2020届 二轮复习 集合、简易逻辑与不等式 作业 (1)

集合、简易逻辑与不等式
一、单选题
1．命题：“∀x ∈（-1，1），都有x 2
＜1”的否定是（（ ）
A ．()x 1,1∀∈-，都有2x 1≥
B ．()x 1,1∀∉-，都有2x 1≥
C ．()x 1,1∃∈-，使得2x 1≥
D ．()x 1,1∃∉-，使得2x 1≥
【答案】C 【解析】 【分析】
根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可． 【详解】
命题是全称命题，则否定是特称命题即： ∃x ∈（-1，1），使得x 2≥1，
故选：C ． 【点睛】
本题主要考查含有量词的命题的否定，利用全称命题的否定是特称命题是解决本题的关键．比较基础．
2．已知,a b R +∈，且322a b +=，则
11
a b
+的最小值（ ）
A ．5
B ．
C ．
52
+ D ．无最小值
【答案】C 【解析】
1123(32)(
)555b a a b
a b a b ++=++≥+=+23b a a b =时
取等号）11a b ∴
+≥
选C. 3．有下列命题是假命题的是： （ ） A ．双曲线
与椭圆
有相同的焦点；
B ．"02"x <<是“x 2－2x －3＜0” 充分不必要条件；
C ．“若xy=0，则x 、y 中至少有一个为0”的否命题是真命题．；
D ．2,230x R x x ∃∈-+≤使” 【答案】D 【解析】 试题分析：双曲线
与椭圆
有相同的焦点
；
B ．因为
，所以"02"x <<是“x 2
－2x
－3＜0” 充分不必要条件；
C ．“若xy=0，则x 、y 中至少有一个为0”的否命题为“若，则且”是
真命题．； D ．因为，所以“2
,230x R x x ∃∈-+≤使” 为假命题；
故选D ．
考点：命题的判定．
4．定义在(,0)(0,)-∞⋃+∞上的函数()f x ，如果对于任意给定的等比数列
{}{},()n n a f a 仍是等比数列，则称()f x 为“保等比数列函数”．现有定义在
(,0)(0,)-∞⋃+∞上的如下函数：①2()f x x =；②()2x f x =；③()f x =
；④
()ln f x x =．则其中是“保等比数列函数”的()f x 的序号为
A ．①②
B ．③④
C ．①③
D ．②④
【答案】C 【解析】
试题分析： 由等比数列性质可得：2
21.n n n a a a ++=，
①2()f x x =，()()
()2
22222211().n n n n n n f a f a a a a f a ++++===，所以正确；
②()2x f x =，()()2
2221()2.2
2n n n n a
a a a n n n f a f a f a +++++==≠，所以错误；
③()f x =
，()()221()n n n f a f a f a ++=
=
=，所以正确；
④()ln f x x =．()()2
22211()ln ln ln n n n n n n f a f a a a a f a ++++=≠=所以错误；故选择C
考点：等比数列性质
5．已知集合A {x |0x 3,x N}=<≤∈，B {x |y ==，
则集合()R A B ⋂=ð（ ） A ．{}1,2 B ．{1,2，3}
C ．{0,1，2}
D ．()0,1
【答案】A 【解析】 【分析】
先分别求出集合A 和B ，从而得到R B ð，由此能求出集合()
R A B ⋂ð． 【详解】
集合{}A {x |0x 3,x N}123?=<≤∈=，，，
B {x |y {x |x 3===≤-或x 3}≥，
R B {x |3x 3}∴=-<<ð，
集合()
{}R A B 1,2⋂=ð． 故选：A ． 【点睛】
本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意补集、交集定义的合理运用． 6．已知命题P:x R ∀∈,sin 1x ≤,则（ ） A ．⌝:P X R ∃∈，sin 1x ≥ B ．⌝:P X R ∀∈，sin 1x ≥ C ．⌝:P X R ∃∈，sin 1x > D ．⌝:P X R ∀∈，sin 1x >
【答案】C 【解析】
x R ∀∈的否定是x R ∃∈，sin 1x ≤的否定是sin 1x >，所以:,sin 1P x R x ⌝∃∈>，
故选C
7．下列命题正确的是（） A ．复数a bi +不是纯虚数
B ．若1x =，则复数()()11z x x i =-++为纯虚数
C ．若(
)(
)
2
2
432x x x i -+++是纯虚数，则实数2x =± D ．若复数z a bi =+，则当且仅当0b ≠时，z 为虚数 【答案】B 【解析】
【分析】
分别对四个选项进行判断，得到正确的选项. 【详解】
选项A 中，当0,0a b =≠时，复数a bi +是纯虚数，故错误；选项B 中，1x =时，复数2z i =，为纯虚数，故正确；选项C 中，(
)(
)
2
2
432x x x i -+++是纯虚数，则
2240320
x x x ⎧-=⎨++≠⎩，即2
12x x x =±⎧⎨
≠-≠-⎩且，得2x =，故错误；选项D 中，没有给出,a b 为实数，当()0,a xi x x R =≠∈，0b =时，z a bi =+也可以是虚数，故错误. 所以选B 项. 【点睛】
本题考查复数的定义和纯虚数的概念，判断命题的正确，属于简单题.
8．设变量满足约束条件，则的最小值为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 【答案】D 【解析】
试题分析：根据约束条件画出可行域，可行域是一个直角三角形，再画出目标函数，通过平移可知该目标函数在 处取得最大值，所以最大值为-8. 考点：本小题主要考查线性规划.
点评：解决线性规划问题，首先要正确画出可行域，然后通过平移目标函数找到取最优解的点，有时要转化成斜率或距离等求解.
9．已知原命题“若2a b +>，则a 、b 中至少有一个不小于1”，原命题与其逆命题的真假情况是（ ）
A ．原命题为假，逆命题为真
B ．原命题为真，逆命题为假
C ．原命题与逆命题均为真命题
D ．原命题与逆命题均为假命题
【答案】B 【解析】
分析：根据题意，写出逆否命题，据不等式的性质判断出逆否命题是真命题，所以原命题是真命题；写出逆命题，通过举反例，说明逆命题是假命题． 详解：逆否命题为：a ，b 都小于1，则a+b≤2是真命题
所以原命题是真命题
逆命题为：若a 、b 中至少有一个不小于1，则a+b ＞2，例如，当a=2，b=﹣2时，满足条件，当a+b=2+（﹣2）=0，这与a+b ＞2矛盾，故为假命题 故选：B ．
点睛：判断一个命题的真假问题，若原命题不好判断，据原命题与其逆否命题的真假一致，常转化为判断其逆否命题的真假. 10．设集合
＝｛｜
｝，
＝｛｜
｝.则
＝
A ．｛｜－7＜＜－5 ｝
B ．｛｜ 3＜＜5 ｝
C ．｛｜ －5 ＜＜3｝
D ．｛｜ －7＜＜5 ｝
【答案】C 【解析】 C
试题分析：因为，＝｛｜
｝={x|-5<x<5}, ＝｛｜｝={x|-7<x<3}，所以，
=｛｜ －5 ＜＜3｝，
选C 。

考点：不等式的解法，集合的运算。

点评：简单题，为进行集合的运算，需要首先确定集合中的元素。

注意借助于数轴处理。

二、填空题
11．已知命题:,sin p x R x x ∃∈>，则p 的否定为__________． 【答案】,sin x R x x ∀∈≤ 【解析】
根据特称命题的否定为全称命题所以命题:,sin p x R x x ∃∈>，则p 的否定为
,sin x R x x ∀∈≤
12．已知:p x R ∃∈，10x me +≤，:q x R ∀∈，2210x mx -+>，若p q ∨为假命题，则实数m 的取值范围是__________． 【答案】[
)1,+∞ 【解析】
由题设可得,p q 都为假命题，因:p x R ∃∈，10x me +≤，则:p ⌝x R ∀∈，10
x me +>
恒成立是真命题，即1
00x
m m e
>-
<⇒≥；又:q x R ∀∈，2210x mx -+>是假命题，故:q ⌝x R ∃∈，2210x mx -+≤是真命题，即，2440m -≥入11m m ≥≤-或，故
111m m m m ≥⎧⇒≥⎨
≥≤-⎩
或，应填答案[1,)+∞。

点睛：本题的解答过程体现了等价转化与化归的数学思想及命题真假判定与复合命题的真假的判定规律，以此为依据建立不等式组0
111
m m m m ≥⎧⇒≥⎨≥≤-⎩或，使得问题获解。

13．给出下列四个结论： ①命题“的否定是“”；
②“若则
”的逆命题为真； ③函数
（x
）有3个零点；
④对于任意实数x ，有且x>0时,
则
x<0时
其中正确结论的序号是 ．（填上所有正确结论的序号） 【答案】①④ 【解析】
试题分析：①特称命题的否定是全称命题，因此结论成立；②命题的逆命题：若a b <则
22am bm <，命题是假命题；③()()sin 1cos 0f x x x f x x =-∴='-≥，函数是增函
数
()00f =，所以函数有一个零点；④由
得函数
()g x 是奇函数，在对称区间单调性相同，
是偶函数，在对称区间单调性相反
考点：1．四种命题；2．函数零点；3．函数奇偶性与单调性
14．若变量x 、y 满足
，若 的最大值为 ，则 ______．
【答案】
【解析】
试题分析：作出不等式组表示的平面区域，由z=2x-y 可知z 的几何意义为直线y=2x-z 在y 轴上的截距，结合图象判断出目标函数2x-y 的最大值和最小值，可求a ，解：作出满足条件的平面区域，
作出目标函数对应的平行直线，将直线平移，由图知过（-2-a ，a ）时，直线的纵截距最小，此时z 最大，最大值为-4-2a-a=-1,a=-1,故可知实数a 的值为-1. 考点：简单线性规划
点评：本题考查的知识点是简单线性规划，画出满足条件的可行域及z 的几何意义的判断是解答线性规划类小题的关键．
15．方程22210x mx m -+-=的一根在（0，1）内，另一根在（2，3）内，则实数m 的取值范围是___ __． 【答案】()1,2 【解析】
试题分析：设22
()21f x x mx m =-+-，由题意得()()()()00102030f f f f >⎧⎪
<⎪⎨<⎪
⎪>⎩
，解不等式得实数m 的
取值范围是()1,2
考点：一元二次方程根的分布
16．已知函数2
1,70()ln ,x x f x x e x e
-⎧+-≤≤=⎨≤<⎩,2()2g x x x =-,设a 为实数，若存在实数m ，使()2()0f m g a -=,则实数a 的取值范围为_______ 【答案】[1,3]- 【解析】 【分析】
先求出函数()f x 的值域为[2,6]-，然后根据题意得到不等式()226g a -≤≤，解不等式可得实数a 的取值范围． 【详解】
∵70x -≤≤， ∴611x -≤+≤， ∴016x ≤+≤．
又函数y lnx =在区间2[,)e e -上单调递增， ∴ 2lne lnx lne -≤<，即21lnx -≤<． ∴函数()f x 的值域为[0,6][2,1)[2,6]⋃-=-．
由题意得“存在实数m ，使()()20f m g a -=”等价于“()226g a -≤≤”， 即2
22(2)6a a -≤-≤， 整理得2123a a -≤-≤，
即222123a a a a ⎧-≥-⎨-≤⎩
，解得13a -≤≤．
∴实数a 的取值范围为[]
1,3-． 故答案为：[]
1,3- 【点睛】
本题以函数的值域和能成立问题为载体考查不等式的解法，解题的关键是将“存在实数
m ，使()()20f m g a -=”转化为求函数()f x 值域的问题，考查理解能力和计算能力，
属于中档题．
17．已知点,,,P A B C 均在表面积为81π的球面上,其中PA ⊥平面ABC ,
30,BAC AC ∠=,则三棱锥P ABC -的体积的最大值为__________．
【答案】
81
8
【解析】
分析：先求出球的半径，再求出三棱锥P ABC -的体积的表达式，最后求函数的最大值.
详解：设球的半径为R,所以2
9814,.2
R R ππ=∴=
设AB=x,则AC =
，由余弦定理得
22223,.2
BC x x x x BC x =+-⨯⨯
=∴= 设底面△ABC 的外接圆的半径为r,则0
2,.sin 30
x
r x r =
∴=
所以PA=所以三棱锥P ABC -的体积
111322V x =⋅⋅⋅⋅=
=818
=≤.
当且仅当. 故答案为：81
8
点睛：（1）本题主要考查球的体积和几何体的外接球问题，考查基本不等式，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和空间想象能力.(2)三元基本不等式：
3
(
)3
a b c abc ++≤，当且仅当a=b=c>0时取等.(3)函数的思想是高中数学的重要思想，一般是先求出函数的表达式，再求函数的定义域，再求函数的最值.
三、解答题 18．已知
222{|230}{|290}
p x A x x x x R q x B x x mx m x R m R ∈=≤∈∈=+≤∈∈：﹣﹣，，：﹣﹣，，．
（1）若[1
3]A B ⋂=， ，求实数m 的值； （2）若p 是q ⌝ 的充分条件，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）4m = ;（2） 64m m ＞，或＜﹣ . 【解析】
试题分析：(1)根据一元二次不等式的解法，对,A B 集合中的不等式进行因式分解，从而解出集合,A B ，再根据[]1,3A B ⋂，求出实数m 的值；(2 )由（1）解出的集合,A B ，因为p 是q ⌝的充分条件,根据子集的定义和补集的定义，列出不等式进行求解.
试题解析：
（1）化简{|13}{|33}A x x B x m x m =≤≤=≤≤+﹣，﹣， 由[]
13
4A B m ⋂==，，得到：； （2）若p q ⌝是的充分条件,即R A C B ，⊆易得：64m m ＞，或＜﹣ ． 试题解析：
由已知得：{|13}{|33}A x x B x m x m =≤≤=≤≤+﹣
，﹣． （1）[]13A B ⋂=，
∴ ∴
， 4m ∴= ；
（2）
p 是q ⌝ 的充分条件，R A C B ∴⊆ ，
而{|33}R C B x x m
x m ＜﹣，或＞=+ 3331m m ∴+﹣＞，或＜﹣ ， 64m m ∴＞，或＜﹣ ．
19．已知二次函数222
123(),(),()f x x ax b f x x bx c f x x cx a =-+=-+=-+.
（1）若3,2,1a b c ===，解不等式组：123
()0()0()0f x f x f x >⎧⎪
>⎨⎪>⎩；
（2）若{},,1,2,3,4a b c ∈，对任意的x ∈R ，证明：123(),(),()f x f x f x 中至少有一个非负.
【答案】（1）{
2x x >或}1x < （2）见详解 【解析】 【分析】
（1）把3,2,1a b c ===代入解析式，解一元二次不等式组即可求解.
（2）利用反证法，假设123(),(),()f x f x f x 中一个都没有非负，再由二次函数的图像和性质需判别式均大于零，由{},,1,2,3,4a b c ∈，2
2
2
40,40,40a b b c c a ->->->不
恒成立，即可得证. 【详解】
（1）若3,2,1a b c ===，由
222123(),(),()f x x ax b f x x bx c f x x cx a =-+=-+=-+
则解不等式组123()0()0()0f x f x f x >⎧⎪>⎨⎪>⎩，即解不等式组22232021030x x x x x x ⎧-+>⎪-+>⎨⎪-+>⎩
，即211`x x x x R ><⎧⎪≠⎨⎪∈⎩或， 故不等式的解集为{
2x x >或}1x <.
（2）若{},,1,2,3,4a b c ∈，对任意的x ∈R ，
假设123(),(),()f x f x f x 中一个都没有非负，即函数123(),(),()f x f x f x 在x 轴下方均有图像，
所以22240,40,40a b b c c a ->->->恒成立，
所以三式相加2224440a b c a b c ++--->，
即222(2)(2)(2)12a b c -+-+->，又因为{},,1,2,3,4a b c ∈，显然上式不成立， 即假设不成立，故123(),(),()f x f x f x 中至少有一个非负.
【点睛】
本题主要考查一元二次不等式组的解法以及反证法，利用反正法证明问题时，关键找到矛盾点，本题综合性比较强.
20．（本小题满分12分）已知集合 ， .
（1）当 时，求集合 ， ；
（2）若 ，求实数m 的取值范围．
【答案】（1）
，；（2）．
【解析】 试题分析：
(1)由题意求得集合B ，然后进行集合集合运算可得： ；
(2)分类讨论集合B 为空集和集合B 不是空集两种情况，当 时， ，当 时， ，则实数m 的取值范围是 .
试题解析：
（1）当时，
，则 ,
（2）当时，有，即
当时，有
综上，的取值范围：
21．设()21g x x mx =-+．
(1)若()
0g x x ≥对任意0x >恒成立，求实数m 的取值范围；
(2)讨论关于x 的不等式()0g x ≥的解集．
【答案】（1）2m ≤；（2）见解析.
【解析】
【分析】
(1)由题意可得1x m 0x -+≥对x 0>恒成立，即有1m x x
≤+的最小值，运用基本不等式可得最小值，即可得到所求范围；
(2)讨论判别式小于等于0，以及判别式大于0，由二次函数的图象可得不等式的解集．
【详解】
(1)由题意，若
()0g x x ≥对任意0x >恒成立， 即为10x m x
-+≥对0x >恒成立， 即有1m x x ≤+的最小值，由12x x
+≥，可得1x =时，取得最小值2， 可得m 2≤；
(2)当240m =-≤，即22m -≤≤时，()0g x ≥的解集为R ；
当0>，即2m >或2m <-时，方程2
10x mx -+=的两根为2m ，
，
可得()0g x ≥的解集为][,,22m m ∞∞⎛⎫-⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭
． 【点睛】
本题主要考查了不等式的恒成立问题，以及一元二次不等式的解法，注意运用转化思想和分类讨论思想方法，考查运算能力，属于中档题．
22．(本题满分14分)
某企业准备投资1200万元兴办一所中学，对当地教育市场进行调查后，得到了如下的数据表格(以班级为单位)：
因生源和环境等因素，全校总班级至少20个班，至多30个班。

（Ⅰ）请用数学关系式表示上述的限制条件；(设开设初中班x个，高中班y个)（Ⅱ）若每开设一个初、高中班，可分别获得年利润2万元、3万元，请你合理规划办学规模使年利润最大，最大为多少？
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）70．
【解析】
试题分析：（Ⅰ）根据题中条件即可得到线性约束条件；（Ⅱ）由题意得到目标函数，根据（Ⅰ）作出可行域，得到可行域的顶点；利用平行移动目标函数的等值线，得到目标函数的最优解，即当开设20个初中班，10个高中班时，年利润最大，最大利润为70万元.
试题解析：
解：（Ⅰ）设开设初中班x个，高中班y个，
根据题意，线性约束条件为
即
（Ⅱ）设年利润为z万元，则目标函数为
由（Ⅰ）作出可行域如图
由方程组得交点M（20,10）
作直线，平移，当过点M（20,10），z取最大值70。

∴开设20个初中班，10个高中班时，年利润最大，最大利润为70万元。

考点：简单线性规划问题（用平面区域表示二元一次不等式组）.。