华南农业大学现代控制理论课件第四章 能控性和能观测性2讲PPT学习教案

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4.4 线性系统的能控标准形和能观标准形
设系统的状态空间表达式为：x Ax bu y Cx
若系统是完全能观的，则必存在非奇异线性变
换
x To ~x
x Ao x bou 将系统变换为能观标准形 y co x
变换矩阵为：
To T1 AT1 An1T1
C 1 0
1）前 r 个列向量 P1 , P2 ,中, P的r r是个能线控性性无判关别的矩列阵；
Q2）c 另B外 AB 个A列n向1B量
为非奇异的条件下任意选择。
，在确保
(n r)
Pr1,, Pn
Pc
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4.5 线性系统的结构分解
u
B1
xc 1/ s
xc
C1
y1
x c A11xc A12xc B1u
1 1
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4.4 线性系统的能控标准形和能观标准形
（3）求得能控 x Ac x bc u
标准形：
y Cc x
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4.4 线性系统的能控标准形和能观标准形
二、 系统的能观测标准形
如果一个系统的状态空间表达式为：
x1 0 0 0 0 a0 x1 b0
例4.13 试将下列系统变换为能控标准形
x
1 1
1
0
x
1 1
u
y 1 0x
解：（1）先判别系统的能控性
Qc b
Ab
1 1
0 1
rankQc 2
∴ 系统是能控的
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4.4 线性系统的能控标准形和能观标准形
（2）计算非奇异变化矩阵
Qc1 b
Ab 1
1 1
0 1
P1
1
0
第四章第四章线性控制系统的能控性和能观测性线性控制系统的能控性和能观测性本章主要内容本章主要内容线性连续系统的能控性线性连续系统的能控性线性连续系统的能观性线性连续系统的能观性对偶原理对偶原理线性系统的能控标准形与能观标准形线性系统的能控标准形与能观标准形线性系统的结构分解线性系统的结构分解传递函数矩阵与能控性能观性的关系传递函数矩阵与能控性能观性的关系4343对偶原理对偶原理一线性定常系统的对偶关系一线性定常系统的对偶关系设有两个系统一个系统另一个系阶系统维输入4343对偶原理对偶原理系统结构图输入输出互换
✓
采用系统 坐标变 换的方 法对状 态空间 进行分 解，由 相应状 态变量 作坐标 轴构成 的子空 间也分 成四类 ，并把 系统也 相应分 成四类 子系统 ，这些 统称为 系统的 结构分 解。
把系统能 控或能 观部分 同不能 控或不 能观部 分区分 开来， 将有利 于更深 入了解 系统的 内部结 构。
A11
y1 C1xc
A12
y
x
x c
A22
x c
c
1/ s
x
c
C2
y2
y2
C
2
x C
A22
按能控性分解的系统分解结构图
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34
4.5 线性系统的结构分解 注意！系统按能控性分解后：
1）能控性不变； 2）传递函数矩阵不变；
且能控子系统的传递函数矩阵与原系统的传递函 数矩阵相同 （换言之，不完全能控系统中，传递函数矩阵只 描述能控子系统的特性）。
T1
CA
0
CAn1
1
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4.4 线性系统的能控标准形和能观标准形
非能观 标准型
x Ax bu x To ~x y Cx
x~ y
CA~~x~x~
b~u
能观标 准型
0 0 0 0
A~
To1ATo
1
0
0 1
0 0
0 0
a0
a1
a2
b0
b~
r n
0
A22
nr
r nr
C CP C1 C2 c
r
r n-r
x
xc
x c
xc
x
Rr
Rnr
--能控状态子向 --不能量控状态子向量
c
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4.5 线性系统的结构分解
将变换后的动态方程按前r维和
后n-r维xc展 A11xc
A12
x c
B1u
x c
A22
x c
使其变换成能控标准形：
•
x Ax bu
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13
4.4 线性系统的能控标准形和能观标准形
x Ax bu x P1x
y Cx
x Ax bu y Cx
能控标 准形
非能控 标准形
0 1 0 0
0
0
1
0
A PAP1
0
0
0
1
0
a0 a1 a2 an1
则，该系统一定完全能控。
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回顾： 第 二 章 讲 过 ，根据 传递函 数
可 写 出 其 状 态空间 表 达式：
G(s)
bn1sn1 bn2sn2 b1s b0 sn an1sn1 a1s a0
x Ax bu
y Cx
能控标准形
0 1 0 0
0
0
1
0
A
2
4.3 对偶原理
一、线性定常系统的对偶关r 维系输入,m维输出
的n阶系统
设有两个系统，一个系统 1 x1 A1x1 B1u1
另一个系 统
2 x 2 A2x2 B2u2 y2 C2x2
y1 C1x1
m 维输入, r 维输出
的n阶系统
若满足下列条件，则称 1与2 是互为对偶的。
A2 A1T , B2 C1T , C2 B1T
To1b
b1
b2
bn1
0 0 0 1 an1
sI A sn an1sn1 a1s a0
C~ CTo 0 0 0 1
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例4.14 试判断如下系统是否能观。如果能观，
则变换成能观标准形。
x
1 0
1
2
x,
y 1
1 2
x
解：1）判断能观性 能观性矩阵
对 于状态 转移矩 阵的计 算、对 能控性 和能观 性的分 析 十 分方便 。
好处
能 控 标 准 型 对于 状 态 反 馈 比 较方便
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8
能 观 标 准 型 对于 状 态 观 测 器 的设计 及 系 统 辩 识 比较方 便
4.4 线性系统的能控标准形和能观标准形 能控标准形是指在一组基底下，将能控性矩阵中 的A 和 B 表现为能控的标准形式。
1 能控 2 能观 1 能观 2 能控
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6
4.3 对偶原理 例如：能观标准形---显然能观的
能控标准形——显然能控的
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4.4 线性系统的能控标准形 和能观标准形
由于 状态变 量选择 的非唯 一性， 系统的 状态空 间表达 也不是 唯一的 。 在实 际应用 中，常 根据所 研究问 题的需 要，将 状态空 间表达 式化成 相应的 几种标 准形式 （如前 述的对 角标准 型、约 当标准 型 ）
x2
1
0
0
0
a1
x2
b1
0 1 0 0
xn1
0
a2 b2 u
xn1
能观 标准形
xn 0 0 0 1 an1 xn bn1
y 0 0 0 1x 则系统必定完全能观测
。
G(s)
bn1sn1 bn2sn2 b1s b0 sn an1sn1 a1s a0
方程转化为能控标准型、能观标准型的方法； （重点：变换矩阵） 3、注意：只有能控能观的系统才可以化为能控标
准 型、能观标准型 （即：在化能控标准型时需先判断系统是否能控， 而在化能观标准型需先判断系统是否能观）。
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4.5 线性系统的结构分解
系 统 中 只 要 有一个 状态变 量不能 控，则 称系统 不能控 ；
能控和不能控
不 能 控 系 统 一般 含有
两 种状 态变量 。
只 要 有 一 个 状态变 量不能 观，则 称系统 不能观 ；
能观和不能观
不 能 观 测 系 统一 般也有
两种 状态变 量。
因此，从能控性、能观性角度出发：
能控能观状态变量、能控不能观状态变量、不能
✓
状态变量 可分成 ：
控能观状态变量、不能控不能观状态变量 四类。
UO
c cA
1 1
1 2
0
：
2）求变换矩阵
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T T1
AT1
1
2
3
4
y cTx 1
1 2
1
2
3
4
x
0
1 x
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4.4 线性系统的能控标准形和能观标准形
本节小结
1、能控标准型、能观标准型的基本形式； 2、牢固掌握将系统的传递函数或状态方程和输出
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3
4.3 对偶原理
1 系统结构图
输入输出互换；
信号传递反向；
2 系统结构图
信号引出与综合点互换； 各矩阵转置。
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4
4.3 对偶原理 1、对偶系统的传递函数矩阵互为转置。
G1(s) C1(sI A1)1B1
G2(s) C2(sI A2 )1B2 B1T(sI A1T )1C1T B1T[(sI A1)1]TC1T [C1(sI A1 )1B1]T
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4.4 线性系统的能控标准形和能观标准形 PA AP
P1A P2
P2 A P1A2 P3
Pn2 A P1An2 Pn1 Pn1A P1An1 Pn
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4.4 线性系统的能控标准形和能观标准形
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4.4 线性系统的能控标准形和能观标准形
开，则有y :
C1xc
C
2
x c
y1
y2
其中，r维能控子系统: x c A11xc A12xc B1u
y1 C1xc
n-r维不能控子系统
:
x c
A22
x c
y2
C
2
x C
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4.5 线性系统的结构分解
关键：非奇异变换阵的构造
Pc P1 P2 Pr Pr1 Pn
n个列向量的求法如下：
ra
其能控性判别矩阵，
nk
Qc
r
n
系统不能控。
存在非奇异变换矩阵 PC ，对系统进行状态变换
x PC x
PC的构成
r个线性无关列向量 任意n-r个列向量
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4.5 线性系统的结构分解
则
x Ax Bu y Cx
其中： A
PC1APC
A11
A12
r
B
PC 1B
B1 0
G1T(s) 2、互为对偶的系统，其特征值相同。
sI A2 sI A1T sI A1
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5
4.3 对偶原理
二、对偶原理 系统 1(A1, B1,C1)与 2 (A2 , B2 , C2 )是互为
对偶的两个系统， 则 1 的能控性等价于 2 的 能观性, 1的能观性等价于 2的能控性。或者 说，若 1是状态完全能控的（完全能观的）， 则 2是状态完全能观的（完全能控的）。
解。 0 0 1 1
.
x
1
0
3x 1u
y 0
1
2x
0 1 3 0
解： rank Qc rank b Ab A2b
1 0 1 rank1 1 3 2 3
0 1 2
所以系统不能控。
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华南农业大学现代控制理论课件第四章 能控性和能观测性2讲
会计学
1
第四章 线性控制系统的能控性和能观测性
本章主要内容 ➢ 线性连续系统的能控性 ➢ 线性连续系统的能观性 ➢ 对偶原理 ➢ 线性系统的能控标准形与能观标准形 ➢ 线性系统的结构分解 ➢ 传递函数矩阵与能控性、能观性的关系
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4.5 线性系统的结构分解
xc0 xc0 --能控能观
x
x c0
x c0
--能控不能观
x
cc
x c0
xco --不能控能观 xco --不能控不能
观
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4.5 线性系统的结构分解
一、按系统的能控性分解
.
x Ax Bu
设线性定常系统为y Cx
G(s) C(sI A)1B C(sI A)1B
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4.5 线性系统的结构分解
能控子系统的 传递函数矩阵
由前面知识，已知，分
解后的能控子系统：
x c A11xc A12xc B1u
y1 C1xc
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4.5 线性系统的结构分解
例4.15、试对系统进行能控性分
0 b Pb 0
sI A sn an1sn1 a1s a0
C CP -1 C0
C1
C2
Cn1
1
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4.4 线性系统的能控标准形和能观标准形
且线性变换矩阵：
其中
p1 ：0 0 0
0 1b Ab A2b
An1b1
证明： PA AP (由A PAP1 推得 )
能观标准形是指在一组基底下，将能观性矩阵中 的A 和 C 表现为能观的标准形式。
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4.4 线性系统的能控标准形和能观标准形
实质：对系统状态空间表达式进 行非奇异线 性变换
关键：在于寻找相应的变换矩阵。 理论依据：非奇异变换不改变系统
的自然模 态及能控、能观性
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注意：只有系统完1全0 能控（能观）
0
0
0
1
a0 a1 a2 an1
0
0 b
0
1
C b0,b1bn1
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4.4 线性系统的能控标准形和能观标准形
设系统的状态空间表达式为： x Ax bu y Cx
若系统是完全能控的，QC [B ABAn1B] n
则必定存在非奇异线性变换 x P或1x x Px
4.4 线性系统的能控标准形和能观标准形
一、能控标准形
如果一个系统的状态空间表达式为：
x1 0 1 0 0 x1 0
x2
0
0
1
0
x2
0
xn1
0
xn a0
0u
0
0
1
xn1
a1 a2 an1 xn 1
能 控 标 准
形
y C0 C1 C2 Cn1 x