二元一次方程组应用——面积问题(解析版)

二元一次方程组应用——面积问题
一、选择题
1、如图，由四个形状相同，大小相等的小矩形，拼成一个大矩形，大矩形的长为8 cm．设小矩形的长为x cm，宽为y cm，则可列方程组（）．
A.
3
8
x y
x y
=
⎧
⎨
+=
⎩
B.
3
8
x y
x y
=
⎧
⎨
+=
⎩
C.
3
8
x y
x
=
⎧
⎨
=
⎩
D.
3
8
x y
y
=
⎧
⎨
=
⎩
2、如图所示是由截面为同一种矩形的墙砖粘贴的部分墙面，其中三块横放的墙砖比一块竖放的墙砖高10 cm，两块横放的墙砖比两块竖放的墙砖低40 cm，则每块墙砖的截面面积是（）．
A. 425 cm2
B. 525 cm2
C. 600 cm2
D. 800 cm2
3、如图所示，宽为50 cm的矩形图案由10个全等的小长方形拼成，设小长方形的长为x （cm），宽为y（cm），给出下列方程组：
①
24
50
x x y
x y
=+
⎧
⎨
+=
⎩
②
24
50
x x y
x y
=-
⎧
⎨
+=
⎩
③()
24
210
x y
x x y xy
=
⎧
⎨+=
⎩
④
4
25010
x y
x xy
=
⎧
⎨
⋅=
⎩
其中能正确反映图中数量关系的有（）．
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
4、如图所示：在长为30米，宽为20米的长方形花园里，原有两条面积相等的小路，其余部分绿化．现在为了增加绿地面积，把公园里的一条小路改为绿地，只保留另一条小路，并且使得绿地面积是小路面积的4倍，则x与y的值为（）．
A.
3
2
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
B.
5
4
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
C.
6
5
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
D.
6
4
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
5、如图，由矩形和三角形组合而成的广告牌紧贴在墙面上，重叠部分（阴影）的面积是4m 2，广告牌所占的面积是30m 2（厚度忽略不计），除重叠部分外，矩形剩余部分的面积比三角形剩余部分的面积多2m 2，设矩形面积是xm 2，三角形面积是ym 2，则根据题意，可列出二元一次方程组为（ ）．
A. ()()430
442x y x y +-=⎧⎨---=⎩
B. ()()26442x y x y +=⎧
⎨---=⎩
C. ()()430442x y y x +-=⎧⎨---=⎩
D. 430
2
x y x y -+=⎧⎨
-=⎩
6、如图，10块相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设小长方形墙砖的长为x ，宽为y ，则依题意列二元一次方程组正确的是（ ）．
A. 52753x y y x +=⎧⎨
=⎩ B . 275
3x y y x
+=⎧⎨=⎩
C. 275
3x y x y
+=⎧⎨
=⎩
D. 275
3x y x y
+=⎧⎨
=⎩
7、如图，面积为64的正方形ABCD 被分成4个相同的长方形和1个面积为4的小正方形，则a 、b 的值分别是（ ）． A. 3，5 B. 5，3
C. 6.5，1.5
D. 1.5，6.5
8、如图，长为12，宽为m 的长方形，被7个大小相同的边长分为a ，b 的小长方形分割成对称的图案（图中每个小于平角的角都为直角），则下列选项正确的是（ ）．
①431222a b a b m +=⎧⎨+=⎩；②
()2123122b m a m =-⎧⎪
⎨=-⎪⎩
；③若m =8，则40b a =⎧⎨=⎩．
④若m 为正整数，则a ，b 不可能同时为正整数． A. ④
B. ②③④
C. ③
D. ①③④
9、如图，用12块相同的小长方形瓷砖拼成一个大的长方形，则每个小长方形瓷砖的面积是（）．
A. 175 cm2
B. 300 cm2
C. 375 cm2
D. 336 cm2
二、填空题
10、如图，由四个形状相同，大小相等的小矩形，拼成一个大矩形，大矩形的周长为12 cm．则小矩形的长为______ cm，宽为______ cm．
11、如图，8块相同的长方形地砖拼成一个长方形，求每块长方形地砖的长和宽，若设每块地砖的宽为x cm，则x的值为______．
12、如图，宽为50 cm的长方形图案由10个相同的小长方形拼成，其中一个小长方形的面积为______ cm2．
13、如图所示，在桌面上放着A、B两个正方形，共遮住的面积为21
cm2．若这两个正方形折叠部分（阴影部分）的面积为3 cm2，且正方形B
除重叠部分外的面积是正方形A除重叠部分外的面积的2倍，则正方形A
的面积是______ cm2．
14、小明在拼图时发现，用8个一样大的长方形恰好可以拼成一个大的长方形，如图1所示；小红看见了，说：“我来试一试!”结果小红七拼八凑，拼成了一个如图2所示的正方形，但中间留下了一个洞，恰好是边长为2 mm的小正方形．则每个小长方形的长是
______mm，宽是______mm．
三、解答题
15、如图，将两张正方形纸片A与三张正方形纸片B放在一起（不重叠无缝隙），拼成一个宽为10的长方形，求正方形纸片A、B的边长．
16、某校规划在一块长AD为18m、宽AB为13m的长方形场地ABCD上，设计分别与AD、AB平行的横向通道和纵向通道，其余部分铺上草皮，如图所示，若设计三条通道，一条横向，两条纵向，且它们的宽度相等，其余六块草坪相同，其中一块草坪两边之比AM:AN=8:9，问通道的宽是多少．
17、小李购买了一套一居室，他准备将房子的地面铺上地砖，地面结构如图所示，根据图中所给的数据（单位：米），解答下列问题：
（1）用含，m，n的代数式表示地面的总面积S．
（2）已知客厅面积是卫生间面积的8倍，且卫生间、卧室、厨房面积的和比客厅还少3平方米，如果铺1平方米地砖的平均费用为100元，那么小李铺地砖的总费用为多少元．
18、列方程（组）解应用题．
（1）在中小学标准化建设工程中，某学校计划购进一批电脑和电子白板，经过市场考察得知，购买1台电脑和2台电子白板共需要3.5万元，购买2台电脑和1台电子白板共需要2.5万元．每台电脑、每台电子白板各多少万元？
（2）在长为12m，宽为9m的长方形空地上，沿平行于长方形各边的方向分割出三个大小完全一样的小长方形花圃，其示意图如右图所示．求其中一个小长方形花圃的长和宽．
19、如图，在长方形ABCD中，放入六个形状大小相同的长方形，所标尺寸如图所示，请你利用方程组的思想方法求出图中阴影部分面积是多少cm2？
20、列方程组解应用题：
如图在长为17 cm，宽为12 cm的长方形中，沿平行于长方形各边的方向分割出6个大小完全相同的小长方形，求其中一个小长方形的长和宽．
21、小明与小王分别要把两块边长都为60 cm的正方形薄钢片要制作成两个无盖的长方体盒子（不计粘合部分）．
（1）小明先在薄钢片四个角截去边长为10 cm的四个相同的小正方形（图一），然后把四边折合粘在一起，便得到甲种盒子，请你帮忙求出该种盒子底面边长．
（2）小王如图（二）截去两角后，沿虚线折合粘在一起，便得到乙种盒子，已知乙种盒子底面的长AB是宽BC的2倍，求乙种盒子底面的长与宽分别是多少？
（3）若把乙种盒子装满水后，倒入甲种盒子内，问是否可以装满甲种盒子，若能装满甲种盒子，那么乙种盒子里的水面有多高？若不能装满甲种盒子，求出此甲种盒子的水面的高度．
22、某包装生产企业承接了一批上海世博会的礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是170 cm×40 cm的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材．如图所示．（单位：cm）
（1）列出方程（组），求出图甲中a与b的值．
（2）在试生产阶段，若将m张标准板材用裁法一裁剪，n张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A型与B型板材做侧面和底面，做成图乙横式无盖礼品盒．
①两种裁法共产生A型板材______张，B型板材______张（用m、n的代数式表示）．
②当30≤m≤40时，所裁得的A型板材和B型板材恰好用完，做成的横式无盖礼品盒可能是______个．（在横线上直接写出所有可能答案，无需书写过程）
参考答案
一、选择题 1、答案：A
解答：由图可知，小矩形的长是宽的3倍，故x =3y ，大矩形的长由一条小矩形的长和宽构成，故x +y =8． 选A. 2、答案：B
解答：设每块墙砖的长为x cm ，宽为y cm ，
根据题意得：1032240x y x y +=⎧⎨=+⎩，解得：35
15x y =⎧⎨=⎩
，
则每块墙砖的截面面积是35×15=525 cm 2． 选B. 3、答案：C
解答：根据图形间的关系列出方程组可知④正确． 4、答案：D
解答：由题意可知：2030302030304x y y y =⎧⎨⨯-=⨯⎩，解得：6
4
x y =⎧⎨=⎩．
选D. 5、答案：A
解答：根据等量关系：①矩形面积+三角形面积-阴影面积=30， ②（矩形面积-阴影面积）-（三角形面积-阴影面积）=2，
列出方程组()()430
442x y x y +-=⎧⎨---=⎩
．
6、答案：C
解答：设小长方形墙砖的长为x cm ，宽为y cm ，则依题意得：
2753x y y x +=⎧⎨
=⎩
． 7、答案：A 解答：由题意得：82a b b a +=⎧⎨
-=⎩，解得：3
5
a b =⎧⎨=⎩．
8、答案：C
解答：将长方形分别向上平移、向左平移，可以得到： ①4312
22a b a b m
+=⎧⎨
+=⎩，
化简可得：②2123122b m a m =-⎧⎪
⎨=-⎪⎩
．
③当m =8时，
28124
3
12802b a =⨯-=⎧⎪
⎨=-⨯=⎪⎩
． ④m 为正整数时，a ，b 也同时为正整数． 9、答案：B
解答：设小长方形的长为x cm ，宽为y cm ， 根据题意得：40332x y x y x +=⎧⎨
=+⎩，解得：30
10
x y =⎧⎨=⎩，
故xy =30×10=300 cm 2， 选B. 二、填空题 10、答案：2,1
解答：设小矩形的长为x cm ，宽为y cm ，由题意，得：
()22212x y x y y =⎧⎨++=⎩，解得：2
1x y =⎧⎨=⎩
． 故答案为：2，1． 11、答案：15 解答：长为60-x ， 2（60-x ）=3x +（60-x ）， x =15． 12、答案：400
解答：设一个小长方形的长为x cm ，宽为y cm ，
则可列方程组50
42x y x y x
+=⎧⎨
+=⎩，解得4010x y =⎧⎨=⎩．
则一个小长方形的面积=40 cm×10 cm=400 cm 2． 13、答案：9
解答：设正方形A 的面积为x cm 2，正方形B 的面积为y cm 2， 由题意，得()
321323x y y x +-=⎧⎨
-=-⎩，解得：915x y =⎧⎨=⎩．
即正方形A 的面积为9 cm 2． 故答案为：9． 14、答案：10,6
解答：设每个长方形的宽为x mm ，长为y mm ， 那么可列出方程组为：5322x y x y =⎧⎨-=⎩，解得：610x y =⎧⎨=⎩
．
故答案为：10，6． 三、解答题
15、答案：A 、B 边长分别为6，4． 解答：设A 边长为a ，B 边长为b 2310a b a b =⎧⎨+=⎩.解得6
4a b =⎧⎨=⎩
答：A 、B 边长分别为6，4． 16、答案：通道的宽是1米．
解答：设通道的宽为x 米，AM 为8y ，AN 为9y ， 由题意可知：38218
2913y x y x ⨯+=⎧⎨
⨯+=⎩，方程组整理得：242181813y x y x +=⎧⎨+=⎩①②
，
②×2-①得：12y =8， y =
2
3， 代入②得： 18×
2
3
+x =13 12+x =13 x =1，
答：通道的宽是1米．
17、答案：（1）S =2n +6m +18．
（2）总费用为4500元．
解答：（1）S =2n +3×（2+2）+2×（6-3）+6m
=2n +12+6+6m
=2n +6m +18．
（2）依题意可列方程组：
286122663n m n m ⨯=⎧⎨++=-⎩
， ∴432m n =⎧⎪⎨=⎪⎩
， S =2n +6m +18=2×32
+6×4+18=45． 总费用为45×100=4500（元）．
拼接图形问题对于规则图形（长方形、正方形）的面积求解问题，要先找出整体图形的边长与小图形边长的关系（识别出小图形是如何拼成整体图形的），再用未知数表示小图形的长与宽，最后根据拼接图形边长的数量关系列出方程组．
18、答案：（1）每台电脑0.5万元，每台电子白板1.5万元．
（2）小长方形花圃的长和宽分别为5m 和2m ．
解答：（1）设每台电脑x 万元，每台电子白板y 万元，
根据题意得：2 3.52 2.5x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得0.51.5x y =⎧⎨=⎩
， 答：每台电脑0.5万元，每台电子白板1.5万元．
（2）设小长方形的长x ，小长方形宽y ，
根据题意得：21229x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：52
x y =⎧⎨=⎩．
答：小长方形花圃的长和宽分别为5m 和2m ．
19、答案：44 cm 2．
解答：设小长方形的长为x cm ，宽为y cm ，
根据题意得：26314x y y x y +-=⎧⎨+=⎩，解得：82
x y =⎧⎨=⎩，
∴S 阴影=14×（6+2×2）-8×2×6=44（ cm 2）．
答：图中阴影部分面积是44 cm 2．
20、答案：小长方形的长为5 cm ，宽为2 cm ．
解答：设一个小长方形的长为x cm ，宽y cm ，
317212x y x y +=⎧⎨+=⎩①②
， ①-②得x =5
将x =5代入②，
10+y =12，
y =2，
52x y =⎧⎨=⎩
． 答：小长方形的长为5 cm ，宽为2 cm ．
21、答案：（1）40 cm ．
（2）乙种盒子长为20 cm ，宽为10 cm ．
（3）5 cm ．
解答：（1）60-20=40（cm ）．
答：甲种盒子底面长40 cm ．
（2）设长AB 为x cm ，宽BC 为y cm ．根据题意，得
22260x y x y =⎧⎨+=⎩
，解得：x =20，y =10． 答：乙种盒子长为20 cm ，宽为10 cm ．
（3）不能装满．
设甲种盒子里的水面高度为a 厘米，
40×40·a =20×10×40，
解得
a =5．
答：甲种盒子里的水面高5 cm ．
22、答案：（1）
60
40
a
b
=
⎧
⎨
=
⎩
．（2）①2m+n；m+2n②24或27或30
解答：（1）由题意得：
210170
230170
a b
a b
++=
⎧
⎨
++=
⎩
，解得
60
40
a
b
=
⎧
⎨
=
⎩
．
（2）①由图示裁法一产生A型板材为：2×m=2m，裁法二产生A型板材为：1×n=n，
所以两种裁法共产生A型板材为2m+n（张），
由图示裁法一产生B型板材为：1×m=m，裁法二产生A型板材为，2×n=2n，
所以两种裁法共产生B型板材为（m+2n）张．
故答案为：2m+n；m+2n．
②当30≤m≤40时，所裁得的A型板材和B型板材恰好用完，做成的横式无盖礼品盒可能是24或27或30个．
故答案为：24或27或30．。