1.4.2 含有一个量词的命题的否定

1.4.2含有一个量词的命题的否定

学习目标 1.理解含有一个量词的命题的否定的意义.2.会对含有一个量词的命题进行否定.3.掌握全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题.

知识点一全称命题与特称命题的否定

思考1写出下列命题的否定：

①所有的矩形都是平行四边形；

②有些平行四边形是菱形.

答案①并非所有的矩形都是平行四边形.

②每一个平行四边形都不是菱形.

思考2对①的否定能否写成：所有的矩形都不是平行四边形？

答案不能.

思考3对②的否定能否写成：有些平行四边形不是菱形？

答案不能.

知识点二含有一个量词的命题p的否定真假性判断

对“含有一个量词的命题p的否定”的真假判断一般有两种思路：一是直接判断¬p的真假，二是用p与¬p的真假性相反来判断.

类型一全称命题的否定

例1写出下列命题的否定，并判断其真假.

(1)p：任意n∈Z，则n∈Q；

(2)p：等圆的面积相等，周长相等；

(3)p：偶数的平方是正数.

解(1)¬p：存在n0∈Z，使n0∉Q，这是假命题.

(2)¬p：存在等圆，其面积不相等或周长不相等，这是假命题.

(3)¬p：存在偶数的平方不是正数，这是真命题.

反思与感悟(1)写出全称命题的否定的关键是找出全称命题的全称量词和结论，把全称量词改为存在量词，结论变为否定的形式就得到命题的否定.

(2)有些全称命题省略了量词，在这种情况下，千万不要将否定简单的写成“是”或“不是”.

跟踪训练1写出下列全称命题的否定：

(1)p：所有能被3整除的整数都是奇数；

(2)p：对任意x∈Z，x2的个位数字不等于3；

(3)p：数列{1,2,3,4,5}中的每一项都是偶数；

(4)p：可以被5整除的整数，末位是0.

解(1)¬p：存在一个能被3整除的整数不是奇数.

(2)¬p：∃x0∈Z，x20的个位数字等于3.

(3)¬p：数列{1,2,3,4,5}中至少有一项不是偶数.

(4)¬p：存在被5整除的整数，末位不是0.

类型二特称命题的否定

例2写出下列特称命题的否定：

(1)p：∃x0∈R，x20＋2x0＋2≤0；

(2)p：有的三角形是等边三角形；

(3)p：有一个素数含三个正因数.

解(1)¬p：∀x∈R，x2＋2x＋2>0.

(2)¬p：所有的三角形都不是等边三角形.

(3)¬p：每一个素数都不含三个正因数.

反思与感悟 与全称命题的否定的写法类似，要写出特称命题的否定，先确定它的存在量词，再确定结论，然后把存在量词改写为全称量词，对结论作出否定就得到特称命题的否定. 跟踪训练2 写出下列命题的否定，并判断其真假： (1)至少有一个实数x 0，使得x 20＋2x 0＋5＝0； (2)存在一个平行四边形，它的对角线互相垂直； (3)存在一个三角形，它的内角和大于180°； (4)存在偶函数为单调函数.

解 (1)命题的否定：对任意x ∈R ，都有x 2＋2x ＋5≠0，是真命题.

(2)命题的否定：对于任意的平行四边形，它的对角线都不互相垂直，是假命题. (3)命题的否定：对于任意的三角形，它的内角和小于或等于180°，是真命题. (4)命题的否定：所有的偶函数都不是单调函数，是真命题. 类型三 全称命题与特称命题的应用

例3 (1)已知命题p ：∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋a ≤0.若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是________. 答案 (0,1)

解析 方法一 若命题p ：∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋a ≤0是真命题，得Δ＝(2a )2－4a ≥0，

即a (a －1)≥0, 若命题p 是假命题，则a (a －1)<0，解得0

方法二 依题意，命题¬p ：∀x ∈R ，x 2＋2ax ＋a >0是真命题，得Δ＝(2a )2－4a <0，即a (a －1)<0，解得0

(2)已知命题p (x )：sin x ＋cos x >m ，q (x )：x 2＋mx ＋1>0.如果对∀x ∈R ，p (x )为假命题且q (x )为真命题，求实数m 的取值范围.

解 由于命题p (x )：对∀x ∈R ，sin x ＋cos x >m 是假命题， 则¬p (x )：∃x 0∈R ，sin x 0＋cos x 0≤m 是真命题， 因为sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π

4∈[－2，2]， 所以m ≥－ 2即可.

由于q (x )：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0为真命题， 即对于∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立， 有Δ＝m 2－4<0，所以－2

所以实数m 的取值范围是{m |－2≤m <2}.

反思与感悟 (1)全称命题的常见题型是“恒成立”问题，全称命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以利用代入可以体现集合中相应元素的具体性质；也可以根据函数等数学知识来解决.

(2)特称命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表述.解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设.

跟踪训练3已知命题p：“∃x0∈R，sin x00恒成立”，若p∧q是真命题，求实数m的取值范围.

解由于p∧q是真命题，则p，q都是真命题.

因为“∃x0∈R，sin x0－1.

又因为“∀x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立”是真命题，

所以Δ＝m2－4<0，解得－2

综上所述，实数m的取值范围是(－1,2).

1.设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集.若命题p：∀x∈A,2x∈B，则()

A.¬p：∀x∈A,2x∉B

B.¬p：∀x∉A,2x∉B

C.¬p：∃x0∉A,2x0∈B

D.¬p：∃x0∈A,2x0∉B

答案D

解析根据题意可知命题p：∀x∈A,2x∈B的否定是¬p：∃x0∈A,2x0∉B.

2.设命题p：∀x∈R，x2＋1＞0，则¬p为()

A.∃x0∈R，x20＋1＞0

B.∃x0∈R，x20＋1≤0

C.∃x0∈R，x20＋1＜0

D.∀x∈R，x2＋1≤0

答案B

解析命题p：∀x∈R，x2＋1＞0，是一个全称命题.

∴¬p：∃x0∈R，x20＋1≤0.

3.下列命题的否定为假命题的是()

A.∃x∈R，x2＋2x＋2≤0

B.∀x∈R，lg x＜1

C.所有能被3整除的整数都是奇数

D.∀x∈R，sin2x＋cos2x＝1