可得,②正确;对于③由于DC
⊥平面BCC1B1,所以DC⊥BC1,若DP⊥BC1,则BC1⊥平面DCP,BC1⊥PC,则P为中点,与P
为动点矛盾,③错误;对于④,连接DB1,由DB1⊥AC且DB1⊥AD1,可得DB1⊥平面ACD1,从
而由面面垂直的判定知④正确.答案:①②④
10[解析] 如图，连接OA，OB．
由SA＝AC，SB＝BC，SC为球O的直径，知OA⊥SC，OB⊥SC．
由平面SCA⊥平面SCB，平面SCA∩平面SCB＝SC，OA⊥SC，知OA⊥平面SCB．
设球O的半径为r，则OA＝OB＝r，SC＝2r
∴三棱锥S－ABC的体积V＝1
3
×(
1
2
SC·OB)·OA＝
r3
3
即r3
3
＝9，∴r＝3，∴S球表＝4πr2＝36π．
11(1)证明:因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥CD. ①
又因为AB⊥AD,AB∥CD,所以CD⊥AD. ②
由①②可得CD⊥平面PAD.又CD⊂平面PCD,所以平面PCD⊥平面PAD.
(2)解:当点E是PC的中点时,BE∥平面PAD.
证明如下:设PD的中点为F,连接EF,AF,易得EF是△PCD的中位线,所以EF∥
CD,EF=CD.由题设可得AB∥CD,AB=CD,所以EF∥AB,EF=AB,
所以四边形ABEF为平行四边形,所以BE∥AF.
又BE⊄平面PAD,AF⊂平面PAD,所以BE∥平面PAD.
12解(1)证明：连接OE，如图所示．∵O，E分别为AC，PC的中点，∴OE∥PA.∵OE⊂面BDE，PA⊄面BDE，∴PA∥面BDE.
(2)证明：∵PO⊥面ABCD，∴PO⊥BD.
在正方形ABCD中，BD⊥AC，又∵PO∩AC＝O，∴BD⊥面PAC.又∵BD⊂面BDE，∴面
PAC⊥面BDE.
(3)如图所示，取OC中点F，连接EF.∵E为PC中点，
∴EF为△POC的中位线，∴EF∥PO.
又∵PO⊥面ABCD，∴EF⊥面ABCD，∴EF⊥BD.
∵OF⊥BD，OF∩EF＝F，∴BD⊥面EFO，∴OE⊥BD.
∴∠EOF 为二面角E －BD －C 的平面角，∴∠EOF ＝30°.
在Rt △OEF 中，OF ＝12OC ＝14AC ＝24a ，∴EF ＝OF ·tan30°＝612a ，∴OP ＝2EF ＝66
a . ∴V P －ABCD ＝13×a 2×66a ＝618
a 3. 13[解析] (1)由题设知，平面CMD ⊥平面ABCD ，交线为CD ．
因为BC ⊥CD ，BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面CMD ，故BC ⊥DM ． 因为M 为CD ︵ 上异于C ，D 的点，且DC 为直径，所以DM ⊥CM ．
又BC ∩CM ＝C ，所以DM ⊥平面BMC ．
而DM ⊂平面AMD ，故平面AMD ⊥平面BMC ．
(2)当P 为AM 的中点时，MC ∥平面PBD ．
证明如下：连结AC 交BD 于O .因为ABCD 为矩形，所以O 为AC 中点．
连结OP ，因为P 为AM 中点，所以MC ∥OP ．
MC ⊄平面PBD ，OP ⊂平面PBD ，所以MC ∥平面PBD ．。