2019届广东省广州市育才中学高三下学期第三次模拟数学(理)试题

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2019届广东省广州市育才中学高三下学期第三次模拟数学
（理)试题
试卷副标题
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题)
请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题
1．已知全集{},1,2,3,4,U Z A ==()(){}
130,B x x x x Z =+->∈，则集合
()U A C B ⋂的子集个数为（ ）
A ．2
B ．4
C ．8
D ．16
2．复数21i
z i
+=
-，i 是虚数单位，则下列结论正确的是 A ．z =B ．z 的共轭复数为
31+22
i C ．z 的实部与虚部之和为1
D ．z 在复平面内的对应点位于第一象限
3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若5632a a a +=+，则7S =（ ） A ．28
B ．14
C ．7
D ．2
4．若点(3,4)P -是角α的终边上一点，则sin 2α=（ ） A ．2425
-
B ．725
-
C ．
1625
D ．
85
5．二项式(√x +2
x 2)n 的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是( )
A ．180
B ．90
C ．45
D ．360
6．一个组合体的三视图如图所示（图中网格小正方形的边长为1），则该几何体的体积
………○…………线…………○…※※请※………○…………线…………○…是（ ）
A ．122
π-
B ．21π-
C ．22π-
D ．24π-
7．已知定义在R 上的函数()2x f x x =⋅，3(log a f =，31
(log )2
b f =-，
(ln 3)c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）
A ．c b a >>
B ．b c a >>
C ．a b c >>
D ．c a b >>
8．已知双曲线22
22:1x y C a b
-=（0a >，0b >），以点P （,0b ）为圆心，a 为半径作
圆P ，圆P 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点，若90MPN ∠=︒，则C 的离心率为（ ） A
B C D 9．如图，在矩形OABC 中的曲线分别是sin y x =，cos y x =的一部分，,02A π⎛⎫
⎪⎝⎭
，()0,1C ，在矩形OABC 内随机取一点，若此点取自阴影部分的概率为1P ，取自非阴影
部分的概率为2P ，则（ ）
A ．12P P <
B ．12P P >
C ．12P P =
D ．大小关系不能
确定
10．函数()sin()f x A x ωϕ=+的部分图象如图中实线所示，图中圆C 与()f x 的图象交于,M N 两点，且M 在y 轴上，则下列说法中正确的是
线…………○……线…………○……
A ．函数()f x 的最小正周期是2π
B ．函数()f x 的图象关于点,034⎛⎫
π ⎪⎝⎭
成中心对称 C ．函数()f x 在2(,)36
ππ
-
-单调递增 D ．函数()f x 的图象向右平移512
π
后关于原点成中心对称
11．己知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，点,M N 分别在抛物线C
上，且30MF NF +=u u u r u u u r r
，直线MN 交l 于点P ，NN l '⊥，垂足为N '，若MN P '∆的面
积为F 到l 的距离为（ ） A ．12
B ．10
C ．8
D ．6
12．已知函数()2ln 2,03,02x x x x f x x x x ->⎧⎪
=⎨+≤⎪⎩
的图像上有且仅有四个不同的关于直线1
y =-对称的点在()1g x kx =-的图像上，则k 的取值范围是( ) A ．13
(,)34
B ．13(,)24
C ．1(,1)3
D ．1(,1)2
第II 卷（非选择题)
请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题
13．在ABC ∆中，点D 在边AB 上，且2DA BD =u u u r u u u r
，设CA a =u u r r ，CB b =u u u r r ，则CD =
u u u r ________（用a r ，b r
表示）
14．某外商计划在4个候选城市中投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有____种．
外…………○………………○……※※请※答※※题※※
内…………○………………○……15．数列{}n a 的前n 项和为1121,2,1,log 2n n n n n n
S a S a b a +⎛⎫
==-
= ⎪⎝
⎭
，则数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和n T =_____． 16．在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．如图，若四棱锥P ABCD -为阳马，侧棱PA ⊥底面ABCD ，且3PA =，4BC AB ==，设该阳马的外接球半径为R ，内切球半径为r ，则
R
r
=__________．
三、解答题
17．ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且3(cos cos )b a B b A =+，
8b c +=.
（1）求,b c ；
（2）若BC 边上的中线7
2
AD =
，求ABC ∆的面积. 18．如图，在平行四边形ABCD 中，2=AD AB ，60A ∠=︒.现沿对角线BD 将ABD ∆折起，使点A 到达点P .点M 、N 分别在PC 、PD 上，且A 、B 、M 、N 四点共面.
（1）求证：//,a b ；
（2）若平面PBD ⊥平面BCD ，平面BMN 与平面BCD 夹角为30°，求PC 与平面
BMN 所成角的正弦值.
…○…………订……___班级：___________考号：___…○…………订……19．已知离心率为12的椭圆22
22:1x y M a b
+=(0)a b >>经过点31,2D ⎛⎫ ⎪⎝⎭.
(1)求椭圆M 的方程；
(2)荐椭圆M 的右焦点为F ，过点F 的直线AC 与椭圆M 分别交于,A B ，若直线DA 、
DC 、DB 的斜率成等差数列，请问DCF ∆的面积DCF S ∆是否为定值？若是，求出此
定值；若不是，请说明理由.
20．武汉有“九省通衢”之称，也称为“江城”，是国家历史文化名城.其中著名的景点有黄鹤楼、户部巷、东湖风景区等等.
（1）为了解“五·一”劳动节当日江城某旅游景点游客年龄的分布情况，从年龄在22岁到52岁的游客中随机抽取了1000人，制成了如图的频率分布直方图：
现从年龄在[]42,52内的游客中，采用分层抽样的方法抽取10人，再从抽取的10人中随机抽取4人，记4人中年龄在[]47,52内的人数为ξ，求()3P ξ=；
（2）为了给游客提供更舒适的旅游体验，该旅游景点游船中心计划在2020年劳动节当日投入至少1艘至多3艘A 型游船供游客乘坐观光.由2010到2019这10年间的数据资料显示每年劳动节当日客流量X （单位：万人）都大于1.将每年劳动节当日客流量数据分成3个区间整理得表：
以这10年的数据资料记录的3个区间客流量的频率作为每年客流量在该区间段发生的概率，且每年劳动节当日客流量相互独立.
该游船中心希望投入的A 型游船尽可能被充分利用，但每年劳动节当日A 型游船最多
若某艘A 型游船在劳动节当日被投入且被使用，则游船中心当日可获得利润3万元；若某艘A 型游船劳动节当日被投入却不被使用，则游船中心当日亏损0.5万元.记Y （单位：万元）表示该游船中心在劳动节当日获得的总利润，Y 的数学期望越大游船中心在劳动节当日获得的总利润越大，问该游船中心在2020年劳动节当日应投入多少艘A 型游船才能使其当日获得的总利润最大？
21．已知函数()2ln f x a x =+，()f x ax ≤. (1)求a 的值； (2)令()
()xf x g x x a
=
-在(,)a +∞上最小值为m ，证明：6()7f m <<. 22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为3cos 2sin x t y t α
α=+⎧⎨=+⎩
（t 为参数）.以坐标
原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=. （1）求直线l 和圆C 的普通方程；
（2）已知直线l 上一点(3,2)M ，若直线l 与圆C 交于不同两点,A B ，求
11
MA MB
+的取值范围.
23．已知函数f(x)=|x −2a |−|x −a |，a ∈R ． （Ⅰ）若f(1)>1，求a 的取值范围；
（Ⅱ）若a <0，对∀x ，y ∈(−∞,a ]，都有不等式f(x)≤|(y +2020)|+|y −a |恒成立，求a 的取值范围．
参考答案
1．C 【解析】 【分析】
先求B.再求U C B ，求得()U A C B ⋂则子集个数可求 【详解】
由题()(){}{
}
130,1x 3,U C B x x x x Z x x Z =+-≤∈=-≤≤∈={}1,0,1,2,3=-, 则集合
(){}1,2,3U A C B ⋂=,故其子集个数为328=
故选C 【点睛】
此题考查了交、并、补集的混合运算及子集个数，熟练掌握各自的定义是解本题的关键，是基础题 2．D 【解析】
分析：利用复数的四则运算，求得13
22
z i =+，在根据复数的模，复数与共轭复数的概念等即可得到结论． 详解：由题意()()()()2
2121313
111122
i i i i z i i i i i ++++=
===+--+-，
则22
z =
=
，z
的共轭复数为1322z i =-， 复数z 的实部与虚部之和为2，z 在复平面内对应点位于第一象限，故选D ．
点睛：复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据,加减运算类似于多项式的合并同类项,乘法法则类似于多项式乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式,再将分母实数化，其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚
部为b (,)a b 、共轭为a bi -．
3．B 【解析】 【分析】
根据等差数列的性质6345a a a a +=+并结合已知可求出4a ，再利用等差数列性质可得
1774()
772
a a S a +=
=，即可求出结果． 【详解】
因为6345a a a a +=+，所以5452a a a +=+，所以42a =， 所以17747()
7142
a a S a +===， 故选：B 【点睛】
本题主要考查等差数列的性质及前n 项和公式，属于基础题． 4．A 【解析】 【分析】
根据三角函数的定义，求得43
sin ,cos 55
αα==-，再由正弦的倍角公式，即可求解. 【详解】
由题意，点(3,4)P -是角α的终边上一点，
根据三角函数的定义，可得43sin ,cos 55αα==-， 则4324
sin 22sin cos 2()5525
ααα==⨯⨯-=-，故选A.
【点睛】
本题主要考查了三角函数的定义和正弦的倍角公式的化简、求值，其中解答中根据三角函数的定义和正弦的倍角公式，准确化简、计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 5．A 【解析】
试题分析：因为(√x +2
x 2)n 的展开式中只有第六项的二项式系数最大，所以n =10，T r+1=
C 10r •(√x)10−r •(2
x )r =2r C 10r x 5−5
2r ，令5−5
2r =0，则r =2，T 3=4C 102
=180.
考点：1.二项式定理；2.组合数的计算. 6．C 【解析】
【分析】
根据组合几何体的三视图还原出几何体，几何体是圆柱中挖去一个三棱柱，从而解得几何体的体积. 【详解】
由几何体的三视图可得，
几何体的结构是在一个底面半径为1的圆、高为2的等腰直角三角形、高为2的棱柱，
故此几何体的体积为圆柱的体积减去三棱柱的体积，
即2
1
V 122222
ππ=••-•••=-，
故选C. 【点睛】
本题考查了几何体的三视图问题、组合几何体的体积问题，解题的关键是要能由三视图还原出组合几何体，然后根据几何体的结构求出其体积. 7．D 【解析】 【分析】
先判断函数在0x >时的单调性，可以判断出函数是奇函数，利用奇函数的性质可以得到
3(log 2)b f =，比较33log 2,ln3三个数的大小，然后根据函数在0x >时的单调性，
比较出三个数,,a b c 的大小. 【详解】
当0x >时，'()22()2ln 220x
x x x f x x x f x x =⋅=⋅⇒=+⋅⋅>，函数()f x 在0x >时，
是增函数.因为()22()x
x f x x x f x --=-⋅=-⋅=-，所以函数()f x 是奇函数，所以有
33311
(log )(log )(log 2)22
b f f f =-=-=，因为3log lo ln31g 20>>>>，函数()
f x 在0x >时，是增函数，所以c a b >>，故本题选D. 【点睛】
本题考查了利用函数的单调性判断函数值大小问题，判断出函数的奇偶性、单调性是解题的关键.
8．A 【解析】 【分析】
求出双曲线的一条渐近线方程，利用圆P 与双曲线C 的一条渐近线交于,M N 两点，且
90MPN ∠=︒
列出方程，求解离心率． 【详解】
不妨设双曲线C 的一条渐近线0bx ay -=与圆P 交于,M N ，
因为90MPN ∠=︒，所以圆心P 到0bx ay -=
2
22b c ==，
即2222c a -=，因为1c
e a
=
>
，所以解得e = 故选A ． 【点睛】
本题考查双曲线的简单性质的应用，考查了转化思想以及计算能力，属于中档题．对于离心率求解问题，关键是建立关于,a c 的齐次方程，主要有两个思考方向，一方面，可以从几何的角度，结合曲线的几何性质以及题目中的几何关系建立方程；另一方面，可以从代数的角度，结合曲线方程的性质以及题目中的代数的关系建立方程. 9．B 【解析】 【分析】
先用定积分求得阴影部分一半的面积，再根据几何概型概率公式可求得． 【详解】
根据题意，阴影部分的面积的一半为：
(
)40
cos sin 1x x dx π
-=
⎰，
于是此点取自阴影部分的概率为)
()11
4141.41122 3.22
P ππ-=⨯=>=． 又211
12
P P =-<，故12P P >． 故选B ．
本题考查了几何概型，定积分的计算以及几何意义，属于中档题． 10．B 【解析】 【分析】
根据函数的图象，求得函数()sin 23f x A x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，
再根据正弦型函数的性质，即可求解，得到答案． 【详解】
根据给定函数的图象，可得点C 的横坐标为
3
π
，所以1()2362T πππ=--=，解得T π=，
所以()f x 的最小正周期T π=， 不妨令0A >，0ϕπ<<，由周期T π=，所以2ω=， 又06f π⎛⎫
-
= ⎪
⎝⎭
，所以3πϕ=，所以()sin 23f x A x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 令2,3
x k k Z π
π+
=∈，解得,26k x k Z ππ
=
-∈，当3k =时，43
x π=，即函数()f x 的一个对称中心为4
,03
π⎛⎫ ⎪⎝⎭
，即函数()f x 的图象关于点4
,03
π⎛⎫ ⎪⎝⎭
成中心对称．故选B ． 【点睛】
本题主要考查了由三角函数的图象求解函数的解析式，以及三角函数的图象与性质，其中解答中根据函数的图象求得三角函数的解析式，再根据三角函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及运算与求解能力，属于基础题． 11．D 【解析】 【分析】
作MM l '⊥，垂足为M '，过点N 作NG MM '⊥，垂足为G ，设(0)NF m m =>，则
3MF m =，结合图形可得2MG m =，||4MN m =，从而可求出60NMG ∠=︒，进而
可求得6MP m =，N P '=，由MN P '∆的面积1
2
△MN P S MM N P '''=
⋅⋅=即可求出m ，再结合F 为线段MP 的中点，即可求出F 到l 的距离．
如图所示，
作MM l '⊥，垂足为M '，设(0)NF m m =>，由30MF NF +=u u u r u u u r
，得3MF m =，则
3MM m '=，NN m '=.
过点N 作NG MM '⊥，垂足为G ，则M G m '
=，2MG m =， 所以在Rt MNG ∆中，2MG m =，||4MN m =，所以||1
cos ||2
MG GMN MN ∠==， 所以60NMG ∠=︒，在Rt PMM '∆中，||3MM m '=，所以6cos60
MM MP m '
==o
，
所以2NP m =，N P '=，
所以 11
322
MN P S MM N P m '''=
⋅⋅=⋅=△4=m ， 因为||||||3||FP FN NP m FM =+==，所以F 为线段MP 的中点， 所以F 到l 的距离为||3622
MM m
p '===． 故选：D 【点睛】
本题主要考查抛物线的几何性质及平面几何的有关知识，属于中档题． 12．D 【解析】 【分析】
根据对称关系可将问题转化为()f x 与1y kx =--有且仅有四个不同的交点；利用导数研究
()f x 的单调性从而得到()f x 的图象；由直线1y kx =--恒过定点()0,1A -，通过数形结
合的方式可确定(),AC AB k k k -∈；利用过某一点曲线切线斜率的求解方法可求得AC k 和AB k ，进而得到结果. 【详解】
()1g x kx =-关于直线1y =-对称的直线方程为：1y kx =--
∴原题等价于()f x 与1y kx =--有且仅有四个不同的交点
由1y kx =--可知，直线恒过点()0,1A - 当0x >时，()ln 12ln 1f x x x '=+-=-
()f x ∴在()0,e 上单调递减；在(),e +∞上单调递增
由此可得()f x 图象如下图所示：
其中AB 、AC 为过A 点的曲线的两条切线，切点分别为,B C
由图象可知，当(),AC AB k k k -∈时，()f x 与1y kx =--有且仅有四个不同的交点 设(),ln 2C m m m m -，0m >，则ln 21
ln 10
AC m m m k m m -+=-=
-，解得：1m =
1AC k ∴=-
设2
3,2B n n n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，0n ≤，则2
3132220
AB
n n k n n ++=+=-，解得：1n =- 31
222
AB k ∴=-+=-
11,2k ⎛⎫∴-∈-- ⎪⎝
⎭，则1,12k ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
本题正确选项：D 【点睛】
本题考查根据直线与曲线交点个数确定参数范围的问题；涉及到过某一点的曲线切线斜率的求解问题；解题关键是能够通过对称性将问题转化为直线与曲线交点个数的问题，通过确定直线恒过的定点，采用数形结合的方式来进行求解.
13．1233
a b +r r
【解析】 【分析】
结合图形及向量的线性运算将CD uuu r
转化为用向量,CA CB u u u r u u u r 表示，即可得到结果．
【详解】
在CAD ∆中CD CA AD =+u u u r u u u r u u u r
，因为2DA BD =u u u r u u u r
，
所以2CD CA AB 3
=+u u u r u u u r u u u
r ，又因为AB CB CA =-u u u r u u u r u u u r ，
所以2212()33331233CD CA AB CA CB CA a b CA CB =+=+-==++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r r ．
故答案为：1233
a b +r r
【点睛】
本题主要考查三角形中向量的线性运算，关键是利用已知向量为基底，将未知向量通过几何条件向基底转化． 14．60 【解析】
试题分析：每个城市投资1个项目有C 43A 33种，有一个城市投资2个有C 42C 21C 32
种，投资方案共C 43A 33 +C 42C 21C 32=24+36=60种.
考点：排列组合. 15．
1
n
n + 【解析】 【分析】 解：111111,21,22n n n n
n
n S a n S a +--⎛⎫⎛⎫=-
≥=- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭时， 两式作差，得()12,2n n
a n a +=≥ ，
经过检验得出数列{}n a 的通项公式，进而求得,n n b c 的通项公式， 裂项相消求和即可． 【详解】 解：111111,21,22n n n n n
n S a n S a +--⎛⎫⎛
⎫=-
≥=- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
Q 时， 两式作差，得()111111,222n n n n
n a a a n +-⎛⎫⎛
⎫=-
--≥ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
化简得
()1
2,2n n
a n a +=≥ ， 检验：当n=1时，211221
1
2,4,22a S a a a a ==
⨯=== ，所以数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列；2n
n a = ，22log log 2n n n b a n ===，
令()11111
,11
n n n c b b n n n n +=
==-++ 1111111111.22334111n n
T n n n n =-+-+-+⋯+-=-=+++
故填：
1
n
n + ． 【点睛】
本题考查求数列的通项公式，裂项相消求数列的前n 项和，解题过程中需要注意n 的范围以及对特殊项的讨论，侧重考查运算能力． 16
【解析】 【分析】
该阳马补形所得到的长方体的对角线为外接球的直径，由此能求出41
2
R =，内切球1O 在侧面PAD 内的正视图是PAD ∆的内切圆，从而内切球半径为，由此能求出
R r
． 【详解】
Q 四棱锥P ABCD -为阳马，侧棱PA ⊥底面ABCD ，
且3PA =，4BC AB ==，设该阳马的外接球半径为R ，
∴该阳马补形所得到的长方体的对角线为外接球的直径，
()2
22221616941R AB AD AP ∴=++=++=，
2
R ∴=
， Q 侧棱PA ⊥底面ABCD ，且底面为正方形，
∴内切球1O 在侧面PAD 内的正视图是PAD ∆的内切圆， ∴内切球半径为21PAD
PAD
S r L ∆∆=
=，
故
R r =
．
【点睛】
本题考查了几何体外接球和内切球的相关问题，补形法的运用，以及数学文化，考查了空间想象能力，是中档题．解决球与其他几何体的切、接问题，关键是能够确定球心位置，以及选择恰当的角度做出截面.球心位置的确定的方法有很多，主要有两种：（1）补形法（构造法），通过补形为长方体（正方体），球心位置即为体对角线的中点；（2）外心垂线法，先找出几何体中不共线三点构成的三角形的外心，再找出过外心且与不共线三点确定的平面垂直的垂线，则球心一定在垂线上. 17．（1）6b =，2c =（2
）4
ABC S =V 【解析】 【分析】
（1）先由正弦定理，得到sin 3sin B C =，进而可得3b c =，再由8b c +=，即可得出结果； （2）先由余弦定理得2222cos c AD BD AD BD ADB =+-⋅⋅∠，
2222cos b AD CD AD CD ADC =+-⋅⋅∠，再根据题中数据，可得231a =
，从而可求出
cos BAC ∠，得到sin BAC ∠，进而可求出结果.
【详解】
（1）由正弦定理得()sin 3sin cos sin cos B A B B A =+， 所以()sin 3sin B A B =+，
因为A B C π++=，所以()()sin sin sin A B C C π+=-=， 即sin 3sin B C =，所以3b c =， 又因为8b c +=，所以6b =，2c =. （2）在ABD ∆和ACD ∆中，由余弦定理得
2222cos c AD BD AD BD ADB =+-⋅⋅∠，2222cos b AD CD AD CD ADC =+-⋅⋅∠.
因为6b =，2c =，2a BD DC ==
，72
AD =， 又因为ADB ADC π∠+∠=，即cos cos ADB ADC ∠=-∠， 所以231a =，
所以2223
cos 28
b c a BAC bc +-∠==，
又因为()0,BAC π∠∈，所以sin BAC ∠=
.
所以ABC V 的面积1sin 2ABC S bc BAC =∠=
V . 【点睛】
本题主要考查解三角形，灵活运用正弦定理和余弦定理即可，属于常考题型.
18．(1)见证明；(2) 5
【解析】 【分析】
(1)本题首先可以设2AB =，通过题意即可得出AD 的长，然后根据余弦定理即可计算出
BD 的长并根据勾股定理判断出AB BD ⊥，最后根据线面平行的相关性质即可得出
//AB MN 并证得MN BD ⊥；
(2)本题可以通过建立空间直角坐标系然后利用平面的法向量来求出PC 与平面BMN 所成
角的正弦值。

【详解】
（1）不妨设2AB =，则4AD =，
在ABD ∆中，根据余弦定理可得2222BD AB AD AB AD COSA =++n n
，计算得
BD =
因为22241216AB BD AD +=+==，所以AB BD ⊥.
因为//CD AB ，且A 、B 、M 、N 四点共面，所以//CD 平面ABMN . 又平面ABMN ⋂平面PCD MN =，所以//CD MN . 而CD BD ⊥，故MN BD ⊥.
（2）因为平面PBD ⊥平面BCD ，且PB BD ⊥，所以PB ⊥平面BCD ，PB AB ⊥， 因为AB BD ⊥，所以AB ⊥平面PBD ，BN AB ⊥，
因为BD AB ⊥，平面BMN 与平面BCD 夹角为30︒，所以30DBN ∠=︒， 从而在Rt PBD ∆中，易知N 为PD 的中点， 如图，建立空间直角坐标系，
则()0,0,0B ，()0,0,2P
，()
C
，()N
，()
M ，
()1,0,0NM =u u u u r
，()BN =u u u r
，()
2PC =-u u u r ，
设平面BMN 的一个法向量为(),,n x y z =r ，则由00n NM n BN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r r u u u r r ，
得0
x z =⎧⎪+=，令1y =
，得(0,1,n r =. 设PC 与平面BMN 所成角为θ，则(
)
sin 905n PC cos n PC
θθ︒
⋅=-==⋅u u u
r r u u u r r 。

【点睛】
本题考查解析几何的相关性质，主要考查线线垂直的证明以及线面所成角的正弦值的求法，考查数形结合思想，考查平面的法向量的使用，考查空间向量在解析几何中的使用，是中档题。

19．(1)22
143
x y +=；(2)是，94
【解析】 【分析】 (1)根据12c e a =
=及222a b c =+可得2243b a =，再将点31,2D ⎛⎫
⎪⎝⎭
代入椭圆的方程与2243b a =联立解出22
,a b ，即可求出椭圆的方程；
(2) 可设AC 所在直线的方程为(1)y k x =-，11(,)A x y ，22(,)B x y ，(,(1))C t k t -，将直线AC 的方程与椭圆的方程联立，用根与系数的关系求出1212,x x x x +，然后将直线DA 、
DB 、DC 的斜率1k 、2k 、3k 分别用12,,x x t 表示，利用1232k k k +=可求出4t =，从而
可确定点C 恒在一条直线4x =上，结合图形即可求出DCF ∆的面积DCF S ∆． 【详解】
(1)因为椭圆的离心率为
1
2，所以12c e a ==，即12
c a =， 又222a b c =+，所以2243b a =，① 因为点31,2D ⎛⎫
⎪⎝⎭在椭圆上，所以
22
1914a b +=，② 由①②解得2243
a b ⎧=⎨=⎩，所以椭圆C 的方程为22
143x y +=．
(1)可知1c =，(1,0)F ，可设AC 所在直线的方程为(1)y k x =-，
由22(1)
14
3y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2222(34)84(3)0k x k x k +-+-=，
设11(,)A x y ，22(,)B x y ，(,(1))C t k t -，则2
122834k x x k +=+，2
12
2
4(3)34k x x k -+=， 设直线DA 、DB 、DC 的斜率分别为1k 、2k 、3k ， 因为,,A B F 三点共线，所以AF BF
k k k ==，即
121211
y y k x x ==--， 所以121212
12121233
311221111211y y y y k k x x x x x x -
-⎛⎫+=
+=+-+ ⎪------⎝⎭
121212()23
22121
x x k k x x x x +-=-⋅=--++，
又
33(1)21
k t k t --=
-，
因为直线DA 、DC 、DB 的斜率成等差数列，所以1232k k k +=，
即(21)(1)2(1)3k t k t --=--，化简得4t =，即点C 恒在一条直线4x =上， 又因为直线DF 方程为1x =，且3
||2
DF =， 所以DCF S ∆是定值1393224
DCF S ∆=⨯⨯=. 【点睛】
本题主要考查椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系及椭圆中的定值问题，属于中档题． 20．（1）()435
3P ξ==；（2）投入3艘A 型游船使其当日获得的总利润最大 【解析】 【分析】
（1）首先计算出在[)42,47，[]47,52内抽取的人数，然后利用超几何分布概率计算公式，计算出()3P ξ=.
（2）分别计算出投入1,2,3艘游艇时，总利润的期望值，由此确定当日游艇投放量. 【详解】
（1）年龄在[)42,47内的游客人数为150，年龄在[]47,52内的游客人数为100；若采用分
层抽样的方法抽取10人，则年龄在[)42,47内的人数为6人，年龄在[]47,52内的人数为4人.
可得()31464
1034
35
C C C P ξ===. （2）①当投入1艘A 型游船时，因客流量总大于1，则()3E Y =（万元）. ②当投入2艘A 型游船时，
若13X <<，则30.5 2.5Y =-=，此时()521132105
P Y P X ⎛
⎫=
=<<== ⎪⎝⎭； 若3X ≥，则326Y =⨯=，此时()()()4
63555
P Y P X P X ==≤≤+>=； 此时Y 的分布列如下表：
此时()14
2.56 5.355
E Y =⨯
+⨯=（万元）. ③当投入3艘A 型游船时，
若13X <<，则312Y =-=，此时()()21
213105
P Y P X ==<<==； 若35X ≤≤，则320.5 5.5Y =⨯-=，此时()()2
5.5355
P Y P X ==≤≤=；
若5X >，则339Y =⨯=，此时()()2
955
P Y P X ==>=；
此时Y 的分布列如下表：
此时()122
2 5.59 6.2555
E Y =⨯
+⨯+⨯=（万元）.
由于6.2 5.33>>，则该游船中心在2020年劳动节当日应投入3艘A 型游船使其当日获得的总利润最大. 【点睛】
本小题主要考查分层抽样，考查超几何分布概率计算公式，考查随机变量分布列和期望的求法，考查分析与思考问题的能力，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题. 21．(1)2a =；(2)见解析． 【解析】 【分析】
(1)将()f x ax ≤转化为2ln 0a ax x -+≤对任意0x >恒成立，令()2ln h x a ax x =-+，故只需max ()0h x ≤，即可求出a 的值；
(2)由(1)知22ln ()(2)2
x x x
g x x x +=
>-，可得22(2ln 4)()(2)x x g x x --'=-，令
()2ln 4s x x x =--，可证0(8,9)x ∃∈，使得0()0s x =，从而可确定()g x 在0(2,)x 上单调
递减，在0(,)x +∞上单调递增，进而可得min 00()()g x g x x ==，即0m x =，即可证出
0()()f m f x ==022ln x +02(6,7)x =-∈．
【详解】
函数()f x 的定义域为(0,)+∞，因为()f x ax ≤对任意0x >恒成立， 即2ln 0a ax x -+≤对任意0x >恒成立， 令()2ln h x a ax x =-+，则()22
ax h t a x x
-+'=-+
=， 当0a ≤时，()0h x '>，故()h x 在(0,)+∞上单调递增， 又(1)0h =，所以当1x >时，()(1)0h x h >=，不符合题意；
当0a >时，令()0h x '=得2
x a
=
， 当20x a
<<时，()0h x '>；当2
x a >时，()0h x '<，
所以()h t 在20,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在2,a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
上单调递减，
所以max 222()2ln 22ln 22ln h x h a a a a a a a ⎛⎫
==-⋅+=-+-
⎪
⎝⎭
， 所以要使()0≤h x 在0x >时恒成立，则只需max ()0h x ≤，即22ln22ln 0a a -+-≤， 令()22ln22ln F a a a =-+-，0a >， 所以22
()1a F a a a
-'=-
=， 当02a <<时，()0F a '<；当2a >时，()0F a '>，
所以()F a 在(0,2) 单调递减，在(2,)+∞上单调递增，所以()(2)0F a F ≥=， 即22ln22ln 0a a -+-≥，又22ln22ln 0a a -+-≤，所以22ln22ln 0a a -+-=， 故满足条件的a 的值只有2 (2)由(1)知()22ln ()(2)2
xf x x x x
g x x x a x +=
=>--，所以2
2(2ln 4)()(2)x x g x x --'=-， 令()2ln 4s x x x =--，则22
()1x s x x x
-'=-
=， 当2x >，时()0s x '>，即()s x 在(2,)+∞上单调递增； 又(8)0s <，(9)0s >，所以0(8,9)x ∃∈，使得0()0s x =， 当02x x <<时，()0s x <；当0x x >时，()0s x >，
即()g x 在0(2,)x 上单调递减，在0(,)x +∞上单调递增，且002ln 40x x --= 所以2
00000000
min
0000022ln 2(4)2()()222
x x x x x x x x g x g x x x x x ++--=====---，
即0m x =，所以000()()22ln 2(6,7)f m f x x x ==+=-∈，即6()7f m <<． 【点睛】
本题主要考查利用导数法求函数的最值及恒成立问题处理方法，第(2)问通过最值问题深化对函数的单调性的考查，同时考查转化与化归的思想，属于中档题．
22．（1）sin cos 2cos 3sin 0x y αααα-+-=，22
20x y x +-=；（2
）
11MA MB <+≤【解析】
分析：（1）用代入法消参数可得直线的普通方程，由公式222
cos x y x ρρθ⎧=+⎨=⎩
可化极坐标方程为
直角坐标方程；
（2）把直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，其中参数t 的绝对值表示直线上对应
点到M 的距离，因此有1MA t =，2MB t =，直接由韦达定理可得11
MA MB
+，注意到直线与圆相交，因此判别式＞0，这样可得α满足的不等关系，由此可求得11
MA MB
+的取值范围.
详解：（1）直线l 的参数方程为32x tcos y tsin α
α=+⎧⎨=+⎩
，
普通方程为sin cos 2cos 3sin 0x y αααα-+-=，
将x
ρθρ
=
=
代入圆C 的极坐标方程2cos ρθ=中,
可得圆的普通方程为2
2
20x y x +-=，
（2）解：直线l 的参数方程为32x tcos y tsin αα=+⎧⎨
=+⎩
代入圆的方程为22
20x y x +-= 可得：
()24cos 4sin 70t t αα+++=（*），
且由题意 ()124cos sin t t αα+=-+，127t t ⋅=,
11
MA MB MA MB MA MB ++=⋅ 12124sin cos 7
t t t t αα+==+. 因为方程（*）有两个不同的实根，所以()2
16cos sin 280αα∆=+->，
即sin cos αα+>
，
又sin cos 4πααα⎛
⎫⎡+=
+∈ ⎪⎣⎝⎭
，
所以sin cos 2
αα⎛+∈ ⎝.
因为sin cos 2αα+∈⎣
，所以4sin cos .77αα+∈⎦
所以
1177
MA MB <+≤. 点睛：（1）参数方程化为普通方程，一般用消参数法，而消参法有两种选择：一是代入法，二是用公式22cos sin 1αα+=；
（2）极坐标方程与直角坐标方程互化一般利用公式222cos sin x y x y ρθ
ρθρ=⎧⎪
=⎨⎪+=⎩
；
（3）过00(,)P x y 的直线l 的参数方程为00cos sin x x t y y t α
α
=+⎧⎨
=+⎩（t 为参数）中参数t 具有几何意义：直线上任一点M 对应参数t ，则PM t =. 23．（Ⅰ）(−∞,−1)∪(1,+∞)；（Ⅱ）[−1010,0). 【解析】 【分析】
（Ⅰ）由题意不等式化为|1−2a|−|1−a|>1，利用分类讨论法去掉绝对值求出不等式的解集即可；
（Ⅱ）由题意把问题转化为[f(x)]max ≤[|y +2020|+|y −a|]min ，分别求出[f(x)]max 和[|y +2020|+|y −a|]min ，列出不等式求解即可． 【详解】
（Ⅰ）由题意知，f(1)=|1−2a|−|1−a|>1， 若a ≤1
2，则不等式化为1−2a −1+a >1，解得a <−1；
若1
2<a <1，则不等式化为2a −1−(1−a)>1，解得a >1，即不等式无解； 若a ≥1，则不等式化为2a −1+1−a >1，解得a >1， 综上所述，a 的取值范围是(−∞,−1)∪(1,+∞)；
（Ⅱ）由题意知，要使得不等式f(x)≤|(y +2020)|+|y −a|恒成立， 只需[f(x)]max ≤[|y +2020|+|y −a|]min ，
当x ∈(−∞,a]时，|x −2a|−|x −a|≤−a ，[f(x)]max =−a ，
因为|y +2020|+|y −a|≥|a +2020|，所以当(y +2020)(y −a)≤0时，
[|y+2020|+|y−a|]
=|a+2020|，
min
即−a≤|a+2020|，解得a≥−1010，
结合a<0，所以a的取值范围是[−1010,0).
【点睛】
本题考查了绝对值不等式的求解问题，含有绝对值的不等式恒成立应用问题，以及绝对值三角不等式的应用，考查了分类讨论思想，是中档题．含有绝对值的不等式恒成立应用问题，关键是等价转化为最值问题，再通过绝对值三角不等式求解最值，从而建立不等关系，求出参数范围.。