质点运动微分方程

t /s
动力学
质点动力学的两类问题
例题4 质点与圆柱面间的动滑动摩擦因数为 f，圆柱半径 r =1m。 （1）建立质点的运动微分方程；（2）分析其运动。
O 解：取质点为研究对象画受力图 当： 0
F
FN

n
r

mg
由（2）式解得：
ma mg F FN
: :
mr mg cos F mr 2 mg sin FN
1. 对研究对象进行受力分析，画其受力图；
2. 根据运动的特点，选取坐标系；
3. 建立矢量形式的微分方程；（可选）
4. 将矢量方程投影到坐标轴上（标量形式的微分方程），
并写出相应的初始条件；
5. 求解微分方程（积分或数值解）； 6. 分析讨论数学结果的物理含义。
动力学
质点动力学的两类问题
例题1 质点M的质量为m，运动方程是x = bcosωt, y = dsinωt， 其中b, d, ω为常量。求作用在此质点上的力。 y Fy 解： 1、求质点的轨迹方程： 从运动方程中消去 t，得
x2 y2 2 1 2 b d
y
j o i
r
x
M x
Fx
2、求质点的加速度
d2x a x 2 b 2 cos t 2 x , dt
d2y a y 2 d 2 sint 2 y dt
3、求质点所受的力
由
d2x d2y m 2 Fxi , m 2 Fyi dt dt
牛 顿（1642－1727）的牛顿定律和万有引力定律
动力学
质点动力学的两类问题
第二类基本问题：已知作用在质点上的力，求解此质点的运动。 归结为解微分方程或求积分问题。只有在一些比较特殊的 情况下，能解出微分方程，获得解析解；更多情况下，往往只 能通过逐步逼近或数值计算的方法，获得近似解或数值解。 如：上个世纪末，预测到小行星撞击木星的时间； 确定飞行器返回舱着陆的时间和地点动力学
动力学引言
工程实际中的动力学问题
载人飞船的交会与对接
v2
v1
B A
动力学引言
勇气号火星探测器发射与着陆过程
动力学引言
蒸汽机与机车
蒸汽机车
1892年研制的蒸汽机车
问题： 如何提高牵引力？
动力学引言
柴油机车 问题：（1）在输出扭矩相同 的条件下，机车主动轮半径 与牵引力的关系如何？ （2）列车提速后又会带来了
Fy
M Fx x x
易知： ⑴力的方向永远指向椭圆中心，称为有心力；
⑵力的大小与此质点至椭圆中心的距离成正比。
动力学
质点动力学的两类问题
例题2: 建立抛体的运动微分方程。 设空气阻力的大小与速度的平方成正比。 y
R mg
解：1、取炮弹为研究对象，建立矢量方程
v
x
m a mg R ma mg (cvv )
电力机车
哪些新问题？
动力学引言
车 轮 与 铁 轨 间 有 间 隙
动力学引言
问题： 为什么电力机车 的主动轮分配在每节 车厢上？
电力车组 上海磁悬浮列车
实验中的磁悬浮列车
动力学引言
工程实际中的动力学问题
航空航天器 的姿态控制
动力学引言
工程实际中的动力学问题
高速列车的振动问题
动力学引言
动力学的研究对象： 低速、宏观物体的机械运动的普遍规律。 牛顿的运动三定律 动力学的理论基础： 简称牛顿定律或动力学基本定律。 牛顿定律的适用范围： （1）不适于微观物体；
0 u 0 0, l 确定积分常数
u A , 0 l
g 0 l g 2 l
2 0
运动特点：等时性 （周期与初始条件无关）
动力学
质点动力学的两类问题
（2）大幅摆动
2 sin 0
/ rad
大 幅 摆 动 不 具 有 等 时 性
动力学引言
动力学的主要任务（解决的基本问题）：
第一类：已知物体的运动规律，求作用在此物体上的力；
第二类：已知作用在物体上的力求此物体产生什么样的运动。
解决动力学两类基本问题的途径：
直接应用牛顿定律建立质点的运动微分方程； 从牛顿定律出发，通过数学演绎，推导动力学的普遍定
理。包括动量定理、动量矩定理和动能定理。综合应用
i 1
r
k
i o j
y
d2x m m 2 Fxi x dt i d2y m m 2 F yi y dt i d 2z m m 2 Fzi z dt i
x 直角坐标形式的质点运动微分方程
动力学
质点运动学微分方程
2.质点运动微分方程在自然轴上的投影
在质点M的运动轨迹上建立自然轴系Mbn， (＋) 根据点的运动学知，质点的加速度在运动 轨迹的密切面内，即 a n τ b
例题3：质量为 m 长为 l 的摆在铅垂面内运动，初始时小球速度 为u ， = 0。求绳作用在小球上的力F( )并分析小球的运动。
解：1、取研究对象，画受力图，确定坐标系 2、建立微分方程 3、求解并分析小球运动

F n
ma F mg
t : ml mg sin
s
u
● 机械动力学 ● 心脏动力学 ● 药物动力学 ● 流行病学动力学 ● 经济动力学
动力学引言
机械动力学: 研究机械运动与作用力的关系。
动力学引言
机械动力学：
应用现代计算软件分析汽车悬架的动力学特性
计算机仿真研究
实验测试分析
动力学引言
心脏动力学
动力学引言
药物动力学
动力学引言
流行病学动力学
动力学引言
质点动力学的两类问题
动力学
质点运动学微分方程
§9-2 质点的运动微分方程
根据牛顿第二定律，若质点M的质量 z 为m，受n个力F1 , F2 ,…., Fn作用， 则有 Fi M F1
Fn
a
m a Fi
n i 1
或 m a FR
k
i o j
FR
r
而
则
d r a 2 dt 2 n d r m 2 Fi dt i 1
0 0
m 10kg,c 0.02Ns2 /m2 , v0 1000m/s

4.0

7.7
动力学
质点动力学的两类问题
飞 机 空 投 物 体 速 度 大 小 随 时 间 的 变 化
m 5kg,c 0.02Ns2 /m2 , v0 200m/s
动力学
质点动力学的两类问题
动力学普遍定理； 应用达朗伯定理。 应用动力学普遍方程和拉格朗日方程。
牛顿力学
分析力学
第九章 质点动力学的基本方程
§9-1 动力学的基本定律 §9-2 质点的运动微分方程
动力学
质点动力学基本定律
§9-1 动力学的基本定律
★ 第一定律（惯性定律）
不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。 说明： • 本定律揭示了一切物体均有保持静止或作匀速直线运动 的性质，即惯性。 • 匀速直线运动称为惯性运动。 • 明确了力是改变（而不是维持！）物体运动的原因。
得
Fx ma x m 2 x , Fy ma y m 2 y
动力学
质点动力学的两类问题
Fx ma x m 2 x , Fy ma y m 2 y
y y r j o i
所以，质点所受的力可表示为
F Fx i Fy j 2 m ( xi yj ) m 2r
o
v x2 y2
运动微分方程：
2、建立直角坐标形式的运动微分方程
m cx x 2 y 2 x m mg cy x 2 y 2 y
应用实例：1、炮弹的运动；2、空降物体的运动。
动力学
质点动力学的两类问题
炮 弹 运 动 轨 迹 图
F
m
dv v2 a at τ an n τ n dt
所以作用在该质点上力系的合力也应该在此密切面内， 则
dv n m Ft i dt i 1
v2 n m Fni i 1
0 Fbi
i 1 n
(－)
自然轴系的质点运动微分方程
动力学
动力学
质点动力学基本定律
★ 第二定律（力与加速度之间的关系的定律） 质点的质量与加速度的乘积，等于作用于质点的力的大小， 加速度的方向与力的方向相同。 即
ma F
说明：
• 此式建立了质点的加速度、质量与作用力之间 的定量关系。 • 质量是质点惯性的度量。 • 在地球表面，物体受重力作用，有 P = mg 式中，g — 重力加速度，一般取 g = 9.80 m/s2。
质点动力学的两类问题
3. 质点动力学的两类基本问题 第一类基本问题：已知质点的运动，求此质点所受的力。 如果知道质点的运动规律，通过导数运算，求出该质点 的速度和加速度，代入质点的运动微分方程，得一代数方程 组，即可求解。 如：万有引力定律的发现。
哥白尼（1473－1543）的日心学说 开普勒（1571－1630）的三大定律
2
y
x
矢量形式的质点运动微分方程
动力学
质点运动学微分方程
1. 质点运动微分方程在直角坐标轴上的投影
r xi yj zk
z F1
Fi Fxi i F yi j Fzi k
Fi M FR
Fn a
d 2 x d 2 y d 2z a 2 i 2 j 2 k dt dt dt n 将式 m a Fi 向坐标轴投影，得
所谓已知力是指：力F 可以表示成 F F (v, r , t ) 的已知函数
动力学
质点动力学的两类问题
两类问题综合:
已知部分力和部分运动，求另一部分的力和运动。
已知：发动机的输出扭矩、车的重力、车沿直线行驶。
待求：地面约束力，车身的运动（前行速度，上下振动）。
动力学
●
质点动力学的两类问题
求解动力学问题的基本步骤：
质量和重 量区别？
动力学
质点动力学基本定律
★ 第三定律（作用与反作用定律）
两个物体间的作用力与反作用力总是大小相等，方向相
反，沿着同一直线，且同时分别作用在这两个物体上。 动力学基本定律说明：
（1）牛顿三定律适用的参考系称为惯性参考系。 工程问题中，取固于地面或相对于地面作匀速直线运动 的坐标系为惯性坐标系， （2）以牛顿三定律为基础的力学称为古典力学。
（2）物体的运动速度不能太大。
动力学分为质点动力学和质点系动力学： 质点和质点系； 质点系可分为不变质点系（如单个刚体） 和可变质点系（如刚体系统） 本课程重点放在质点系动力学。
动力学引言
牛顿
牛顿(S.I.Newton 1662 — 1727 ) 是伟大的英国科学家。 ★ 牛顿在光学上的主要贡献是发 现了太阳光是由7种不同颜色的光 合成的，他提出了光的微粒说。 ★ 牛顿在数学上的主要贡献是与 莱布尼兹各自独立地发明了微积分， 给出了二项式定理。 ★ 牛顿在力学上最重要的贡献， 也是牛顿对整个自然科学的最重要 贡献是他的巨著《自然哲学的数学 原理》。这本书出版于1687年，书 中提出了万有引力理论并且系统总 结了前人对动力学的研究成果，后 人将这本书所总结的经典力学系统 称为牛顿力学。
n : ml F mg cos
2
运动微分方程
积分上式可得：
mg
u2 F mg (3 cos 2) m l
动力学
质点动力学的两类问题
分析小球的运动：
微分方程的通解 （1）微幅摆动
l g sin 0
sin
A sin(t )
初始条件：
引 言
回顾
静力学研究物体在力系作用下的平衡规律及力系的简化；
运动学从几何观点研究物体的运动，而不涉及物体所受的力； 动力学研究物体的机械运动与作用力之间的关系。
动力学就是从因果关系上论述物体的机械运动。是理论力学 中最具普遍意义的部分，静力学、运动学则是动力学的特殊情况。
动力学引言
什么是动力学？ 动力学(dynamics)：研究状态变量与作用量的关系。
(1) ( 2)
FN mr 2 mg sin
F f FN
代入（1）式得： mr mg cos f (mr 2 mg sin ) 同理，当： 0 mr mg cos f (mr 2 mg sin )
动力学