湖南省历届数学高考真题

2008年普通高等学校招生全国统一考试
一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1．复数31
()i i
-等于( ) A.8 B.－8 C.8i D.－8i
2．“
12x -<成立”是“(3)0x x -<成立”的(
) A ．充分不必要条件．充分不必要条件 B.必要不充分条件必要不充分条件
C ．充分必要条件．充分必要条件 D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件
3.已知变量x 、y 满足条件1,
0,
290,
x x y x y ³ìï
-£íï
+-£î则x y +的最大值是( ) A.2 B.5 C.6 D.8
4.设随机变量x 服从正态分布(2,9)N ,若(1)(1)P c P c x x >+=<-,则c = ( ) A.1 B.2
C.3
D.4 5.设有直线m 、n 和平面a 、b .下列四个命题中，正确的是(
) A.若m ∥a ,n ∥a ,则m ∥n
B.若m Ìa ,n Ìa ,m ∥b ,n ∥b ,则a ∥b
C.若a ^b ，m Ìa ,则m ^b
D.若a ^b ，m ^b ，m Ëa ,则m ∥a
6.函数
2()sin 3sin cos f x x x x =+在区间,42p p éùêúëû
上的最大值是( ) A.1 B.132+ C. 3
2
D.1+3 7.设D 、E 、F 分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上的点，且2,DC BD = 2,CE EA = 2,AF FB = 则AD BE CF ++
与BC (
) A.反向平行反向平行 B.同向平行同向平行
C.互相垂直互相垂直
D.既不平行也不垂直既不平行也不垂直
8.若双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为
32
a 的点到右焦点的距离的点到右焦点的距离
大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( ) A.(1,2) B.(2,+¥)
C.(1,5)
D. (5,+¥)
9.长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的8个顶点在同一球面上，且AB =2,AD =
3,AA 1=1,
则顶点A 、B 间的球面距离是( ) A.22p B.2p C.
22
p D.
24
p
10.设［x ］表示不超过x 的最大整数（如［2］=2, ［5
4
］=1）,对于给定的n ÎN *, 定义[][]
(1)(1),(1)(1)x
n n n n x C x x x x --+=
--+ x Î[)1,+¥,则当x Î3,32
éö
÷êëø时，函数x n C 的
值域是(
) A.16,283éù
êúëû B.16,563éö÷êëø C.284,3æöÈç÷èø[)28,56 D.16284,,2833æùæùÈççúúèûèû
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

把答案填在对应题号后的横线上。

11.2
1
1
lim
______34
x x x x ®-=+-. 12.已知椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）的右焦点为F ,右准线为l ,离心率e =5
.5
过顶点A (0,b )作AM ^l ,垂足为M ，则直线FM 的斜率等于的斜率等于 . 13.设函数()y f x =存在反函数1
()y f x -=,且函数()y x f x =-的图象过点(1,2),
则函数1
()y f x x -=
-的图象一定过点的图象一定过点
. 14.已知函数3()(1).1
ax f x a a -=
¹-
（1）若a ＞0,则()f x 的定义域是的定义域是 ; (2) 若()f x 在区间
(]0,1上是减函数，则实数a 的取值范围是的取值范围是
..
15.对有n (n ≥4)个元素的总体
{}1,2,,n 进行抽样，先将总体分成两个子总体进行抽样，先将总体分成两个子总体
{}1,2,,m 和{}1,2,,m m n ++
(m 是给定的正整数，且2≤m ≤n -2),再从再从 每个子总体中各随机抽取2个元素组成样本.用ij P 表示元素i 和j 同时出现在样同时出现在样 本中的概率，则1n P = ; 所有ij P (1≤i ＜j ≤)n 的和等于的和等于 . 三、解答题：本大题共6小题，共75分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分12分）分）
甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试 合格就签约.乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设每人面试合格的概率都是
1
2
，且面试是否合格互不影响.求：求： （Ⅰ）至少有1人面试合格的概率; （Ⅱ）签约人数x 的分布列和数学期望.
17.（本小题满分12分）分） 如图所示，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是边长为1的菱形，∠BCD ＝60°，°，
E 是CD 的中点，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝2. （Ⅰ）证明：平面PBE ⊥平面P AB ;
（Ⅱ）求平面P AD 和平面PBE 所成二面角（锐角）的大小.
18.18.（本小题满分（本小题满分12分）分）
数列{}221221,2,(1cos )sin ,1,2,3,.22
n n n n n a a a a a n p p +===+
+= 满足 A
B
C
D
E P
(Ⅰ)求34,,a a 并求数列{}n a 的通项公式；的通项公式；
(Ⅱ)设21
12
2,.n n n n n
a
b S b b b a -==+++ 证明：当1
62.n n S n
³-<时，
19.（本小题满分13分）分） 在一个特定时段内，以点E 为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E 正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A 北偏东45 且与点A 相距
402海里的位置B ，经过40分钟又测得该船已行驶到点A 北偏东45
+q (其中sin q =
26
26
，090q << )且与点A 相距1013海里的位置C .
（I ）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）; （II ）若该船不改变航行方向继续行驶.判断判断
它是否会进入警戒水域，并说明理由.
20.（本小题满分13分）分）
若A 、B 是抛物线y 2=4x 上的不同两点，弦AB （不平行于y 轴）的垂直平分线与轴）的垂直平分线与 x 轴相交于点P ，则称弦AB 是点P 的一条“相关弦”.已知当x >2时，点P （x ,0） 存在无穷多条“相关弦”.给定x 0>2.
（I ）证明：点P （x 0,0）的所有“相关弦”的中点的横坐标相同；）的所有“相关弦”的中点的横坐标相同； (II) 试问：点P （x 0,0）的“相关弦”的弦长中是否存在最大值？）的“相关弦”的弦长中是否存在最大值？
若存在，求其最大值（用x 0表示）：若不存在，请说明理由.
21.（本小题满分13分）分）
已知函数f (x )=ln 2
(1+x)-21x x
+.
(I) 求函数()f x 的单调区间; （Ⅱ）若不等式1
(1)
a a
e n
++£对任意的N*n Î都成立（其中e 是自然对数的底数）.
求a 的最大值.
2009年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)理科数学一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有
C 1
D 1
B 1
A 1
D
C
B
A
一项是符合题目要求的。

1．若，，则【，则【 】 A ．, B ．,
C.
, D. , 2．对于非零向量“”是“”的【”的【
】 A ．充分不必要条件．充分不必要条件 B. B. 必要不充分条件必要不充分条件 C ．充分必要条件．充分必要条件 D. D. 既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 3．将函数
的图象向左．．
平移个单位后，得到函数的
图象，则等于【等于【
】 A ．
B ． C. D.
4．如图1，当参数时，连续函数 的
图像分别对应曲线和 , 则【则【
则【 】 A ． B ．
C ．
D ．
5．从10名大学生毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为【人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为【
】 A ． 85 B ． 56 C ．49 D ．2828
6．已知D 是由不等式组所确定的平面区域，则圆在区域D 内的弧
长为【长为【
】 A ．
B ．
C ．
D ．
7．正方体的棱上到异面直线AB AB，，C 的距离相等的点的个数为【的距离相等的点的个数为【
】 A ．2 B ．3 C ． 4 D ．5 8．设函数在内有定义内有定义..对于给定的正数K ，定义函
2log 0a <1()12
b >1a >0b >1a >0b <01a <<0b >01a <<0b <,,a b
0a b += //a b sin y x =(02)j j p £<sin()
6
y
x p =-
j 6
p
56
p 76
p 116
p 12,l l l =(0)1x y x x
l =³+1C 2C 120l l <<21
0l l <<120l l <<210l l <<20,30
x y x y -³ìí+³î224x y +=4
p
2
p
34p
32
p 1111ABCD A BC D -1C ()y f x =(,)-¥+¥图1
c 2c 1
o
y
x
数取函数。

若对任意的，恒有，则【，则【
】 A ．K 的最大值为2 B ．K 的最小值为2 C ．K 的最大值为1 D ．K 的最小值为1二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡．．．中对应题号后的横线上9．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，人喜爱篮球运动，1010人喜爱兵乓球运动，人喜爱兵乓球运动，88人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_ _ _._ _ _.1010．在．在的展开式中，
的系数为的系数为___(___(___(用数字作答用数字作答用数字作答).).).
1111．若．若，则的最小值为的最小值为 . .
1212．．已知以双曲线C 的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中有一个内角为，则
双曲线C 的离心率为的离心率为
1313．一个总体分为．一个总体分为A ，B 两层，其个体数之比为4：1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本的样本..已知B 层中甲、乙都被抽到的概率为
，则总体中的个体数为，则总体中的个体数为 。

1414．在半径为．在半径为13的球面上有A , B, C 三点，三点，AB=6AB=6AB=6，，BC=8BC=8，，CA=10CA=10，则，则，则
（1）球心到平面ABC 的距离为的距离为
； （2）过Ａ，）过Ａ，B B 两点的大圆面与平面ABC 所成二面角（锐角）的正切值为所成二面角（锐角）的正切值为 . . 1515．．
将正分割成个全等的小正三角形（图2，图3分别给出了n=2,3的情形），在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于⊿，在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于⊿ABC ABC 的三边及平行于某边的任一直线上的数（当数的个数不少于3时）都分别依次成等差数列时）都分别依次成等差数列..若顶点A ,B ,C 处的三个数互不相同且和为1,1,记所有顶点上的数之和为记所有顶点上的数之和为，则有， ，… ， .
(),(),(),().K f x f x K f x K
f x K £ì=í>î()f x =2x x e -
--(,)x Î-¥+¥()K f x =()f x 3
3
3
3
(1)(1)(1)x x x +++++x (0,)2x p Î2tan tan()2x x p
+-60
1
28
ABC D 2
*
(2,)n n n N ³Î()f n (2)2f =(3)f =()f n =
三．解答题：本大题共6小题，共75分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

1616．．（本小题满分12分）分）
在中，已知，求角A ，B ，C 的大小的大小
1717．．（本小题满分12分）分）
为拉动经济增长，为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，某市决定新建一批重点工程，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类建设工程三类..这三类工程所含项目的个数分别占总数的，，.现在3名工人独立地
从中任选一个项目参与建设。

从中任选一个项目参与建设。

（I ）求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；）求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；
（II II）记）记为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求的分布列及数学期望。

列及数学期望。

B
A
C A
B
C
图3
图2
ABC D 2233AB AC AB AC BC
×=×= 121316
x x
1818．．（
本小题满分12分）如图4，在正三棱柱中，，点D 是的中点，点E 在上，且
（I ）证明：平面平面； （II II）求直线）求直线和平面所成角的正弦值。

所成角的正弦值。

1919．．（本小题满分13分）分）
某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距
米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥
面和桥墩面和桥墩..经测算，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为
米的相邻两墩之间的桥面工
程费用为万元。

假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其它因素万元。

假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其它因素..记余下工程的费用为万元。

万元。

（Ⅰ）试写出关于
的函数关系式；的函数关系式；
（Ⅱ）当=640米时，需新建多少个桥墩才能使最小？最小？
111ABC A B C -12AB AA =11A B 11AC DE AE ^ADE ^11ACC A AD ABC m x (2)x x +y y x m y A
B
C
D
A 1
B 1
C 1
E
2020．．
（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy 中，点P 到点F （3，0）的距离的4倍与它到直线x=2的距离的3倍之和记为d. 当点P 运动时，运动时，d d 恒等于点P 的横坐标与18之和之和 （Ⅰ）求点P 的轨迹C ； （Ⅱ）设过点F 的直线与轨迹C 相交于M ，N 两点，求线段MN 长度的最大值。

长度的最大值。

2121．．（本小题满分13分）对于数列,若存在常数M ＞0,0,对任意的对任意的，恒有，恒有
,则称数列为数列数列. . （Ⅰ）首项为1，公比为的等比数列是否为B-B-数列？请说明理由数列？请说明理由数列？请说明理由;;请以其中一组的一个论断条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题判断所给命题的真假，并证明你的结论；结论；
（Ⅱ）设是数列
的前
项和，给出下列两组论断；项和，给出下列两组论断；
A 组：①数列是B-B-数列数列数列, , ②数列不是B-B-数列数列数列; ;
B 组：③数列是B-B-数列数列数列, , ④数列不是B-B-数列数列数列. .
请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题。

判断所给命
题的真假，并证明你的结论；题的真假，并证明你的结论；
(Ⅲ)若数列都是数列，证明：数列也是数列。

数列。

l {}n u *n N Î1
1
21
n n
n
n u
u u u
u u M +--+-++-£ {}n u B -(1)q q <n
S {}
n
x n
{}n x {}n x {}n S {}n S {}{},n n a b B -{}n n a b B -
2010年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）
数学（理工农医类）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则，则 A ． B ． C ． D ．
2．下列命题中的假命题．．．
是 A ．， B ．，
C ．，
D ．，
3．极坐标方程和参数方程（t 为参数）所表示的图形分别是为参数）所表示的图形分别是
A ．圆、直线．圆、直线
B B
．直线、圆 C ．圆、圆．圆、圆 D D ．直线、直线．直线、直线
4．在中，，，则等于等于
A ．
B ．
C ．8
D ．16 5．
等于等于
A ．
B ．
C ．
D ．
6．在中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ．若，，则
A ．a ＞b
B ．a ＜b
C ．a =b
D ．a 与b 的大小关系不能确定的大小关系不能确定
7．在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为相同的信息个数为
A.10
B.11
C.12
D.15
{}1,2,3M ={}2,3,4N =M N ÍN M Í{}2,3M N = {}
1,4M N = R x "Î1
20x
-＞N x *"Î()10
x -2＞R x $Îlg x ＜1R x $Îtan 2x =cos r q =1,23x t y t =--ìí=+
îRt ABC D 90C Ð=
4AC =AB AC
16-8-4
2
1d x x
ò
2ln 2-2ln 2ln 2-ln 2ABC D 120C Ð=
2c a =
8．用表示两数中的最小值若函数的图像关于直线
对称，则的值为的值为
A ．
B ．2
C ．
D ．1
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．把答案填在答题卡．．．中对应题号后的横线上．
9．已知一种材料的最佳加入量在110g 到210g 之间．若用0.618法安排实验，则第一次试点的加入量可以是点的加入量可以是 g g ． 1010．如图．如图1所示，过外一点P 作一条直线与交于A,B 两点．已知PA=2PA=2，点，点P 到的切线长PT=4PT=4，则弦，则弦AB 的长为 ． 1111．在区间．在区间
[]1,2-上随机取一个数x ，则1x £的概率为的概率为
． 1212．图．图2是求的值的程序框图，则正整数
．
1313．．图3中的三个直角三角形是一个体积为20的几何体的三视图，则 ．
图2
{}
min ,a b ,a b {}
()min ,f x x x t =+1
2
x =-t 2-1-O O
O 2
2
2
123+++2
…+100n =33
cm h =cm 1,0i s ==
开始开始
1i i =+
2
s s i =+ i n £
否 输出s
结束结束
是
1414．．
过抛物线的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于两点，在轴上的正射影分别为．若梯形的面积为，则 ．
1515．若数列．若数列满足：对任意的，只有有限个正整数
使得成立，记这样
的的个数为，则得到一个新数列．例如，若数列是，
则数列是．
已知对任意的，，则 ， ．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．
（本小题满分12分）
已知函数．
（Ⅰ）求函数的最大值；（Ⅱ）求函数的零点的集合的零点的集合..
17．（本小题满分12分）
图4是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量（单位：吨）的频率分布直方图（单位：吨）的频率分布直方图..
（Ⅰ）求直方图中x 的值的值. .
（Ⅱ）若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民（看作有放回的抽样），求月均用水量在3至4吨的居民数X 的分布列和数学期望的分布列和数学期望. .
22(0)x py p =＞,A B ,A B x ,D C ABCD 122p ={}n a n N *
Îm m a n ＜m m
()n a *{}
()n a *{}n a 1,2,3,n …，…{}
()n a *0,10,1,2,,2,1,n -…，…N n *Î2n a n =5()a *=(())n
a **=2
()3sin 22sin f x x x =-()f x ()f x
如图5所示，在正方体1111ABCD A B C
D -中，
E 是棱1DD 的中点的中点. . （Ⅰ）求直线BE 的平面11ABB A 所成的角的正弦值；所成的角的正弦值； （Ⅱ）在棱11C D 上是否存在一点
F ，使1B F ∥平面1A BE ？证明你的结论你的结论. .
19．（本小题满分13分）
为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距8km 的A ，B 两点各建一个考察基地．视
冰川面为平面形，以过A ，B 两点的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直
角坐标系（图6）．在直线
的右侧，考察范围为到点B
的距离不超过km 的区域；
在直线的左侧，考察范围为到A ，B 两点的距离之和不超过km 的区域．的区域． （Ⅰ）求考察区域边界曲线的方程；（Ⅰ）求考察区域边界曲线的方程； （Ⅱ）如图6所示，设线段，是冰川的部分边界线（不考虑其他边界），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0.2km 0.2km，以后每年移动的距离为前一，以后每年移动的距离为前一
年的2倍，求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间．倍，求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间．
2x =655
2x =4512PP 23P P
已知函数2
()(,),f x x bx c b c R =++Î对任意的x R Î，恒有
'
()f x £()f x .
（Ⅰ）证明：当0x ³时，
2
()()f x x c £+；
（Ⅱ）若对满足题设条件的任意b ，c ，不等式2
2
()()()f c f b M c b -£-恒成立，求M
的最小值.
21．
（本小题满分13分） 数列{}*
()n a n N Î中，11,n a a a +=是函数3
22211
()(3)332
n n n f x x a n x n a x =-++的极
小值点.
（Ⅰ）当0a =时，求通项n a ；
（Ⅱ）是否存在a ，使数列{}n a 是等比数列？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由
2011年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）
数学（理工农医类）数学（理工农医类）
一选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。

项符合题目要求的。

1.若,a b R Î，i 为虚数单位，且()a i i b i +=+，则（，则（
） A ．1,1a b == B ．1,1a b =-= C ．1,1a b =-=- D ．1,1a b ==- 2.设{1,2}M =，2
{}N
a =，则“1a =”是“N M Í”则（”则（
） A ．充分不必要条件．充分不必要条件 B ．必要不充分条件．必要不充分条件 C ．充分必要条件．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件条件
3.设图一是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（设图一是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（
） A ．9122p + B ．9
182
p +
C ．942p +
D ．3618p +
4.通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：
男 女 总计总计 爱好爱好 40 20 60 不爱好不爱好 20 30 50 总计总计
60
50
110
由2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=
++++算得2
2110(40302020)7.860506050K ´´-´=»´´´
附表：附表：
2
()P K k ³
0.050
0.010
0.001
k 3.841 6.635 10.828
参照附表，得到的正确结论是（参照附表，得到的正确结论是（
） A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关” B ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
C ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
D ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
5.设双曲线22
21(0)9
x y a a -=>的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为（的值为（
） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1
6. 由直线,,033x x y p p
=-==与曲线cos y x =所围成的封闭图形的面积为（所围成的封闭图形的面积为（ ） A ．
12 B ．1 C ．32
D ．3
7. 设1m >，在约束条件1y x
y mx x y ³ìï£íï+£î
下，目标函数z x my =+的最大值小于2，则m 的取
值范围为（值范围为（
） 8.设直线x t =与函数2
(),()ln f x x g x x ==的图像分别交于点,M N ，则当||MN 达到最
小时t 的值为（的值为（ ） A ．1 B ．
1
2 C ．52 D ．22
二填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题
卡中对应题号的横线上。

卡中对应题号的横线上。

一、选做题（请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）则按前两题记分）
9.9.在直角坐标系在直角坐标系xoy 中，曲线C 1的参数方程为cos ,1sin x y a a
=ìí
=+î（a 为参数）在极坐标系（与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，曲线2C 的方程为()cos sin 10r q q -+=，则1C 与2C 的交点个数为 。

10.10.设设,x y R Î,则2
2
2
2
11()(
4)x y y
x
+
+的最小值为的最小值为。

11.11.如图如图2，,A E 是半圆周上的两个三等分点，直径4BC =， AD BC ^,垂足为D, BE 与AD 相交与点F ，则AF 的长为 。

二、必做题（12~16题）题）
12、设n S 是等差数列*
{}()n a n N Î的前n 项和，且
141,7a a ==，则5______S =
13、
若执行如图3所示的框图，输入1231,2,3,2x x x x ====，
则输出的数等于则输出的数等于。

14、在边长为1的正三角形ABC 中，设
2,3BC BD CA CE == ，则________AD BE ×=。

15、如图4，
EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，
B 表示事件“豆子落在扇形OHE （阴影部分）内”
，则，则 （1）=______P A （）
；（2）=______P A （B|） 16
、
对
于
*
n N Î，
将
n
表示为
1
21
01
21
222
22k k k
k k n a a a a a --
-=´+´
+´
++´+´
，当
0i =时，1i a =，当1i k ££时，i a 为0或1.记()I n 为上述表示中i a 为0的个数，（例如0
112=´，
2
1
4120202=´+´+´：故(1)0,(4)2I I ==）则）则
（1）(12)_____I = （2）
127
()
1
2
______I n n ==å
三．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分12分）在ABC D 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足
sin cos c A a C =.
（I ）求角C 的大小；的大小；
（II ）求3sin cos()4
A B p -+的最大值，并求取得最大值时角,A B 的大小．的大小．
18.
某商店试销某种商品20天，获得如下数据：天，获得如下数据： 日销售量（件） 0
1
2 3 频数频数
1 5
9
5
试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变），设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于若发现存货少于2件，则当天进货补充．．至3件，否则不进货．．．
，将频率视为概率。

，将频率视为概率。

(Ⅰ）求当天商品不进货．．．的概率；（Ⅱ）记X 为第二天开始营业时该商品的件数，求X 的分布列和数学期望。

的分布列和数学期望。

19.（本题满分12分）如图5，在圆锥PO 中，已知2,PO O = 的直径
2,,AB C AB D AC =是的中点的中点,,为的中点．的中点． （I ）证明：;POD PAC ^平面平面 （II ）求二面角B PA C --的余弦值．的余弦值．
20. 如图6，长方形物体E 在雨中沿面P （面积为S ）的垂直方向作匀速移动，速
度为(0)v v >，雨速沿E 移动方向的分速度为()c c R Î。

E 移动时单位时间．．．．内的淋雨量包括两部分：（1）P 或P 的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与v c -×S 成正比，比例系数为
110；（2）其它面的淋雨量之和，其值为1
2
，记y 为E 移动过程中的总淋雨量，当移动距离d=100，面积S=3
2
时。

时。

（Ⅰ）写出y 的表达式的表达式
（Ⅱ）设0＜v ≤10,0＜c ≤5，试根据c 的不同取值范围，确定移动速度v ，使总淋雨量y 最少。

最少。

A.(本小题满分13分）分）
如图7，椭圆22
122:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为32
，x 轴被曲线 截得的线段长等于的长半轴长。

（Ⅰ）求，的方程；
（Ⅱ）设与y 轴的交点为M ，过坐标原点O 的直线l 与相交于点A,B,直线MA,MB 分别与相交与D,E.
22.（本小题满分13分）分）
2
2:C y x b =-1C 1C 2C 2C 2C 1C
已知函数f (x ) =3x ，g (x )=x +x 。

（Ⅰ）求函数h (x )=f (x )-g (x )的零点个数，并说明理由；的零点个数，并说明理由；
（Ⅱ）设数列*
{}()n a n N Î满足1(0)a a a =>，1()()n n f a g a +=，证明：存在常数
M,使得对于任意的*
n N Î，都有n a ≤
M .
2012年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）
数学（理工农医类）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。

1．设集合}1,0,1{-=M ，}{2
x x x N £=，则=N M
A ．}0{
B ．}1,0{
C ．}1,1{-
D ．}1,0,1{- 2．命题“若4p
a =，则1tan =a ”的逆否命题是”的逆否命题是 A ．若4
p
a ¹
，则1tan ¹a
B ．若4
p
a =，则1tan ¹a
C ．若1tan ¹a ，则4
p
a ¹
D ．若1tan ¹a ，则4
p
a =
3．某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能
．．．是
A B C D 4．设某大学的女生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一
组样本数据),(i i y x ),,2,1(n i =，用最小二乘法建立的回归方程为71.8585.0ˆ-=x y ，则下列结论中不正确．．．的是的是 A ．y 与x 具有正的线性相关关系具有正的线性相关关系 B ．回归直线过样本点的中心),(y x
C ．若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加85.0kg
D ．若该大学某女生身高为170cm ，则可断定其体重比为79.58kg
5．已知双曲线1:2
2
22
=-b
y a x C 的焦距为10 ，点)1,2(P 在C 的渐近线上，则C 的方程为的方程为
A ．152022=-y x
B ．120522=-y x
C ．1208022=-y x
D ．180
202
2=-y x
6．函数)6
cos(sin )(p
+
-=x x x f 的值域为的值域为
A ．]2,2[-
B ．]3,3[-
C ．]1,1[-
D ．]2
3,23[-
7．在ABC D 中，2=AB ，3=AC ，1=×BC AB ，则=BC A ． B ． C ． D ．
8．已知两条直线m y l =:1
和)0(1
28:2>+=
m m y l ，1
l 与函数x
y 2log =的图像从左至右相交于点B A ,，
2l 与函数x y 2
log =的图像从左至右相交于点D C ,．记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为b a ,．当m 变化时，的最小值为的最小值为
A ．
B ．
C ．3
48 D ．3
44
二、填空题： 本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分 ，共35分，把答案填在答．
题卡．．
中对应题号后的横线上． （一）选做题（请考生在第9，10，11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）
9． 在直角坐标系xOy 中，已知曲线îíì-=+=t
y t x C 21,1:1（t 为参数）与曲线îí
ì==q
q cos 3,sin :2y a x C （q 为参数，0>a ）有一个公共点在x 轴上，则=a ． 10．不等式
01212>--+x x 的解集为的解集为
． 11．如图2，过点P 的直线与⊙O 相交于B A ,两点．若1=PA ，
2=AB ，3=PO ，则⊙O 的半径等于的半径等于
． （二）必做题（12～16题）
12．已知复数2
)3(i z +=（i 为虚数单位)，则
=z ．
13．6)12(x
x -
的二项展开式中的常数项为的二项展开式中的常数项为 ．（用数字作答）（用数字作答）
372223b a
16282A
B
P
O
C D
14．如果执行如图3所示的程序框图，输入3,1=-=n x ，则输出的数
=S ．
15．函数)sin()(j w +=x x f 的导函数)(x f y ¢=的部分图象如图4所示，其中，P 为图象
与y 轴的交点，C A ,为图象与x 轴的两个交点，B 为图象的最低点．为图象的最低点． （1）若6
p
j =
，点P 的坐标为)2
33,
0(，则=w ；
（2）若在曲线段与x 轴所围成的区域内随机取一点，则该点在ABC D 内的概率
为 ．
16．设*
2(,)n
N n N n =γ2，将N 个数12,,,N x x x 依次放入编号为1,2,,N 的N 个位
置，得到排列012
N P x x x = ．将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前和后个位置，得到排列1
13124N N P x x x x x x -= ，将此
操作称为C 变换．将1P 分成两段，每段
个数，并对每段作C 变换，得到2P ；当
22i n ££-时，将i P 分成2i 段，每段2
i N 个数，并对每段作C 变换，得到1i P +．例如，
当8N =时，215372648P x x x x x x x x =，此时7x 位于2P 中的第4个位置．个位置．
（1）当16N =时，7x 位于2P 中的第中的第 个位置；个位置；
ABC 2N 2
N 2
N
（2）当2()n N n =³8时，173x 位于4P 中的第中的第 个位置．个位置．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．
（本小题满分12分）分） 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．位顾客的相关数据，如下表所示．
一次购物量一次购物量 1至4件 5至8件 9至12件 13至16件 17件及以上件及以上
顾客数（人） x
30 25 y
10 结算时间（分钟/人）
1
1.5
2
2.5
3
已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55％．％．
（Ⅰ）确定,x y 的值，并求顾客一次购物的结算时间X 的分布列与数学期望；的分布列与数学期望； （Ⅱ）若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求
该顾客结算前的等候时间不超过．．．2.5分钟的概率．
（注：将频率视为概率）（注：将频率视为概率）
18．
（本小题满分12分）分） 如图5，在四棱锥P ABCD -中，PA ^平面ABCD ，
4AB =，3BC =，5AD =，90DAB ABC Ð=Ð=°，
E 是CD 的中点．的中点．
（Ⅰ）证明：CD ^平面PAE ；
（Ⅱ）若直线PB 与平面PAE 所成的角和PB 与平面ABCD 所成的角相等，求四棱锥
P ABCD -的体积．的体积．
19．（本小题满分12分）分）
已知数列{}n a 的各项均为正数，记12()n A n a a a =+++ ，231()n B n a a a +=+++ ，
342()n C n a a a +=+++ ，1,2,.n =
（Ⅰ）若121,5a a ==，且对任意*
n N Î，三个数(),(),()A n B n C n 组成等差数列，求
数列{}n
a 的通项公式.
（Ⅱ）证明：数列{}n
a 是公比为q 的等比数列的充分必要条件是：对任意*
n N Î，三个
数(),(),()A n B n C n 组成公比为q 的等比数列.
20．
（本小题满分13分）分） 某企业接到生产3000台某产品的A ，B ，C 三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为2，2，1（单位：件）．已知每个工人每天可生产A 部件6件，或B 部件3件，或C 部件2件．该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件，生产。