江西省南昌市十校2017届高三数学第二次模拟突破冲刺试题七理201704200377

输出p 1
k k =+p p k
=⋅k N
≤开始1,1
k p ==输入N
结束
否
是
第3题
江西省南昌市十校2017届高三数学第二次模拟突破冲刺试题（七）理
一、选择题：本小题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。

1. 已知集合{}
2log 1P x x =<-，{}
1Q x x =<，则P Q =（ ）
A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．()0,1
D ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭
2. 已知i 为虚数单位，复数z 满足()
2
313i
1i z +=-，则z 为（ ）
A ．
12 B ．22
C ．
2
16 D ．
24
3.将函数sin 2y x =的图象向左平移6
π
个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是（ ）
A ．sin 216y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭
B ． sin 213y x π⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭
C ．sin 216y x π⎛⎫
=-
- ⎪⎝
⎭ D ．sin 213y x π⎛
⎫=-- ⎪⎝⎭
4. 2016年高考体检，某中学随机抽取5名女学生的身高x （厘米）和体重y （公斤）的数据如下表：
x 165 160 175 155 170 y 58 52 62 43 60
根据上表可得回归直线方程为0.92y x a =+，则=a （ ） A ．8.96- B ．8.96 C ．4.104- D ．4.104 5.执行右面的程序框图()N *∈N ，那么输出的p 是
A.3
3A N N ++ B.2
2A N N ++ C. A N
N D. 1
1A N N ++ 6. 由曲线y x =
，直线2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为（ ）
A ．
10
3 B ．4
C ．
163
D ．6
7设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和, 若46=S ，2818=S ，则=12S __________
A.12
B.74
C.12±
D.74±
8.五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币. 若硬
币正面朝上, 则这个人站起来; 若硬币正面朝下, 则这个人继续坐着. 那么, 没有相邻的两个人站起来的概率为 （A ）
12 （B ）1132 （C ） 1532 （D ）516
9.已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线为l ，过F 的直线与C 交于A 、B 两点， 与l 交于点P ，若3AF FB =，则PF = A.7 B.7.5 C.8 D.8.5
10.已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ,则1234_________.x x x x +++= A.-4 B.4 C.-8 D.8
11.甲、乙两队各出5名队员按事先安排好的顺序出场参加围棋擂台赛.双方先由1号队员比赛,负者被淘汰,胜者再与负方2号队员比赛……直到有一方队员全被淘汰为止,另一方获胜,形成一个比赛过程.那么所有可能出现的比赛过程的种数为( )
（A ）70 （B ）252 （C ）140 （D ）504
12.已知函数()()2
2,2,
2,2,
x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ 函数()()2g x b f x =-- ，其中b R ∈ ，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则b 的取值范围是
A.7,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
B.7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭
C.70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭
D.7,24⎛⎫
⎪⎝⎭
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。

第13～21题为必考题，每个考生都必须作答。

第22～23题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本小题共4题，每小题5分。

13. 在平面直角坐标系中，已知函数log (3)2a y x =-+(0,1)a a >≠且的图像过定点P ，角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点P ，则23sin cos 2αα+的值为 .
4
321乙
甲
14.设n S 为数列{}n a 的前n 项和, 已知12a =, 对任意,p q ∈N *, 都有
p q p q a a a +=+， 则()60
(1
n S f n n n +=
∈+N *)的最小值为 15．某几何体的三视图如图，则该几何体的外接球表面积 . 16.ABC ∆中，AB ＝4，6
,4
π
π
=
∠=
∠ACB ABC ，O 为外心，D,E 分别为AB ，
AC 上定点，满足EC AE DB AD 2,==，BE ，CD 交于G 点，则AG AO ⋅＝______________ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

(17)（本小题满分12分）在ABC ∆，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，
已知cos (cos 2sin )cos 0B A A C +-=． （Ⅰ）求cos C 的值；
（Ⅱ）若5a =，AB 边上的中线2CM =，求sin B 及ABC ∆的面积
(18)（本小题满分12分）
某苗圃基地为了解基地内甲、乙两块地种植的同一种树苗的长势情况，从两块地各随机抽取了
10株树苗，分别测出它们的高度如下（单位：cm ）
甲：19 20 21 23 25 29 32 33 37 41 乙：10 24 26 30 34 37 44 46 47 48 （Ⅰ）用茎叶图表示上述两组数据，并对两块地
抽取树苗的高度进行比较，写出两个统计结论；
（Ⅱ）苗圃基地分配这20株树苗的栽种任务，小王在苗高大于40cm
的5株树苗中随机的选种3株，记X 是小王选种的3株树苗中苗高 大于45cm 的株数，求X 的分布列与数学期望EX ．
19．（本小题满分12分）
如图，ABC ∆和BCD ∆所在平面互相垂直，且2===BD BC AB ，
120=∠=∠DBC ABC ，E ,F 分别为AC ,DC 的中点．(1)求证：EF ⊥BC ；
(2)求二面角C BF E --的正弦值．
20．（本小题满分12分）
已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为
2
2
，它的一个焦点恰好与抛物线24y x =的焦点重合.（1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆的上顶点为A ，过点A 作椭圆C 的两条动弦,AB AC ，若直线,AB AC 斜率之积为1
4
，直线BC 是否一定经过一定点?若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由.
21．（本小题满分12分）
已知函数()()()()ln 1,11
x
f x m x
g x x x =+=
>-+. （1）讨论函数()()()F x f x g x =-在()1,-+∞上的单调性；
（2）若()y f x =与()y g x =的图象有且仅有一条公切线，试求实数m 的值. 请考生在第22～23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22.（本小题满分10分）
在直角坐标系xOy 中，直线L 的参数方程为2
3,2
25,2
x t y t ⎧=-
⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），在极坐标系（与直角坐
标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为
=25sin ρθ.
（1）求圆C 的直角坐标方程；
（2）设圆C 与直线L 交于点,A B .若点P 的坐标为5)，求PA PB +.
23．（本小题满分12分）
已知函数()2f x x a a =-+，a ∈R ，()21g x x =-． （1）若当()5g x ≤时，恒有()6f x ≤，求a 的最大值；
（2）若当x ∈R 时，恒有()()3f x g x +≥，求a 的取值范围．
8
7
6
7464
0403
7
315
9
1
209
4
321乙甲理科数学试题答案及评分参考
一、选择题
（1）A （2）D （3）B （4）A （5）D （6）C
（7）A （8）B （9）C （10）C （11）B （12）D 二、填空题
（13）
56
（14）292
（15）π20 （16）10 三、解答题
（17）解：（Ⅰ）因为cos cos()cos cos sin sin B A C A C A C =-+=-+………………1分 又已知cos (cos 2sin )cos 0B A A C +-=，
所以sin sin 2sin cos 0A C A C -=…………………………………………………………2分 因为sin 0A ≠，所以sin 2cos 0C C -=……………………………………………………3分 于是tan 2C =…………………………………………………………………………………4分 所以5
cos C =
………………………………………………………………………………6分 （Ⅱ）因为2CA CB CM +=…………………………………………………………………7分 两边平方得2230b b +-=，解得1b =………………………………………………………8分 在ABC ∆中，由余弦定理得2222cos 4c a b ab C =+-=，所以2c =…………………10分 由此可知ABC ∆是直角三角形，故5
sin 5
B =
…………………………………………11分 ABC ∆的面积1
sin 12
S ab C =
=…………………………………………………………12分 （18）解：（Ⅰ）1.乙品种树苗的平均高度大于甲品种树 苗的平均高度．
（或：乙品种树苗的高度普遍大于甲品种树苗的高度）． 2.乙品种树苗的高度较甲品种树苗的高度更分散．
（或：甲品种树苗的高度较乙品种树苗的高度更集中（稳定）． 3.甲品种树苗的高度的中位数为27mm ，乙品种树苗的高度的 中位数为35.5mm ．
4.甲品种树苗的高度基本上是对称的，而且大多集中在中间 （均值附近）．乙品种树苗的高度不对称，其分布不均匀．
（注：以上四点答对任意两点均给分）……………………………………………………6分 （Ⅱ）1,2,3X =
123235C C 3(1)C 10P X =
==，213235C C 6(2)C 10P X ===，3032
35C C 1(3)C 10
P X ===………10分
X 的分布列为：
X
1
2
3
P
3
10 610 110
9
5
EX =
………………………………………………………………………………………12分 19.
20．解：（1）2
212
x y += …………………………4分
（2）由（1）知(0,1)A ，
当直线BC 的斜率不存在时，设0:BC x x =，设00(,)B x y ，则00(,)C x y -，
22
000
220000*********
AB AC
x y y y k k x x x x ----⋅=⋅===≠，不合题意.………………6分 故直线BC 的斜率存在.设直线BC 的方程为：y kx m =+，(1m ≠)，并代入椭圆方程，得：
222(12)42(1)0k x kmx m +++-= ①…………………………7分
由222(4)8(12)(1)0km k m ∆=-+->得22210k m -+> ② 设1122(,),(,)B x y C x y ，则12,x x 是方程①的两根，由韦达定理
2121222
42(1)
,1212km m x x x x k k -+=-⋅=
++，………………………………8分 由1212111
4
AB AC y y k k x x --⋅=
⋅=得： 12121244()4y y y y x x -++=，…………………………10分
即2
2
1212(41)4(1)()4(1)0k x x k m x x m -+-++-=，整理得
(1)(3)0m m --=，又因为1m ≠，所以3m =，此时直线BC 的方程为3y kx =+.
所以直线BC 恒过一定点(0,3)P ……………12分 21.解析：（Ⅰ）22
1(1)1
()()(),(1)1(1)(1)
m m x F x f x g x x x x x +-'''=-=
-=>-+++ 当0m ≤时，()0F x '<，函数()F x 在(1,)-+∞上单调递减；…………………………2分 当0m >时，令1()0,1F x x m '<⇒<-+
，函数()F x 在1
(1,1)m --+上单调递减； 1()0,1F x x m '>⇒>-+
，函数()F x 在1
(1,)m
-++∞上单调递增 综上所述，当0m ≤时，()F x 的单减区间是(1,)-+∞；
当0m >时，()F x 的单减区间是1
(1,1)m
--+， 单增区间是1
(1,)m
-+
+∞…………………………………………4分 （Ⅱ）函数()ln(1)f x m x =+在点(,ln(1))a m a +处的
切线方程为ln(1)()1m y m a x a a -+=-+，即ln(1)11
m ma y x m a a a =++-++ 函数()1x g x x =
+在点1
(,1)1
b b -
+处的 切线方程为211(1)()1(1)y x b b b --=-++，即2
22
1(1)(1)
b y x b b =+++ ()y f x =与()y g x =的图象有且仅有一条公切线
所以
2
2
2
1
(1) 1(1)
ln(1)(2)
1(1)
m
a b
ma b
m a
a b
⎧
=
⎪++
⎪
⎨
⎪+-=
⎪++
⎩
有唯一一对(,)
a b满足这个方程组，且0
m>………………………………6分由（1）得：2
1(1)
a m b
+=+代入（2）消去a，整理得：
2
2ln(1)ln10
1
m b m m m
b
+++--=
+
，关于(1)
b b>-的方程有唯一解…………8分
令
2
()2ln(1)ln1
1
b m b m m m
b
ϑ=+++--
+
22
222[(1)1)]
()
1(1)(1)
m m b
b
b b b
ϑ
+-
'=-=
+++
方程组有
解时，0
m>，所以()b
ϑ在
1
(1,1)
m
--+单调递减，在
1
(1,)
m
-++∞单调递增
所以
min
1
()(1)ln1
b m m m
m
ϑϑ
=-+=--
,();1,(),
b b b b
ϑϑ
→+∞→+∞→-→+∞
因为
只需ln10
m m m
--=………………………………10分
令()ln1
m m m m
σ=--()ln
m m
σ'=-在0
m>为单减函数且1
m=时，()0
m
σ'=，即
max
()(1)0
m
σσ
==
所以1
m=时，关于b的方程
2
2ln(1)ln10
1
m b m m m
b
+++--=
+
有唯一解此时0
a b
==，公切线方程为y x
=………………………………12分
23.(1)()5
g x≤,得3
2≤
≤
-x
11 又恒有()6f x ≤，∴⎩⎨⎧≤≤-6
)3(6)2(f f ，得1≤a
(2)当x ∈R 时，恒有()()3f x g x +≥,
a a a x a x +-≥+-+-∴1122
31≥+-∴a a 得2≥a
已知函数()2f x x a a =-+，a ∈R ，()21g x x =-．
（1）若当()5g x ≤时，恒有()6f x ≤，求a 的最大值；
（2）若当x ∈R 时，恒有()()3f x g x +≥，求a 的取值范围．。